差分方程-基础知识(课堂PPT)
合集下载
差分方程初步-PPT课件
返回
上页
下页
只要保持差分方程中的时间滞后结构不变 ,无论对 t提前或推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程 是等价的,即二者有相同的解.例如,方程 ayt+1byt=0
与方程
ayt+2byt+1=0
都是相互等价的．
返回
上页
下页
四、 线性差分方程及其基本定理 形如 yt+n+a1(t)yt+n1+a2(t)yt+n2+…+an1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)
返回
上页
下页
返回
上页
下页
返回
上页
下页
二、一阶差分的性质
（1）若yt=C(C为常数),则Dyt=0; （2） 对于任意常数k,D(kyt)=kDyt; （3） D(yt+zt)=Dyt+Dzt． （ 4）
y zn y n n y n z n = zn zn+1 zn
返回
上页
下页
三、
返回
上页
下页
返回
上页
下页
一般地,k阶差分(k为正整数)定义为
k k 1 D yt =D (D yt ) k 1 k 1 =D yt+1 D yt i = ( 1 )i C ky t+ki i=0 k
(k =1 ,2 ,3 , )
这里
k! C = i!(k i )!
i k
返回 上页
下页
如果ai(t)=ai(i=1,2,…,n)均为常数(an≠0),则有
yt+n+a1yt+n1+a2yt+n2+…+an1yt+1+anyt=f(t)，
8.6 差分方程(包括二阶)PPT课件
设 y * 是方程(1)的一个特解, yc( x)是(2)的通解,
那么方程(1)的通解为 yx yc (x) y* .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
用待定系数法求解. f(x) Pm (x) b x
其中 Pm (x) 是 m 次多项式, b 为非零常数.
设特解的形式为 y* x μQm (x)bx ,
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
（3）( yx zx ) yx zx
4 ( yt zt ) zt1yt yt zt yt1zt zt yt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例1 设 yx x2 2 x 3 ，求yx 2 yx 解
§8.6 差分方程
一、基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、二阶常系数线性差分方程
首页
返回
下页
结束
铃
一、基本概念
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔 时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的 时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统 计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这 类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学 模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分 方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本节介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法， 与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似， 可对照微分方程的知识学习本节内容。
那么方程(1)的通解为 yx yc (x) y* .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
用待定系数法求解. f(x) Pm (x) b x
其中 Pm (x) 是 m 次多项式, b 为非零常数.
设特解的形式为 y* x μQm (x)bx ,
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
（3）( yx zx ) yx zx
4 ( yt zt ) zt1yt yt zt yt1zt zt yt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例1 设 yx x2 2 x 3 ，求yx 2 yx 解
§8.6 差分方程
一、基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、二阶常系数线性差分方程
首页
返回
下页
结束
铃
一、基本概念
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔 时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的 时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统 计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这 类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学 模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分 方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本节介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法， 与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似， 可对照微分方程的知识学习本节内容。
数学建模差分方程PPT课件
或 G(x , yi , yi1 , , yin ) 0 或 H (x , yi , yi , , n yi ) 0
的方程都是差分方程。 方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的差数称为差分
方程的阶。 若一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为
