《信号与系统》系统的时域分析解读
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第二章 信号与系统的时域分析
17
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
二 卷积积分（The convolution integral） 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) ＝ h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性，就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和；在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法：
对信号分解可在时域进行，也可在频域或变换域 进行，相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程：
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加，得到
将一个信号 xk 不动，另一个信号反转后成为
下，将 xk 与 hn k 对应点相乘，再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ，可以分成很多 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时，
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
信号与系统 2 系统的时域分析(2)
y[k ] yx [k ] y f [k ] yx [k ] f [k ] * h[k ]
• 求解齐次差分方程得到零输入响应yx[k]
• 利用卷积和可求出零状态响应yf[k]
一、
迭代法
i 0
n
ai y[k i] b j f [k j ]
j 0
m
已知n个初始条件{y[1], y[2], y[3],∙∙∙∙, y[n] }和输 入f[k]，由差分方程迭代出系统的输出。
r1 0.5, r2,3 j e
1 k π π y x [k ] C1 ( ) C2 sin k C3 cos k 2 2 2 y[1] 2C1 C2 2
y[2] 4C1 C3 1
y[3] 8C1 C2 8
解得 C1=1，C2=0 ，C3=5
求系统的零状态响应yf [k]。
y f [k ]
解：
1 n 3( ) u[n][(1) k n 2(2) k n ]u[k n] 2 n k k 1 1 n k n k 3(1) ( ) 6(2) ( ) , k 0 2 4 n 0 n 0 k 0 0 24 1 1 k k k [2(1) (2) ( ) ]u[k ] 5 5 2
讨论
1) 若初始条件不变，输入信号 f[k] = sin0 k u[k]， 则系统的完全响应y[k]=？ 2) 若输入信号不变，初始条件y[0]=1, y[1]=1, 则系 统的完全响应y[k]=？
经典法不足之处
若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。
信号与系统第2章 连续时间信号与系统的时域分析[精]
![信号与系统第2章 连续时间信号与系统的时域分析[精]](https://img.taocdn.com/s3/m/f309c644dd36a32d7275811e.png)
2.3.4 关于 0-与0+ 值
由 于 激 励 信号 的 作用 ， 响 应 r(t) 及 其 各阶 导 数 可能 在 t 0 处 发 生 跳 变， 即 r(0 ) r(0 ) ，其跳变量以 [r(0 ) r(0)] 表示。这样对于已知系统，一旦系统微分 方程确定，判断其在 t 0 处是否发生跳变完全取决于微分方程右端自由项中是否 包含冲激函数 (t) 及其导数。如果包含 (t) 及其导数，则在 t 0 处发生跳变，否则 没有发生跳变。而关于这些跳变量的数值，可以根据微分方程两边 (t) 函数平衡的 原理来计算。
r
''(0
)
r
''(0
)
r '' zs
(0
)
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
2.4.2 零输入响应的求解
设系统的数学模型以 n 阶微分方程表示，即
d nr(t)
d n1r(t)
dr(t)
an dtn an1 dtn1 a1 dt a0r(t)
d me(t)
d m1e(t)
an n
a n1 n1
a1 a0 0
对应式(2.3-5)特征方程的根 1 、 2 、…、 n 称为微分方程的特征根。
当特征根无重根（各不相同）、都是单根时，微分方程的齐次解为
rh (t) A1e1t A2e2t
n
Anent Aieit i 1
f (t) 2
1
/ 2 0 / 2
f1 (t )
1 t
0 图 2.1-1 信号的相加
