一次函数(专题精讲)讲义

【教学过程】

【知识点梳理】

1 一次函数和正比例函数的概念

若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=

21x 等都是一次函数，y=2

1x ，y=-x 都是正比例函数.

【说明】

（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.

（2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.

（3）当b=0，k ≠0时，y= kx 仍是一次函数.

（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数. 2 函数的图象

把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．

3一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ． 由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-

k

b ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.

4 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质

（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；

①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；

②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．

（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；

（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；

①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上；

②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；

①当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

③当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

④当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．

（5）由于|k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的．

【例题解析】

例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

（1）y=-

21x ； （2）y=-x

2； （3）y=-3-5x ； （4）y=-5x 2； （5）y=6x-21 （6）y=x(x-4)-x 2. 例2 当m 为何值时，函数y=-（m-2）x

32 m +（m-4）是一次函数？

【小结】某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．

例3 一根弹簧长15cm ，它所挂物体的质量不能超过18kg ，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长0．5cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是x 的一次函数．

例4 某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t （时）的函数：M=t 2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 ℃．

例5 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.

（1）写出y 与x 之间的函数关系式；

（2）当x=4时，求y 的值；

（3）当y=4时，求x 的值．

跟踪练习：已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 .

【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.

例6 若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）

A ．m ﹤O

B ．m ＞0

C ．m ﹤21

D ．m ＞M

例7 求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．

例8 已知y+a 与x+b （a ，b 为是常数）成正比例．

（1）y 是x 的一次函数吗？请说明理由；

（2）在什么条件下，y 是x 的正比例函数？

例9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50元月租费，然后每通话1分，再付电话费0．4元；“神州行”使用者不交月租费，每通话1分，付话费0．6元（均指市内通话）若1个月内通话x 分，两种通讯方式的费用分别为y 1元和y 2元．

（1）写出y 1，y 2与x 之间的关系；

（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？