差分方程的解。如果解中所含相互独立的任意常数的个数等于方 程的阶数，则称该解为差分方程的通解。满足初始条件的解称为 特解。
• 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡
w (k)w (k1)1 w ( k 1 ) w ( k ) c ( k 1 ) w ( k )
c(k1) 1[w(k)1] w (k)w (0)k
c(k1) w (0) 1(1k)
1 8000
0.025
120 200 k 00Cm 10000 k 10
2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0 , k 1 , 2 ,
二阶线性常系数差分方程
x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广 2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0
方程通解
xk
c1
k 1
c2
k 2
(c1, c2由初始条件确定)
相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡；
3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关；
4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥至75千克。
1 2 k 是（3）的 k 重根，则只要将 Y1 (i),Y2 (i),,Yk (i) 换为
的方程都是差分方程。 方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的差数称为差分
方程的阶。 若一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为
差分方程的解。如果解中所含相互独立的任意常数的个数等于方 程的阶数，则称该解为差分方程的通解。满足初始条件的解称为 特解。
• 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡
w (k)w (k1)1 w ( k 1 ) w ( k ) c ( k 1 ) w ( k )
c(k1) 1[w(k)1] w (k)w (0)k
c(k1) w (0) 1(1k)
1 8000
0.025
120 200 k 00Cm 10000 k 10
2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0 , k 1 , 2 ,
二阶线性常系数差分方程
x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广 2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0
方程通解
xk
c1
k 1
c2
k 2
(c1, c2由初始条件确定)
相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡；
3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关；
4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥至75千克。
1 2 k 是（3）的 k 重根，则只要将 Y1 (i),Y2 (i),,Yk (i) 换为
第三章差分方程模型 ppt课件
输入必要信息 轻击鼠标即得
单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.75%, 到期后本 息(本金加利息)：10000(1+0.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
3. 差分方程模型
• 差分方程的基本类型及求解 3.1 贷款购房 3.2 管住嘴迈开腿 3.3 物价的波动 3.4 动物的繁殖与收获 3.5 中国人口增长预测——全国大学生
数学建模竞赛2007年A 题
差分方程的基本类型及求解
xk~未知变量x在时段k的数值(k=0,1,2, …)
1. 一阶线性常系数差分方程 xk 1 axk b, x0已知，k 0,1,2,
• 由x0, x1按照方程递推地计算x2, x3,…
•
求解公式
xk
c11k
c2k2
b 1 a1 a2
,
k 0,1,2,
1, 2～特征根 2 a1 a2 0 ~ 特征方程
c1, c2 ～常数, பைடு நூலகம்始值x0, x1代入求解公式确定.
1, 2<1
k→∞,
xk
x
1
b a1 a2
~稳定平衡点
3. 线性常系数差分方程组
x1(k), x2(k),, xn(k) ~n个未知变量在时段k的数值
x1(k 1) a11x1(k) a12x2 (k) a1n xn (k) b1 x2 (k 1) a21x1(k) a22x2 (k) a2n xn (k) b2 xn (k 1) an1x1(k) an2x2 (k) ann xn (k) bn
差分方程(1)-基础知识省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
形如
yx+2 + ayx+1 + byx = f (x).
(10)
(其中 a , b 0, 且均为常数)旳方程, 称为二阶常系数线性 差分方程. 当 f (x) = 0 时, 即
yx+2 + ayx+1 + byx = 0
(11)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
类似于二阶线性常微分方程, 二阶线性差分方程与 其有相同旳解旳构造. 故先求齐次方程(11)旳通解.
故所求通解为
yx
C1
C2 (2)x
10 3
x
2x2.
(2) f (x) = Cqx 设特解旳待定式为
y x Bq x (q不是特征根); y x Bxq x (q是特征方程单根); y x Bx2q x (q是二重特征根). 其中 B 为待定系数.
例11 求差分方程 yx+2 3yx+1 + 2yx = 2x旳一种特解.
x B0 B1x Bm xm (a 1) (6)
或
y x (B0 B1x Bm xm ) x (a 1) (7)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 旳一种特解.
解 这里 a = 2, 设 y x B0 B1x B2 x2 , 代入差分方程, 得
解 相应旳齐次方程旳特征方程为
2 3 + 2 = 0.