f2 (t)
1
t
由 于 激 励 信号 的 作用 ， 响 应 r(t) 及 其 各阶 导 数 可能 在 t 0 处 发 生 跳 变， 即 r(0 ) r(0 ) ，其跳变量以 [r(0 ) r(0)] 表示。这样对于已知系统，一旦系统微分 方程确定，判断其在 t 0 处是否发生跳变完全取决于微分方程右端自由项中是否 包含冲激函数 (t) 及其导数。如果包含 (t) 及其导数，则在 t 0 处发生跳变，否则 没有发生跳变。而关于这些跳变量的数值，可以根据微分方程两边 (t) 函数平衡的 原理来计算。
r
''(0
)
r
''(0
)
r '' zs
(0
)
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
2.4.2 零输入响应的求解
设系统的数学模型以 n 阶微分方程表示，即
d nr(t)
d n1r(t)
dr(t)
an dtn an1 dtn1 a1 dt a0r(t)
d me(t)
d m1e(t)
an n
a n1 n1
a1 a0 0
对应式(2.3-5)特征方程的根 1 、 2 、…、 n 称为微分方程的特征根。
当特征根无重根（各不相同）、都是单根时，微分方程的齐次解为
rh (t) A1e1t A2e2t
n
Anent Aieit i 1
f (t) 2
1
/ 2 0 / 2
f1 (t )
1 t
0 图 2.1-1 信号的相加
f2 (t)
1
t
信号与系统 时域分析
主要用于描述（1）信号的重复，（2）周期信号 的一个周期与其卷积后表示周期信号。
2. 周期冲激信号定义
δ T ( t − t0 ) = ∑ δ ( t − t0 -nT )
−∞
∞
（2－1－7）
δT ( t )
3. 周期冲激信号波形
−T
0 T
2T
3T
t
2 信号与系统的时域分析
2.1.3 阶跃信号
1.阶跃信号（Step Signal）描述
（4）尺度特性
1 δ (at ) = δ ( t ) a b 1 δ (-at + b) = δ ( t − ) a a
2 信号与系统的时域分析
4. 冲激信号的性质
（5）冲激偶函数
dδ (t ) δ (t ) = dt
'
冲激函数的微分为具有正、负极性的一对冲激 （其强度无穷大），称作冲激偶函数。
Aδ ( t )
2.1.3 阶跃信号
4. 阶跃信号波形
Au( t − t0 )
A
0
A u[ n − N 0 ]
t0
连续
t
离散
2 信号与系统的时域分析
2.1.3 阶跃信号
5. 冲激信号和阶跃信号的关系
冲激信号的积分是阶跃信号：
U (t) =
∫
t −∞
δ (τ ) d τ
阶跃信号的微分为冲激信号：
dU ( t ) δ (t) = dt
（2－1－11）
2 信号与系统的时域分析
2.1.4 符号信号
3.符号信号波形
ASgn( t )
A
0 −A
连续
A Sgn[ n ]
t
离散
2 信号与系统的时域分析
2. 周期冲激信号定义
δ T ( t − t0 ) = ∑ δ ( t − t0 -nT )
−∞
∞
（2－1－7）
δT ( t )
3. 周期冲激信号波形
−T
0 T
2T
3T
t
2 信号与系统的时域分析
2.1.3 阶跃信号
1.阶跃信号（Step Signal）描述
（4）尺度特性
1 δ (at ) = δ ( t ) a b 1 δ (-at + b) = δ ( t − ) a a
2 信号与系统的时域分析
4. 冲激信号的性质
（5）冲激偶函数
dδ (t ) δ (t ) = dt
'
冲激函数的微分为具有正、负极性的一对冲激 （其强度无穷大），称作冲激偶函数。
Aδ ( t )
2.1.3 阶跃信号
4. 阶跃信号波形
Au( t − t0 )
A
0
A u[ n − N 0 ]
t0
连续
t
离散
2 信号与系统的时域分析
2.1.3 阶跃信号
5. 冲激信号和阶跃信号的关系
冲激信号的积分是阶跃信号：
U (t) =
∫
t −∞
δ (τ ) d τ
阶跃信号的微分为冲激信号：
dU ( t ) δ (t) = dt
（2－1－11）
2 信号与系统的时域分析
2.1.4 符号信号
3.符号信号波形
ASgn( t )
A
0 −A
连续
A Sgn[ n ]
t
离散
2 信号与系统的时域分析
信号与系统离散时间信号与系统的时域分析教学课件
信号与系统离散时图间6信.号1与.2系统的单时位域分采析教样学序课件列和单位冲激信号
11
2． 单位阶跃序列u(n)
u(n)
1 0
n0 n0
类似于模拟信号中的单位阶跃函数u(t)。 δ(n)与u(n)之间的关系为：
(n) u(n) u(n 1)
nkm n
u(n) (n k) (m)
输出
y(n) x(m)h(n m) x(n) h(n)
m
（6.3.7）
y(n)
T
m
x(m)
(n
m)
时 不 变 性
线性系统叠加性质
质
y(n) x(m)T (n m)
符号“*”代表卷积运算。
m
信号与系统离散时间信号与系统的时域分析教学课件
33
计算卷积的三种方法
