上海市长宁区2018届高三二模数学卷(含答案)

x y x +1
1 2
+ 2 y +1 ，则 S = 2 x + 2 y 的取值范围是____________．
二、选择题（ 题 5 分） 13. “ x = 2 ”是“ x ≥ 1 ”的（ A. 充分非必要条件 C. 充分必要条件 14. 参数方程 A. 直线
） B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 ） D. 双曲线的一支
2
且等式 bn 2 = bn−1bn+1 对任意 n ≥ 2 成立． （1）求数列 {an } 的通项公式； （2）将数列 {an } 与 {bn } 的项相间排列构成新数列 a1 , b1 , a2 , b2 , ⋯, an , bn , ⋯ ，设该新数列为 {cn } ，求数列 {cn } 的通 项公式和前 2n 项的和 T2 n ； （3）对于（2）中的数列 {cn } 前 n 项和 Tn ，若 Tn ≥ λ ⋅ cn 对任意 n ∈ N 都成立，求实数 λ 的取值范围．
9. 某商场举行购物抽奖促销活动，规定 位顾客从装有 0、1、2、3 的四个相同小球的抽奖箱中， 次取出一球 记下编号后放回（连续取两次），若取出的两个小球的编号相加之和等于 6，则中一等奖，等于 5 中二等奖，等于 4 或 3 中三等奖，则顾客抽奖中三等奖的概率为____________． 10. 已知函数 f ( x ) = lg
(
x 2 + 1 + ax 的定义域为 R ，则实数 a 的取值范围是____________．
)
11. 在 △ ABC 中， M 是 BC 的中点， ∠A = 120 , AB ⋅ AC = − ，则线段 AM 长的最小值为____________． 12. 若实数 x, y 满足 4 + 4 = 2
x + 2 是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因； 150
（2）若该团队采用模型函数 f ( x ) =
10 x − 3a 作为奖励函数模型，试确定最小的正整数 a 的值． x+2
20. （本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 5 分，第 3 小题 7 分） 已知椭圆 Γ :
Sn = ____________． n→∞ a 2 n
6.
7. 8.
x ≥1 设变 x, y 满足约束条件 x + y − 4 ≤ 0 ，则目标函数 z = 3 x − y 的最大值为____________． x − 3 y + 4 ≤ 0 2π 将圆心角为 ，面积为 3π 的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为____________． 3 三棱锥 P − ABC 及其三视图中的主视图和左视图如下所示，则棱 PB 的长为____________．
则 b2018 等于（ A. 2 ） B. 5 C. 7 D. 8
7

三、解答题 17. （本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 已知函数 f ( x ) = 2 sin x + sin 2 x +
2

π ． 6
（1）求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域； （2）设 A, B, C 为 △ ABC 的三个内角，若 cos B =
形状大致是下图中的（ ）
过的路程 x 与 △ APM 的面积 y 的函数 y = f ( x) 的图
的
16. 在计算机语言中，有一种函数 y = INT ( x ) 叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示 y 等于不超过 x 的最大整
2 n * 数， 如 INT (0.9) = 0, INT (3.14) = 3 ， 已知 an = INT ， ，b1 = a1 ，bn = an −10an−1（ n ∈ N ，且 n ≥ 2 ） ×10
19. （本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得 10 万元到 1000 万元的收益，先准备制定一个奖励方 案：奖金 y （单位：万元）随收益 x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过 9 万元，同时奖金不超过收益的 20%． （1）若建立函数 y = f ( x) 模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数 f ( x ) 模型的基本要求，并分 析y=
2 2 3 6
18、（1）

2
；（2）
16 265 265
19、（1）不符合；（2）328
20、（1）
x2 y 2 1 ；（2）1；（3） x0 4 4
21、（1） an 2n 1 ；（2） cn
n, n 2 k 1 2 , n 2k
n 2
2018 年长宁（嘉定）区数学二模试卷
一、填空题（第 1-6 题 1. 题 4 分，第 7-12 题 题 5 分） 已知集合 A = {1, 2, m} , B = {2, 4} ，若 A ∪ B = {1, 2,3, 4} ，则实数 m = ____________．
2.
1 x+ 的展开式中的第 3 项为常数项，则正整数 n = ____________． x
1 , f ( A) = 2 ，求 sin C 的值． 3
18. （本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分） 如图，在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， ∠BAD = 90 , AD / / BC , AB = 2 ， AD = 1 ，
PA = BC = 4 ， PA ⊥ 平面 ABCD ． （1）求异面直线 BD 与 PC 所成角的大小； （2）求二面角 A − PC − D 的余弦值．
x = 3t 2 + 4 （ t 为参数，且 0 ≤ t ≤ 3 ）所表示的曲线是（ 2 y = t − 2
B. 圆弧 C. 线段
15. 点 P 在 边 长 为 1 的 正 方 形 ABCD 的 边 上 运 动 ， M 是 CD 的 中 点 ， 则 当 P 沿
A − B Baidu Nhomakorabea C − M 运动时，点 P
使得 A, B 到直线 l0 的距离 d A , d B 满足
MA dA 恒成立？若存在，求出 x0 的值；若不存在，请说明理由． = dB MB
21. （本题满分 18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分） 已知数列 {an } 的各项均为正数，其前 n 项和为 S n ，且满足 4 S n = ( an + 1) ，若数列 {bn } 满足 b1 = 2, b2 = 4 ，
, k N ； T2 n n 2 2n 1 2 （3） 1
n
3. 4.
已知复数 z 满足 z = 4 + 3i （ i 为虚数单位），则 z = ____________．
2
已知平面直角坐标系 xOy 中动点 P ( x, y ) 到定点 (1, 0) 的距离等于 P 到定直线 x = −1 的距离， 则点 P 的轨迹方
程为____________． 5. 已知数列 {an } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， S n 是其前 n 项和，则 lim
x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的焦距为 2 3 ，点 P (0, 2) 关于直线 y = − x 的对称点在椭圆 Γ 上． a 2 b2
（1）求椭圆 Γ 的方程； （2）如图，过点 P 的直线 l 与椭圆 Γ 交于两个不同的点 C , D （点 C 在点 D 的上方），试求 △COD 面积的最大值； （3）若直线 m 过点 M (1, 0) ，且与椭圆 Γ 交于两个不同的点 A, B ，是否存在直线 l0 : x = x0 （其中 x0 > 2 ），
*
参考答案
一、填空题 1. m = 3 8. 4 2 9. 2. 4 3.
5
4. y = 4 x
2
5.
1 4
6. 4
7.
2 2 π 3
7 16
10. [−1,1]
11.
1 2
12. (2, 4]
二、选择题 13. A 14. C 三、解答题
15. A
16. D
17、（1） T ，值域为 0, 2 ；（2）