方程旳根为
1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y x Bx2x ,
代入原方程, 得
B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x = 2x,
差分方程初步-PPT精选文档
+…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解．
定理3(齐次线性差分方程通解结构定理) 如 果 y1(t),y2(t),…,yn(t) 是 齐 次 线 性 差 分 方 程 yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关 的特解,则方程 的通解为： yA(t)＝A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)，
三、 差分方程的解
定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…， yt+n)=0, 使 其 对 t=…,-2,-1,0,1,2,… 成 为 恒 等 式 , 则 称 yt=j(t) 为方程的解 .含有 n 个任意 ( 独立 ) 常数 C1,C2,…,Cn 的解
yt=j(t,C1,C2,…,Cn)
依此定义类推,有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, ………………
类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt, D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1, ………………
其中A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数．
经济数学 CH6 差分方程PPT精品文档29页
2020/4/16
8
蛛网模型
❖ 将需求曲线和供给曲线代 pt 入到均衡方程，得到：
❖ pt=(a+c)/b-(d/b)pt-1 ❖ 这是一个一阶非齐次线性
差分方程。
❖ 当价格不变时，供求达到 均衡。
❖ p*=(a+c)/b-(d/b)p* ❖ 均衡价格p*=(a+c)/(b+d)
p*
Pt-1
当(d/b)>1时，模型 是发散的；反之则是 收敛的。
a≠-1
yt
A(a)t
c ,a1 1a
假设t 0时，yt
y0,得到Ay0
c 1a
yt
(y0
c )(a)t 1a
c ,a1 1a
a=-1 y t A ( a )t c t A c t,a 1
假 设 t0时 ， yt y0,得 到 Ay0 yt y0ct,a1
2020/4/16
13
练习
❖ 求解一阶线性差分方程：
❖ 一阶差分： △yt=yt+1-yt ❖ 二阶差分：
❖ △2yt= △ (△ yt) = △(yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)
2020/4/16
1
❖ 一阶差分方程：yt+1=f(yt) ❖ 例子：一阶线性差分方程
❖ △yt=2→yt+1-yt=2 ❖ △yt=yt → yt+1-yt=yt →yt+1=2yt ❖ 一阶线性差分方程一般形式：
如果f(y*) 1，那么均衡点是稳定的。 如果f(y*) 1，那么均衡点是不稳定的。 如果f(y*) 1，无法判断。
f(y*)dyt1 dyt
第4讲 差分方程方法(new)PPT课件
它的平衡点 x* 0 是稳定的充要条件是 A 的所有特
征根都有 i 1(i 1,2,, n) 。
对于一阶线性常系数非齐次差分方程组
x(k 1) Ax(k) B(k 0,1,2,)
的情况同样给出。
11
2020年11月23日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
3.二阶线性常系数差分方程的平衡点
二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为
则 x* 也是一阶线性差分方程 xk1 f (x*)(xk x*) f (x*)
的平衡点. 故平衡点 x* 稳定的充要条件是 f (x* ) 1 。
2020年11月23日
三 连续模型的差分方法
1. 微分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n 1) ，且 a x0 x1 xn1 b，试求函数的导数值 f (xk )(k 1,2,, n) 。
二 差分方程的平衡点及其稳定性
4.一阶非线性差分方程的平衡点
一阶非线性差分方程的一般形式为
xk1 f (xk ),k 0,1,2,
其中 f 为已知函数，其平衡点定义为方程 x f (x) 的解 x* 。
事实上：将 f (xk ) 在 x* 处作一阶的台勒展开有
xk1 f (x* )( xk x* ) f (x* )
, n)
14
2020年11月23日
三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n) ，
b