➢ 图解法 ➢ 解析法 ➢ 利用MATLAB语言的工具箱函数计算法
列。例： sin(πn ห้องสมุดไป่ตู้ 8) 。
✓ 2π/Ω0非整数，是一个有理数时，设2π/Ω0=P/Q，式中P、Q是
互为素数的整数，取k=Q，那么N=P，则T=P。例：sin(4πn/5) 。
✓ 2π/Ω0是无理数，任何整数k都不能使N为正整数。正弦序列不
是周期序列。例：sin(n/4) 。
信号与系统离散时间信号与系统的时域分析教学课件
y(n) y1 (n) y2 (n)
因此，该系统不是线性系统。用同样方法可以证明
y(n)
x(n)
sin
0
n
π 4
所代表的系统是线性系统。
信号与系统离散时间信号与系统的时域分析教学课件
28
移不变系统
如果系统对输入信号的运算关系 T［·］在整个运算过程中不随时间变 化，或者说系统对于输入信号的响应 与信号加于系统的时间无关，则这种 系统称为移不变系统，用公式表示如 右：
信号与系统：系统的时域分析
d [ Ae3t u(t)] + 3Ae3t u(t) 2 (t)
dt
解得A=2
h(t) 2e3t u(t)
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为 dy(t) 6y(t) 2x(t) 3x'(t), t 0 dt
试求系统的冲激响应。
解： 当x(t) = (t)时，y(t) = h(t)，即
t 0 t0 t 0 t0
三、冲激响应
➢定义 在系统初始状态为零的条件下，以冲激
信号(t)激励系统所产生的输出响应，称为系
统的冲激响应，以符号h(t)表示。
n 阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足
h(n) (t) an1h(n1) (t) a1h' (t) a0h(t)
bm (m) (t) bm1 (m1) (t) b1 '(t) b0 (t)
二、系统的零状态响应
定义：当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励 x(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yzs(t)表示。
求解系统的零状态响应yzs (t)方法：
1) 直接求解初始状态为零的微分方程。 2) 卷积法：
利用信号分解和线性非时变系统的特性求解。
卷积法求解系统零状态响应yzs (t)的思路
卷积法求解系统零状态响应yzst的思路求出单位冲激信号作用在初始状态为零的系统上的响应冲激响应利用线性非时变系统的特性即可求出任意信号xt激励下系统的零状态响应yzs卷积法求解系统零状态响应yzst推导由非时变特性由均匀特性由积分特性2xt系统的冲激响应2e3t3ut试求系统的零状态响应yzs三冲激响应定义定义在系统初始状态为零的条件下以冲激信号t激励系统所产生的输出响应称为系统的冲激响应以符号ht表示
信号与系统的时域分析
∫
t2
t1
φ i2 ( t )dt ← 基能量
， i = 1,2, … , N
6
( 3) 若x( tn )是复信号，则可推得系数为 : 是复信号， ai
∫ = ∫
t2
t1 t2 t1
x( t )φ i* ( t )dt | φ i ( t ) | 2 dt
或 ai =
n= N 1 N2
x( n)φ i* ( n) ∑ | φ i ( n) | 2 ∑
N
2
∫
t2
t1 t2
2 N N 2 x ( t ) − 2 x ( t )∑ a iφ i ( t ) + ∑ a iφ i ( t ) dt i =1 i =1 2 2 i i t2
∫ {− 2 x ( t )a φ ( t ) + a φ
交集中 N个正交基信号 (为了讨论方便，假设基 为实 为了讨论方便， 信号 )的线性组合来近似表示 x ( tn )，即 x ( ) ≈ ∑ a iφ i ( tn )
t n i =1 t n N
则误差信号为
e ( ) = x ( ) − ∑ a iφ i ( tn )
t x n i =1
3
N
2 N t2 ∫ x ( t ) − ∑ a iφ i ( t ) dt t1 i =1 误差信号能量为 ε x = 2 N2 N n∑1 x ( n ) − ∑ a iφ i ( n ) i =1 =N 在误差能量最小前提下 ， 要求取最佳组合系数 a i，必须
t1 i i t1
( t ) dt = 0
t2
}
交换偏导与积分次序有 2a i ∫ φ ( t )dt = 2 ∫ x ( t )φ i ( t )dt
信号与系统(第三版)第五章离散时间系统的时域分析
信号取值
连续时间系统的信号在任意时刻都有取值，而离散时间系统的信 号只在离散时刻上取值。
离散时间系统的数学描述
02
差分方程
定义
差分方程是描述离散时间信号变化的数学方程，通常表示为y[n] = f(n) + g(n)，其中y[n]是离散时间信号，f(n)和g(n)是已知的 离散时间信号。
类型
差分方程可以分为线性和非线性两种类型。线性差分方程是指方程中未知数的系数为常数且方程中未知数次数不超过1的差分方 程。
