反常积分习题

，即
所以， 存在，若记 ，则由上题知ห้องสมุดไป่ตู้
（2）因为
。
因最后的极限不存在，故 发散。
（3）因为
故 收敛，其值为4。
（4）因为
故 收敛，其值为1
（5）因为
因此 收敛，其值为－1。
（6）因为
，
故 收敛，其值为 。
（7）因为
因此 收敛，其值为 。
（8）当 时，
极限不存在。
当 时，
极限不存在。
当 时，
极限不存在。
综上可知： 不收敛。
3、举例说明：瑕积分 收敛时， 不一定收敛。
（7）因为
所以
于是
因最后的极限不存在，故
发散
（8）
因为最后的极限不存在，故 不收敛
2、讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；
解（1）当 时，有
= 。
因最后的极限不存在，故当 时， 发散。
当 时，有
故仅当 时， 收敛，其值为
1反常积分概念
1、讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ；
（7） ；（8）
解（1）因为
故 收敛，其值为 。
（2）
=
故 收敛，其值为0。
（3）
故 收敛，其值为2。
（4）
因此 收敛，其值为 。
（5）
所以 收敛，其值为
（6）因为
从而
故
可见 收敛，其值为
解在习题2中，令 ，则 收敛，但 发散。
4、举例说明： 收敛且 在 上连续时，不一定有 。
解令
则
但极限 不存在。
5、证明：若 收敛，且存在极限 则A=0
证由于 存在，设 不妨设 。
对 ， 使得当 时 ，从而有
,与 收敛矛盾。
故 。
6、证明：若 在 ]上可导，且 与 都收敛，则
。
证由 收敛，由柯西准则知，任给 ，存在 ，当 时，有