且在[a,b]上可积，试求 f (x) 在[a,b] 上的积分值 f (x)dx 。 a
对应代数方程:
k a1k1 a2k2 ak 0
征根都有 i 1(i 1,2,, n) 。
对于一阶线性常系数非齐次差分方程组
x(k 1) Ax(k) B(k 0,1,2,)
的情况同样给出。
11
2020年11月23日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
3.二阶线性常系数差分方程的平衡点
二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为
则 x* 也是一阶线性差分方程 xk1 f (x*)(xk x*) f (x*)
的平衡点. 故平衡点 x* 稳定的充要条件是 f (x* ) 1 。
2020年11月23日
三 连续模型的差分方法
1. 微分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n 1) ，且 a x0 x1 xn1 b，试求函数的导数值 f (xk )(k 1,2,, n) 。
二 差分方程的平衡点及其稳定性
4.一阶非线性差分方程的平衡点
一阶非线性差分方程的一般形式为
xk1 f (xk ),k 0,1,2,
其中 f 为已知函数，其平衡点定义为方程 x f (x) 的解 x* 。
事实上：将 f (xk ) 在 x* 处作一阶的台勒展开有
xk1 f (x* )( xk x* ) f (x* )
, n)
14
2020年11月23日
三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n) ，
b
且在[a,b]上可积，试求 f (x) 在[a,b] 上的积分值 f (x)dx 。 a
对应代数方程:
k a1k1 a2k2 ak 0
差分方程模型PPT课件
回到全国竞赛题。这里提出了新的问题： (1)潜伏期病人如何描述？ (2)死亡病人在模型中的描述。 (3)需要考虑人口的迁移影响，如何描述？ (4)如何控制疾病的蔓延？
问题的图示
b O
a
d
d
利用简单的几何关系即得到 yk1 f ( yk ), y1 b
例2：按年龄分组的种群增长模型。
问题考虑两个要点：增长和人口分布 人口分布：对于连续问题，可以利用分布函数和 密度函数描绘。
我们也可以利用离散的方法描述人口分布。把t时
刻人口从小到大分为n组，第k 组人数xk(t)，则离 散人口分布可以利用向量
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发， 参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和 补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型， 并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出 预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
附录1 《国家人口发展战略研究报告》 附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部 分数据）及其说明
差分方程建模：设第k天病人所占比例为i(k)，健 康人数量为s(k)，则第k天病人数量变化为
Ni(k 1) Ni(k) s(k)Ni(k) Ni(k)
第k天健康人数量变化为
Ns(k 1) Ns(k) s(k)Ni(k)
把两个式子化简即得到差分方程组。
差分方程和微分方程的建模过程没有差异，差别 在于：变化率和的意义不同。
一阶线性差分方程组的稳定性： 设一阶线性差分方程组的解为{Xk}, 而受扰动解为 {Yk}。记扰动误差为
k X k Yk 则扰动误差满足
k1 A k
对任意初始扰动0，k0的充分必要条件为
( A) 1
这就是差分方程的稳定性条件。
《高数3差分方程》课件
《高数3差分方程》PPT课件
# 高数3差分方程 PPT课件 ## 简介 - 差分方程的定义 - 差分方程的应用领域
什么是差分方程？
定义
差分方程是描述离散变量之间关系的数学方程。
应用领域
差分方程广泛应用于物理学、经济学、生物学和工程学等各个领域。
离散与连续
差分方程与微分方程的联系与区别。
常见的差分方程类型
参考资料
1 差分方程相关教材
《差分方程导论》、《差 分方程与重积分》等。
2 差分方程的相关论文
搜寻关于差分方程研究的 最新论文。
3 差分方程的相关网站
浏览在线差分方程教程和 实例应用。
通过求解两个线性齐 次差分方程的通解并 取其乘积得到非齐次 差分方程的通解。
齐次线性差分 方程通解的求 法
根据初始条件求解齐 次线性差分方程的通 解。
非齐次线性差 分方程通解的 求法
根据初始条件和非齐 次项求解非齐次线性 差分方程的通解。
差分方程在实际应用中的重要性
经济学中的应用
差分方程可用于描述经济模型中的离散变化。
生物学中的应用
差分方程可用于模拟生物体内离散变量的变化 规律。
物理学中的应用
差分方程可用于研究离散物理系统的演化。
工程学中的应用