稳定性判据
通过判断系统的极点位置，确定系统的稳定性。
稳定性分析的意义
对于实际应用中的系统，稳定性是非常重要的性能指标。
系统的动态性能分析
动态性能的定义
描述系统在输入信号激励下，输出信号随时间变 化的特性。
动态性能的参数
包括超调和调节时间、上升时间和峰值时间等。
动态性能的分析方法
通过系统函数的Leabharlann 点和零点位置，以及时间常数等参数进行分析。
04 离散时间系统的时域响应 单击添加文本具体内容
离散时间系统 的定义与特点
离散时间系统的定义
离散时间系统
在时间上离散取样，信号在离散时刻上变化的系统。
离散时间信号
只在离散时刻上取值的信号。
离散时间系统分析
通过数学模型对离散时间信号和系统进行描述和分析 的方法。
离散时间系统的特点
时域离散
01
离散时间系统的状态变量和信号只在离散时刻上取值，时
定义
分类
稳定性判据
劳斯判据 通过求解劳斯表，判断系统的极点和稳定性。
赫尔维茨判据 通过判断系统的特征方程的根的性质，判断系统的 稳定性。
波波夫判据 通过求解波波夫矩阵，判断系统的稳定性。
连续时间系统的信号在任意时刻都有取值，而离散时间系统的信 号只在离散时刻上取值。
离散时间系统的数学描述
02
差分方程
定义
差分方程是描述离散时间信号变化的数学方程，通常表示为y[n] = f(n) + g(n)，其中y[n]是离散时间信号，f(n)和g(n)是已知的 离散时间信号。
类型
差分方程可以分为线性和非线性两种类型。线性差分方程是指方程中未知数的系数为常数且方程中未知数次数不超过1的差分方 程。
稳定性判据
通过判断系统的极点位置，确定系统的稳定性。
稳定性分析的意义
对于实际应用中的系统，稳定性是非常重要的性能指标。
系统的动态性能分析
动态性能的定义
描述系统在输入信号激励下，输出信号随时间变 化的特性。
动态性能的参数
包括超调和调节时间、上升时间和峰值时间等。
动态性能的分析方法
通过系统函数的Leabharlann 点和零点位置，以及时间常数等参数进行分析。
04 离散时间系统的时域响应 单击添加文本具体内容
离散时间系统 的定义与特点
离散时间系统的定义
离散时间系统
在时间上离散取样，信号在离散时刻上变化的系统。
离散时间信号
只在离散时刻上取值的信号。
离散时间系统分析
通过数学模型对离散时间信号和系统进行描述和分析 的方法。
离散时间系统的特点
时域离散
01
离散时间系统的状态变量和信号只在离散时刻上取值，时
定义
分类
稳定性判据
劳斯判据 通过求解劳斯表，判断系统的极点和稳定性。
赫尔维茨判据 通过判断系统的特征方程的根的性质，判断系统的 稳定性。
波波夫判据 通过求解波波夫矩阵，判断系统的稳定性。
信号与系统概论PPT第二章线性时不变系统的时域分析2
卷积重要性质： 1) 信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
信号与系统(2连续时间信号与系统的时域分析)
用卷积积分只能求到系统的零状态响应，零输入响 应仍需用经典法求得。
本章在经典法求解微分方程的基础上，重点讨论 系统的零输入响应和零状态响应。通过引入冲激响应 和卷积积分等概念，利用冲激响应和卷积求系统输出 响应，使得系统分析更加简捷、明晰。
2 连续时间信号与系统的时域分析
§2.1 经典时域解法
2 连续时间信号与系统的时域分析
y(0 )、...、ddtnn11
y(0 )]
由于没有外界激励作用，因而系统的状态不会发
生跳变，
.
2 连续时间信号与系统的时域分析 【例】 系统微分方程为
已知起始状态
和
,求系统的零输入响应。
零输入响应是激励为零，所以系统的微分方 程可变为
特征方程为
2 连续时间信号与系统的时域分析 又因为 有
即 y0 y0 9
2 连续时间信号与系统的时域分析
由方程 d yt 3rt 3 t可知
dt
方程右端含 t项，它一定属于
d
yt
dt
设
d yt a t b t cut
dt
则
yt a t but
2 连续时间信号与系统的时域分析
冲激函数匹配法实现过程中应注意的问题： (1) 对于冲激函数只匹配 及其各阶导数项，
微分方程两端这些函数项都对应相等。 (2) 匹配从方程左端 的最高阶项开始，首
先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配,在已 匹配好的高阶次冲激函数项系数的条件下，再匹配 低阶项。
(3) 每次匹配方程低阶冲激函数项时，如果方 程左端所有同阶次冲激函数各项系数之和不能和右 端匹配，则由左端 高阶项中补偿。
d yt中必含3 t
dt
yt中包含3 t
本章在经典法求解微分方程的基础上，重点讨论 系统的零输入响应和零状态响应。通过引入冲激响应 和卷积积分等概念，利用冲激响应和卷积求系统输出 响应，使得系统分析更加简捷、明晰。
2 连续时间信号与系统的时域分析
§2.1 经典时域解法
2 连续时间信号与系统的时域分析
y(0 )、...、ddtnn11
y(0 )]
由于没有外界激励作用，因而系统的状态不会发
生跳变，
.
