第06讲幂函数与二次函数

第6讲 幂函数与二次函数

【基础知识梳理】 1．幂函数的定义

一般地，形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象

在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21

x y =，y ＝x

－1

的图象分别如右图．

3．幂函数的性质

y ＝x y ＝x 2

y ＝x 3

2

1x y =

y ＝x －

1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值 域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0}

奇偶性 奇 偶 奇

非奇非偶 奇

单调性 增

x ∈[0，＋∞)时，增

x ∈(－∞，0]时，减

增

增

x ∈(0，＋∞)时，减 x ∈(－∞，0)时，减

定点

(0，0)、(1，1)

(1，1)

4． 函数y ＝f (x )对称轴的判断方法

(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 2

2

对称．

(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)

【基础知识自测】

1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3． 答案 A

2． 如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±1

2

四个值，则相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 值

依次为( )

A ．－2、－12、＋12、＋2

B ．＋2、＋12、－12、－2

C ．－12、－2、＋2、＋12

D ．＋2、＋12、－2、－1

2

答案 B

3．设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－x ，x ≤0，

x 2，x ＞0.，若f (α)＝4，则实数α等于( )

A ．－4或－2

B ．－4或2

C ．－2或4

D ．－2或2

解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ α≤0，－α＝4或⎩

⎪⎨⎪⎧

α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B ． 答案 B

4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )

A ．3

B ．2或3

C ．2

D ．1或2

解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，由已知条件⎩⎪⎨⎪

⎧

f (1)＝1，f (b )＝b ，

b >1，

即⎩

⎪⎨⎪⎧

b 2－3b ＋2＝0，

b >1.解得b ＝2． 答案 C

5．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________． 解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2，易知ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，则⎩⎪⎨⎪

⎧

a ≠0，

b ＝－2，

2a 2＝4.因此f (x )＝－2x 2＋4．

答案 －2x 2＋4

【考向探究导析】

考向一 二次函数的图象

【例1】►设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )

A B C D

解析 若a ＞0，则bc ＞0，根据选项C 、D ，c ＜0，此时只有b ＜0，二次函数的对称轴方程x ＝－b

2a

＞0，选项D 有可

能；若a ＜0，根据选项A ，c ＜0，此时只能b ＞0，二次函数的对称轴方程x ＝－b

2a

＞0，与选项A 不符合；根据选项B ，

c ＞0，此时只能b ＜0，此时二次函数的对称轴方程x ＝－b

2a

＜0，与选项B 不符合．综合知只能是选项D ．

答案 D

【训练1】 已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象的大致形状是( )

A B C D

解析 由函数f (x )的图象知：当x ∈(－∞，1]时，f (x )为减函数，∴f ′(x )≤0；当x ∈[1，＋∞)时，f (x )为增函数，∴f ′(x )≥0．结合选项知选C ． 答案 C

考向二 二次函数的性质

【例2】►函数f (x )＝x 2－2x ＋2在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式；(2)作g (t )的图象并写出g (t )的最小值．

解 (1)f (x )＝(x －1)2＋1．当t ＋1≤1，即t ≤0时，g (t )＝t 2＋1．当t ＜1＜t ＋1，即0＜t ＜1时，g (t )＝f (1)＝1． 当t ≥1时，g (t )＝f (t )＝(t －1)2

＋1．综上可知g (t )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

t 2＋1≤0，t ≤0，1，0

t 2－2 t ＋2，t ≥1.

．

(2)g (t )的图象如图所示，可知g (t )在(－∞，0]上递减，在[1，＋∞)上递增，因此g (t )在[0，1]上取到最小值1．

【训练2】已知函数

f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5，5]．

(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值．(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5，5]，∴x ＝1时，f (x )取得最小值1；x ＝－5时，f (x )取得最大值37．

(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，∵y ＝f (x )在区间[－5，5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，故a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5．

考向三 幂函数的图象和性质