差分方程可用于分析工程系统中的离散变化与 其他参数之间的关系。
总结
差分方程是研究离散变量之间关系的重要工具，广泛应用于各个学科中。了 解差分方程的基础知识和求解方法对深入理解实际问题具有重要意义。
1
一阶线性常微分方程
描述离散变量一阶导数与其他变量之间的关系。
2
二阶线性常微分方程
描述离散变量二阶导数与其他变量之间的关系。
# 高数3差分方程 PPT课件 ## 简介 - 差分方程的定义 - 差分方程的应用领域
什么是差分方程？
定义
差分方程是描述离散变量之间关系的数学方程。
应用领域
差分方程广泛应用于物理学、经济学、生物学和工程学等各个领域。
离散与连续
差分方程与微分方程的联系与区别。
常见的差分方程类型
参考资料
1 差分方程相关教材
《差分方程导论》、《差 分方程与重积分》等。
2 差分方程的相关论文
搜寻关于差分方程研究的 最新论文。
3 差分方程的相关网站
浏览在线差分方程教程和 实例应用。
通过求解两个线性齐 次差分方程的通解并 取其乘积得到非齐次 差分方程的通解。
齐次线性差分 方程通解的求 法
根据初始条件求解齐 次线性差分方程的通 解。
非齐次线性差 分方程通解的 求法
根据初始条件和非齐 次项求解非齐次线性 差分方程的通解。
差分方程在实际应用中的重要性
经济学中的应用
差分方程可用于描述经济模型中的离散变化。
生物学中的应用
差分方程可用于模拟生物体内离散变量的变化 规律。
物理学中的应用
差分方程可用于研究离散物理系统的演化。
工程学中的应用
差分方程可用于分析工程系统中的离散变化与 其他参数之间的关系。
总结
差分方程是研究离散变量之间关系的重要工具，广泛应用于各个学科中。了 解差分方程的基础知识和求解方法对深入理解实际问题具有重要意义。
1
一阶线性常微分方程
描述离散变量一阶导数与其他变量之间的关系。
2
二阶线性常微分方程
描述离散变量二阶导数与其他变量之间的关系。
差分方程课件
例3 求 yt t 2 3t 的差分.
解 由差分的运算性质，有
yt (t 3 ) 3 t (t 1) (3 )
2 t t 2 2 t
3 (2t 1) (t 1) 2 3 3 (2t 6t 3)
t 2 t t 2
.
1 差分方程的概念
差分满足以下性质： （1） （2） （3）
(Cyt ) Cyt (C为常数)
（yt zt ) yt zt
（yt zt ) zt yt yt 1zt
yt zt yt yt zt ( zt 0) （4） （ ) zt zt 1 zt
引例1： Fibonacci （斐波那契）数列
问题 13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份
幼兔 成兔
0
1 0
1
引例2：日常的经济问题中的差分方程模型
1）. 银行存款与利率 假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型 是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…
yt t
( n)
t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
yt (t 1)( n) t ( n) (t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
高数课件 9.5.4 差分方程
三、一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt+1 + ayt = f (t).
(3)
其中 a 为不等于零的常数.
当 f (t) = 0 时, 即
yt+1 + ayt = 0
(4)
称为齐次差分方程;
当 f (t) 0时, 称为非齐次差分方程.
先求齐次差分方程 yt+1 + ayt = 0的解 设 y0 已知, 代入方程可知
化简，得 ut1 aut 0．
其通解为 ut C(a)t．
从而所给方程的通解为
yt
C(a)t
b． 1 a
例 16. 某公司每年的工资总额在比上一年增加20% 的基础 上再追加2百万．若以Wt 表示第 t 年的工资总额 (单位：百万元)，则 Wt 满足的差分方程是_____
Wt1 1.2Wt 2
则特解为
yt* t(t 1)．
于是所求通解为 yt C t(t 1)．
例 9 求 解 差 分 方 程 yt1 2 yt 5 t 2． 解 对应齐次方程 yt1 2 yt 0，其通解为 Yt C (2)t ．
设非齐次方程的特解为 yt* b0 b1t b2t 2，
代入原差分方程
n
n yt
(n1 yt )
(1)i Cni ytni
i0
结论： 差分能化为含有某些不同下标的整标函数.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称为 差分方程.
差分方程的一般形式为
F(t, yt , yt , , n yt) = 0.
(1)
差分方程中可以不含自变量 t 和未知函数 yt , 但必须 含有差分.
差分方程讲解老师优秀课件
定理1.4 若数列{an}具有性质: 对一切n有2an c, c为一个常数, 则该数列的项遵从二次变化模式, 而且表达其通项的公式是一个二次多项式.