2 连续时间信号与系统的时域分析 【例】 系统微分方程为
已知起始状态
和
,求系统的零输入响应。
零输入响应是激励为零，所以系统的微分方 程可变为
特征方程为
2 连续时间信号与系统的时域分析 又因为 有
即 y0 y0 9
2 连续时间信号与系统的时域分析
由方程 d yt 3rt 3 t可知
dt
方程右端含 t项，它一定属于
d
yt
dt
设
d yt a t b t cut
dt
则
yt a t but
2 连续时间信号与系统的时域分析
冲激函数匹配法实现过程中应注意的问题： (1) 对于冲激函数只匹配 及其各阶导数项，
微分方程两端这些函数项都对应相等。 (2) 匹配从方程左端 的最高阶项开始，首
先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配,在已 匹配好的高阶次冲激函数项系数的条件下，再匹配 低阶项。
(3) 每次匹配方程低阶冲激函数项时，如果方 程左端所有同阶次冲激函数各项系数之和不能和右 端匹配，则由左端 高阶项中补偿。
d yt中必含3 t
dt
yt中包含3 t
信号与系统课件-2.连续系统时域分析
02
确定状态变量和输出变量，并写出状态方程和输出方程。
03
根据系统的物理特性和参数，确定状态变量的初始值。
状态方程的求解
01 利用数值方法求解状态方程，如欧拉法、龙格-库 塔法等。
02 求解过程中要考虑数值稳定性，避免计算误差的 积累。
03 根据需要选择合适的步长和时间区间，以获得精 确的解。
状态空间分析的应用
02
信号的调制与解调
在通信系统中，通过调制将低频 信息信号加载到高频载波信号上， 再
在控制系统中，频域分析用于分 析系统的稳定性、性能和鲁棒性， 指导控制器的设计和优化。
05 连续系统的状态空间分析
状态空间模型的建立
01
根据系统动态方程和初始条件，建立系统的状态空间模型。
时域分析的基本概念
输入输出描述
时域分析通过输入输出描述来研究系统的动态行为，即根据系统的输 入信号和初始状态，求解系统的输出信号。
微分方程
连续系统的动态行为通常由微分方程描述，如线性时不变系统的常系 数微分方程。
初始条件
在时域分析中，需要考虑系统的初始状态，即系统在初始时刻的输出 信号或状态变量的值。
连续系统的状态变量可以取实数域上 的任意值，系统的响应和传递函数具 有连续的频率特性。
时域分析的重要性
实际应用需求
在工程实际中，许多系统都是连续系统，如电路、控制系统、机械系统等。对 这些系统进行时域分析可以帮助我们更好地理解系统的动态行为和性能。
系统建模基础
时域分析是连续系统建模的基础，通过时域分析可以确定系统的传递函数、微 分方程等数学模型，进而进行频域分析和复频域分析。
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
劳斯-赫尔维茨判据是一种通过计算系统的极点和零点来判定系统稳定性 的方法。
确定状态变量和输出变量，并写出状态方程和输出方程。
03
根据系统的物理特性和参数，确定状态变量的初始值。
状态方程的求解
01 利用数值方法求解状态方程，如欧拉法、龙格-库 塔法等。
02 求解过程中要考虑数值稳定性，避免计算误差的 积累。
03 根据需要选择合适的步长和时间区间，以获得精 确的解。
状态空间分析的应用
02
信号的调制与解调
在通信系统中，通过调制将低频 信息信号加载到高频载波信号上， 再
在控制系统中，频域分析用于分 析系统的稳定性、性能和鲁棒性， 指导控制器的设计和优化。
05 连续系统的状态空间分析
状态空间模型的建立
01
根据系统动态方程和初始条件，建立系统的状态空间模型。
时域分析的基本概念
输入输出描述
时域分析通过输入输出描述来研究系统的动态行为，即根据系统的输 入信号和初始状态，求解系统的输出信号。
微分方程
连续系统的动态行为通常由微分方程描述，如线性时不变系统的常系 数微分方程。
初始条件
在时域分析中，需要考虑系统的初始状态，即系统在初始时刻的输出 信号或状态变量的值。
连续系统的状态变量可以取实数域上 的任意值，系统的响应和传递函数具 有连续的频率特性。
时域分析的重要性
实际应用需求
在工程实际中，许多系统都是连续系统，如电路、控制系统、机械系统等。对 这些系统进行时域分析可以帮助我们更好地理解系统的动态行为和性能。
系统建模基础
时域分析是连续系统建模的基础，通过时域分析可以确定系统的传递函数、微 分方程等数学模型，进而进行频域分析和复频域分析。
劳斯-赫尔维茨稳定性判据
劳斯-赫尔维茨判据是一种通过计算系统的极点和零点来判定系统稳定性 的方法。
信号与系统第五章 离散信号与系统的时域分析
f1(k) f (n)
6
n
3 2
1
1 1 2 3 k
3
1
1 1 2 3 4 k
