4-1 不定积分的概念与性质

三、不定积分的性质
1.
k f ( x ) dx k f ( x )dx ( k 0) 2. [ f ( x ) g( x )]d x f ( x )d x g( x ) d x
则
n
推论: 若
f ( x )dx k f ( x )dx
i 1 i i
第四章
不定积分
微分法: F ( x ) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x ) 互逆运算
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表
第四章
三、 不定积分的性质
一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力
下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
3. 若 是( B ).
的导函数为
则
的一个原函数
( A) 1 sin x ;
(C ) 1 cos x ;
提示: 已知
求
( B ) 1 sin x ;
( D ) 1 cos x .
f ( x ) sin x ( ? ) f ( x ) ( ? ) sin x
即
或由题意 f ( x ) cos x C1 , 其原函数为
x F ( x) C f ( x ) d被
积 分 变 量
积 分 常 C 为任意常数 数 不可丢 !
sin xdx cos x C
不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为
的积分曲线 .
f ( x ) dx 的图形
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
显然，求不定积分得到一积分曲线族.
例
sin x cos x
sin x 是 cos x 的一个原函数.

1 ln x ( x 0) x
1 ln x 是 在区间( 0, )内的一个原函数. x

问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理1.
存在原函数 .
(下章证明)
x x e C e d x
x a x C (13) a d x ln a
例2. 求
Biblioteka Baidux 解: 原式 = x d x C 4 3 1
4 3
4 1 3
3 x C
例3. 求
1 3
1 1 解: 原式= sin x d x cos x C 2 2
2 csc xdx cot x C
dx 2 sec xd x tan x C ( 8) 2 cos x dx ( 9) 2 sin x
(10) (11) (12)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C
例8. 求
x (1 x 2 ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x )
1 1 dx dx 2 1 x x
arctan x ln x C
例9. 求
2 (sec x 1)d x 解: 原式 =
sec xd x d x tan x x C
f ( x ) d x sin x C x C
1
2
4. 求下列积分:
提示:
(1)
1 1 1 ( 1 x2 ) x2 2 2 2 2 2 x 1 x2 x (1 x ) x (1 x )
2 2 sin x cos x 1 ( 2) 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x
能否根据求导公式得出积分公式？
既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以 根据求导公式得出积分公式.
(1)
( 2)
dx ( 3) ln x C x
kd x k x C 1 x dx 1 x
利用逆向思维
( k 为常数)
1
C ( 1)
x 0时 1 ( ln x ) [ ln( x ) ] x
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质
• 基本积分表 (见P 188)
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 . 分项积分 常用恒等变形方法 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 ,
思考与练习
1. 若
2 x f (ln x ) d x
即 ( x ) F ( x ) C 0 属于函数族 F ( x ) C .
定义 2. 若 其中
在区间 I 上的原函数全体称为
(P185)
上的不定积分, 记作 则
积 表 达 式 x x 例如, e d x e C 1 3 2 x dx 3 x C
积 被 分 积 号 函 数
简言之：连续函数一定有原函数. 初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 .
证: 1)
即 又知
[( x ) F ( x )] ( x ) F ( x ) f ( x ) f ( x ) 0
故
( x ) F ( x ) C 0 (C0 为某个常数)
sec 2 x csc 2 x
5. 求不定积分 解：
(e
2x
e 1)
x
6. 已知 求A,B.

x2 dx 2 dx A x 1 x B 2 1 x 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
2 B x2 A x 2 A 1 x 2 2 1 x2 1 x 1 x
1 2 x C 2
x e 提示: 1 ln x f (ln x ) e x
2. 若

是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x ) C 0 ln x C d x x x
x f ( x ) e 已知 提示:

f ( x ) e x C0 1 f (ln x ) C 0 x f (ln x ) 1 C0 2 x x x
2
例10
解
例11
解
例12 求积分
解
例13 求 解
x4 例14. 求 dx . 2 1 x ( x 4 1) 1 dx 解: 原式 = 2 1 x
( x 2 1)( x 2 1) 1 dx 2 1 x dx 2 ( x 1) d x 1 x2 1 3 x x arctan x C 3 说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形， 才能使用基本积分表.
( 2)
F ( x ) d x F ( x ) C
结论：
或
d F ( x ) F ( x ) C
微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
二、 基本积分表(一) (P188)
x 实例 x 1
启示
结论
1

1 x x dx C . ( 1) 1
例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解:
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
y x2
y
y x2 1
(1 , 2)
因此所求曲线为 y x 1
2
o
x
从不定积分定义可知:
d f ( x )d x f ( x ) 或 d f ( x )dx f ( x ) dx (1) dx
根据牛顿第二定律, 加速度
A 因此问题转化为: 已知 v( t ) sin t , 求 v ( t ) ? m 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足 F ( x ) f ( x ) 或 dF ( x ) f ( x ) d x , 则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的一个原函数 . A A A 如引例中, sin t 的原函数有 cos t , cos t 3, m m m
例4 求积分
解
例5 解
例6 解
例7. 求 解: 原式 =
x a x a dx ln a C
[(2e )
x
5 2 )d x
x
x ( 2e ) x 2 5 C ln( 2e ) ln 2
x e 5 x 2 C ln 2 1 ln 2

基 本 积 分 表
㈠
dx ( 4) arctan x C 或 arc cot x C 2 1 x dx ( 5) arcsin x C 或 arc cos x C 2 1 x
( 6)
(7)
cos xdx sin x C sin xdx cos x C
( A B ) 2 Ax 2 1 x2
A B 0 2A 1
A 1 2 1 B 2
作业
P192 2 (11)----(26)
5; 7
;