注: 一般地, 由k次多项式定义的数列的k1阶 差分为零, 反之, 若数列{an}的k1阶差分为 零, 则存在一个生成该数列的k次多项式.
§1 数列的差分
问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系 需求函数 yk f(xk) 减函数
生产者的供应关系 供应函数 xk1h(yk) 增函数
§2 一阶线性差分方程
解析解给出了一个我们可以直接计算数列 中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点 是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时 得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的 解只从属于某个初始条件.
§2 一阶线性差分方程
二. 齐次线性差分方程的解析解
定理2.1 一阶线性差分方程an1 ran b的解为
§2 一阶线性差分方程
定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当 把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还 满足任何给定的初始条件. 差分方程 an1 an 0.07an 若把函数ak (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差 分方程就得到一个恒等式:
ak1 (1.07)k1c (1.07)k c 0.07(1.07)k c,
an
an
2an
1
0
1
2
2
1
1
2
3
0
3
2
4
3
5
2
5
8
7
注: 一般地, 由k次多项式定义的数列的k1阶 差分为零, 反之, 若数列{an}的k1阶差分为 零, 则存在一个生成该数列的k次多项式.
§1 数列的差分
问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系 需求函数 yk f(xk) 减函数
生产者的供应关系 供应函数 xk1h(yk) 增函数
§2 一阶线性差分方程
解析解给出了一个我们可以直接计算数列 中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点 是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时 得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的 解只从属于某个初始条件.
§2 一阶线性差分方程
二. 齐次线性差分方程的解析解
定理2.1 一阶线性差分方程an1 ran b的解为
§2 一阶线性差分方程
定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当 把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还 满足任何给定的初始条件. 差分方程 an1 an 0.07an 若把函数ak (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差 分方程就得到一个恒等式:
ak1 (1.07)k1c (1.07)k c 0.07(1.07)k c,
an
an
2an
1
0
1
2
2
1
1
2
3
0
3
2
4
3
5
2
5
8
7
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
yx = C(2)x .
12
再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的结构
定理 设 y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方
程(4)的通解, °yx 是(3)的一个特解, 则 yx y*x °yx 是方
程(3)的通解.
下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.
(1) 令f (x) = b0 + b1x + +bmxm
14
例6 求差分方程 yx+1 yx = x +1 的通解.
解 对应的齐次方程 yx+1 yx = 0的通解为
y*x C.
这里 a = 1, 设 °yx x(B0 B1x), 代入差分方程, 得
(x+1)[B0+B1(x+1)] x(B0+B1x) = x +1. 整理, 得
2B1 x + B0 + B1 = x +1.
差 分 方 程(1) ——基础知识
1
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
2
一、差分
微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储 蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这 种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
比较系数, 得
2B1 = 1,
B0 + B1 = 1,
解出 故所求通解为
B0
B1
1 2
,
°y x C
1 2
x(x
1).
15
(2) f (x) = Cbx
设特解的待定式为
°y x kbx (b a)
(8)
或
°y x kxbx (b a)
(9)
其中 k 为待定系数.
16
例7
求差分方程
y x 1
8
定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则 称此函数为该差分方程的解.
例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的 解.
解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2,
所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解.
(4)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
10
先求齐次差分方程 yx+1 ayx = 0的解 设 y0 已知, 代入方程可知
y1 = ay0, y2 = a2y0,
yx = axy0,
令y0 = C, 则得齐次差分方程的通解为
yx = Cax.
(5)
11
例4 求差分方程 yx+1 + 2yx = 0的通解. 解 这里 a = 2, 由公式(5)得, 通解为
3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6) = 6,
4(x3) = (6) 6 = 0.
5
二、差分方程的概念
定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程.
差分方程的一般形式为
F(x, yx, yx, , n yx) = 0.
(1)
差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含 有差分.
式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程.