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS
返回
ZB
5.1.3 常用的离散信号
(k)
1. 单位函数 (k)
(k)
1 0
k0 k0
1
1 1 2 3 k
(k n)
(k
n)
1 0
k n kn
1
1 0 1 2 n k
整理，得 y(k 2) 3y(k 1)＋2y(k)＝0
《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB
例：每月存入银行 A 元，设月息为 ，试确定第 k 次存
款后应有的存款额 y(k) 的方程。
解：第 k＋1 次存入后应有的存款额为
A y(k) y(k)
即 y(k 1) y(k) y(k) A
(1) 筛选特性 f (k) (k n) f (n)
k
(2) 加权特性 f (k) (k n) f (n) (k n)
应用此性质，可以把任意离散信号 f (k) 表示为一系 列延时单位函数的加权和，即
f (k) f (2) (k 2) f (1) (k 1)
返回《信号f与(0)系 (统k) 》fS(1IG) N(kAL1)SANDSnYSTfE(Mn)S
一阶后向差分
f (k) f (k) f (k 1)
二阶后向差分
f (k) 2 f (k) f (k) f (k 1)
《信号与系统》SIGf (Nk)AL2SfA(kND1)SYfS(TkEM2)S
返回
ZB
6. 序列的求和（累加） (对应于连续信号的积分)
信号与系统实验报告实验一 信号与系统的时域分析
实验一信号与系统的时域分析一、实验目的1、熟悉与掌握常用的用于信号与系统时域仿真分析的MA TLAB函数;2、掌握连续时间与离散时间信号的MA TLAB产生,掌握用周期延拓的方法将一个非周期信号进行周期信号延拓形成一个周期信号的MA TLAB编程;3、牢固掌握系统的单位冲激响应的概念,掌握LTI系统的卷积表达式及其物理意义,掌握卷积的计算方法、卷积的基本性质;4、掌握利用MA TLAB计算卷积的编程方法,并利用所编写的MA TLAB程序验证卷积的常用基本性质;掌握MA TLAB描述LTI系统的常用方法及有关函数,并学会利用MATLAB求解LTI系统响应,绘制相应曲线。
基本要求:掌握用MA TLAB描述连续时间信号与离散时间信号的方法,能够编写MATLAB程序,实现各种信号的时域变换与运算,并且以图形的方式再现各种信号的波形。
掌握线性时不变连续系统的时域数学模型用MA TLAB描述的方法,掌握卷积运算、线性常系数微分方程的求解编程。
二、实验原理信号(Signal)一般都就是随某一个或某几个独立变量的变化而变化的,例如,温度、压力、声音,还有股票市场的日收盘指数等,这些信号都就是随时间的变化而变化的,还有一些信号,例如在研究地球结构时,地下某处的密度就就是随着海拔高度的变化而变化的。
一幅图片中的每一个象素点的位置取决于两个坐标轴,即横轴与纵轴,因此,图像信号具有两个或两个以上的独立变量。
在《信号与系统》课程中,我们只关注这种只有一个独立变量(Independent variable)的信号,并且把这个独立变量统称为时间变量(Time variable),不管这个独立变量就是否就是时间变量。
在自然界中,大多数信号的时间变量都就是连续变化的,因此这种信号被称为连续时间信号(Continuous-Time Signals)或模拟信号(Analog Signals),例如前面提到的温度、压力与声音信号就就是连续时间信号的例子。
信号与系统的时域分析
信号与系统的时域分析信号与系统是电子信息类专业中的重要基础课程，它涉及到信号的产生、传输和处理以及系统的特性和行为。
在学习信号与系统的过程中，时域分析是其中一个必不可少的内容，它可以帮助我们理解信号与系统的性质和特点。
本文将围绕信号与系统的时域分析展开，介绍其基本概念、常用方法和应用。
一、时域分析的基本概念时域分析是指通过对信号在时间上的特性进行观察和分析，从而获取有关信号的信息。
在时域分析中，我们通常关注信号的幅度、频率、周期性以及与时间的变化关系等方面。
1.1 信号的时域表示信号可以用函数来表示，通常使用时间作为自变量，信号的值作为因变量。
在时域分析中，我们将信号表示为一个函数s(t)，其中t表示时间，s(t)表示信号在不同时间点的幅度。
1.2 时域分析的基本操作时域分析的基本操作主要包括时域加减、时域乘除以及时域平移等。
时域加减是指将两个信号的对应时间点的幅度相加或相减；时域乘除是指将两个信号的对应时间点的幅度相乘或相除；时域平移是指将信号在时间轴上进行移动。
二、时域分析的常用方法时域分析的常用方法主要包括信号的能量和功率分析、信号的平均值和方均根分析、信号的自相关和互相关分析等。
2.1 信号的能量和功率分析信号的能量表示信号在时间上的总体大小，通常使用E表示。
信号的功率表示信号在时间上的变化情况，通常使用P表示。
能量和功率是信号的两个重要特征，通过对信号进行能量和功率分析，我们可以了解信号的强度和稳定性。
2.2 信号的平均值和方均根分析信号的平均值表示信号在一段时间内的平均大小，通常使用μ表示。
信号的方均根表示信号在一段时间内的均方根值，通常使用RMS表示。
通过对信号进行平均值和方均根分析，我们可以获得信号的直流成分和有效值。
2.3 信号的自相关和互相关分析信号的自相关分析是指将信号与自身进行相关计算，可以用来判断信号的周期性和重复性。
信号的互相关分析是指将两个不同的信号进行相关计算，可以用来判断信号的相关程度和相似性。
第二章 信号与系统的时域分析_第一讲
这一关系也可以根据 (t )的性质直接推导而来 :
x( ) (t )d x(t ) (t )d x(t ) (t )d x(t )
表明：任何连续时间信号 x(t ) 都可以被分解为无数 多个移位加权的单位冲激信号的线性组合。
[ x(t ) (t t1 )] [h(t ) (t t2 )] [ x(t ) * h(t )]*[ (t t1 ) * (t t2 )] （结合律） y (t ) *[ (t t1 ) * (t t2 )] y (t t1 t2 ) x(t )* (t ) x(t )； t x(t )* u (t ) x( )d；
信号系统与信号处理
HangZhou Dianzi University, Lab of PRIS
杭州电子科技大学
问题的实质：
研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成 任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元 的线性组合来构成任意信号；
如何得到LTI系统对基本单元信号的响应和对 任意信号的响应。
§2.2 连续时间LTI系统的时域分析
1. 卷积积分 h(t) LTI 单位冲激响应: h(t ) (t) 单位冲激响应h(t)的定义: LTI系统对(t)的响应 (t ) h(t )
由系统的时不变性 : 由齐次性 : 由叠加性 :
k
(t ) h(t )
x(k ) (t k ) x (k )h (t k )
一个系统有若干LTI系统的并联构成，则系统总的单位冲 激响应等于各子系统单位冲激响应之和。
产生以上结论的前提条件：
信号与系统--连续时间信号和系统的时域分析课件
得：
LC 2
d
2r( t dt 2
)
L R
dr( t dt
)
r(
t
)
e(
t
)
二阶常系数线性微分方程
温州大学瓯江学院
信号与系统
三、 用算子符号表示微分方程
1、定义：算子作用于某一时间函数时，此时间函数将进行 算子所表示的特定运算。
•微分算子（Differential operator）：
p d ; dt
p dt
3. 1 Px p
t
[
dx dt
]t
d
x( t ) x( )
若x( ) 0, 则 1 Px＝x p
4.Px Py , 其中P不能消去 dx ＝ dy 两边积分得 x y C
dt dt
温州大学瓯江学院
信号与系统
引入算子后，可以简化系统模型的表示，如：
列方程的基本方法： 节点分析法和网孔电流法。
温州大学瓯江学院
信号与系统
例1：已知电路，求输出电容电压。 一阶系统：
电源：
us (t)
电容电压： uc (t)
VCR
Ri 电阻电压：
RC duc (t) dt
KVL
RC
duc (t) dt
uc
(t)
us
(t)
一阶常系数线性微分方程
温州大学瓯江学院
(
p2
5
p
3 2
)i2
(t)
0.5
pf
(t)
d2 dt 2
i2
(t
)
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信号与系统
3)求方程的完全解y (t)
y (t ) yh (t ) y p (t ) K1e
2t
K 2e
4t
1 t e 3
由初始条件y(0)=1, y '(0)=2
1 y(0) 2 K1 4 K 2 2 3
1 y (0) K1 K 2 1 3
解得
K1
5 11 , K2 2 6
5 2t 11 4t 1 t 全解 y (t ) e e e , t 0 2 6 3
通解(自由响应)
特解(强迫响应)
信号与系统
思考：1)若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)， 则系统的完全响应 y(t) =？
解 1)求齐次方程 y(t ) 6 y(t ) 8 y(t ) 0 的齐次解yh(t) 2 6 8 0 特征方程为 1 2, 2 4 特征根为 2t 4t 齐次解yh(t) yh (t ) K1e K2e
2)求非齐次方程 y(t ) 6 y(t ) 8 y(t ) 0 的特解yp(t) 由输入f(t)的形式,设特解yp(t)=Ce-t 将特解代入原微分方程,即可解得C=1/3
di1 (t ) di2 (t ) 1 t i ( ) d L M Ri1 (t ) e(t ) C 1 dt dt di2 (t ) di1 (t ) 1 t M Ri2 (t ) 0 i2 ( )d L dt dt C Ri2 (t ) v0 (t )
固有频率 S1，S2，S3，…，Sn （自然频率）
高数知识，自己复习
特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定
信号与系统
齐次解yh(t)的形式 ①特征根是不等实根 S1，S2，S3，…，Sn
yh (t ) K1e s1t K 2 e s2t K n e snt
1 t uC (t ) i( )d C
* 电感： l ,
di (t ) ul (t ) l l , dt
1 t il (t ) ul ( )d l
* 耦合电感V-I关系
信号与系统
耦合电路中的V-I关系
信号与系统
例1 对下图所示电路,分别列写出电压v0(t)的微分 方程表示式。（P86 2-1）
主讲
电话：
计算机学院 陈庆梅
87119020（O）
Email：zjucqm@
信号与系统
第二部分 连续时间系统的时域分析
(2.2-2.3) (2.4)
(2.5)
$$ 微分方程的建立与经典求解 $$ 起始点的跳变
$$ 连续时间LTI系统的响应 零输入响应 零状态响应 $$ 连续时间系统的冲激响应 $$ 卷积积分及其性质 $$ 用算子符号表示微分方程
整理得
2 2
2 d 4v0 (t ) d 3v0 (t ) 2L 2 R dv0 (t ) 1 d 2e(t ) 2 d v0 (t ) (L M ) 2 RL 2( R ) 2 v0 (t ) MR 4 3 2 dt dt C dt C dt C dt2
信号与系统
二、微分方程的求解（经典法） & 经典法所求微分方程的全解即系统的完全响应y(t) = 齐次解yh(t) + 特解yp(t) 齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定 ①特征根是不等实根 ②特征根是相等实根 S1=S2=S3= … =Sn=S ③特征根是成对共轭复根 Si=σi±jωi，i=n/2
信号与系统
常用激励信号对应的特解形式（P51 表2-3）
Ci、Di的求解为yp(t)代入方程, 两边系数匹配求得
信号与系统
例1 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程 y (t ) 6 y (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0 ，初始条件y(0)=1， y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)，求系统的完全响应y(t)。
②特征根是相等实根 S1=S2=S3=
st st
…
=Sn=S
yh (t ) K1e K2te Knt e
n1 st
③特征根是成对共轭复根 Si=σi±jωi，i=n/2
yh (t ) e1t (K1 cos1t K2 sin 1t ) eit (Kn1 cosi t Kn sin i t )
又
di2 (t ) v0 (t ) 2 dt
d 3v0 (t ) d 2v0 (t ) d d 2 5 6 v0 (t ) 3v0 (t ) 2 e(t ) 3 2 dt dt dt dt
பைடு நூலகம்
整理得
信号与系统
练习 P86 2-1 2-2 2-3 对图中所示的双耦合电路，列写电路微分方程得
$$ 微分方程的建立与经典求解 (2.2-2.3) 一、微分方程建立的两类约束——电路系统
1.来自连接方式的约束:kvl与kcl,与元件的性质无关； 2.来自元件伏安关系的约束:与元件的连接无关。
* *
u (t ) 电阻： R i (t )
电容： C q(t ) , u (t )
i
du(t ) iC (t ) C , dt
信号与系统
解：
对图中所示电路列写网孔电流方程，得
t di1 (t ) t 2i1 (t ) dt i1 ( )d i2 ( )d e(t ) t [i ( ) i ( )]d i (t ) v (t ) 1 2 0 2
(2.6) (2.7-2.9) (2.10)
信号与系统
重点与难点
1. 系统微分方程的建立与求解 2. 初始条件的确定 3. 卷积积分 4. 系统的全响应
经典法: 齐次解+特解 卷积法: 零输入响应+零状态响应
难点
学 处理好复习与提高的关系 习 注意走出陷入解题技巧的误区,着重物理概 中 念的理解
信号与系统