6
例2 将差分方程 2yx + 2yx = 0
表示成不含差分的形式. 解 yx = yx+1 yx , 2yx = yx+2 2yx+1 + yx ,
代入得
yx+2 yx = 0.
由此可以看出, 差分方程能化为含有某些不同下标 的整标函数的方程.
代入差分方程, 得
B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2. 整理, 得
(B0+B1 +B2)+ ( B1+2B2) xB2x2=3x2.
比较系数, 得
B0+B1 +B2=0,
Hale Waihona Puke B1+2B2 = 0,B2 = 3.
解出
B0= 9, B1 = 6, B2 = 3,
故所求特解为 °yx 9 6x 3x2.
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即 3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
4
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
2(x3) = (3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6,
设特解的待定式为
°y x B0 B1x Bm xm (a 1) (6)
或
°y x (B0 B1x Bm xm ) x (a 1) (7)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
13
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
解 这里 a = 2, 设 °yx B0 B1x B2 x2,
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差 yx+1 yx
称为函数 yx 的一阶差分, 记为yx, 即
yx = yx+1 yx.
3
(yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
为二阶差分, 记为2 yx, 即 2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数
的个数与差分方程的阶数相等, 这样的解称为差分方程
的解通.
9
三、一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yx+1 ayx = f (x).
(3)
其中 a 为不等于零的常数. 当 f (x) = 0 时, 即
yx+1 ayx = 0
7
定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称 为差分方程.
其一般形式为
G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0.
(2)
定义3中要求yx, yx+1, , yx+n不少于两个.
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方 程.
差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程.
1 2
yx
5 2
x
的通解.
解
对应的齐次方程
yx1
1 2
yx
0
的通解为
12
再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的结构
定理 设 y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方
程(4)的通解, °yx 是(3)的一个特解, 则 yx y*x °yx 是方
程(3)的通解.
下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.
(1) 令f (x) = b0 + b1x + +bmxm
14
例6 求差分方程 yx+1 yx = x +1 的通解.
解 对应的齐次方程 yx+1 yx = 0的通解为
y*x C.
这里 a = 1, 设 °yx x(B0 B1x), 代入差分方程, 得
(x+1)[B0+B1(x+1)] x(B0+B1x) = x +1. 整理, 得
2B1 x + B0 + B1 = x +1.
差 分 方 程(1) ——基础知识
1
一、差分 二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 四、二阶常系数线性差分方程
2
一、差分
微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问 题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储 蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这 种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因变量对自变 量的变化速度.
比较系数, 得
2B1 = 1,
B0 + B1 = 1,
解出 故所求通解为
B0
B1
1 2
,
°y x C
1 2
x(x
1).
15
(2) f (x) = Cbx
设特解的待定式为
°y x kbx (b a)
(8)
或
°y x kxbx (b a)
(9)
其中 k 为待定系数.
16
例7
求差分方程
y x 1
8
定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则 称此函数为该差分方程的解.
例3 验证函数 yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的 解.
解 yx+1 = 2(x + 1) + 1 = 2x +3, yx+1 yx = 2x + 3 (2x +1) = 2,
所以yx = 2x + 1是差分方程 yx+1 yx = 2的解.
(4)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
10
先求齐次差分方程 yx+1 ayx = 0的解 设 y0 已知, 代入方程可知
y1 = ay0, y2 = a2y0,
yx = axy0,
令y0 = C, 则得齐次差分方程的通解为
yx = Cax.
(5)
11
例4 求差分方程 yx+1 + 2yx = 0的通解. 解 这里 a = 2, 由公式(5)得, 通解为
3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6) = 6,
4(x3) = (6) 6 = 0.
5
二、差分方程的概念
定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程.
差分方程的一般形式为
F(x, yx, yx, , n yx) = 0.
(1)
差分方程中可以不含自变量 x 和未知函数 yx, 但必须含 有差分.
式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程.
6
例2 将差分方程 2yx + 2yx = 0
表示成不含差分的形式. 解 yx = yx+1 yx , 2yx = yx+2 2yx+1 + yx ,
代入得
yx+2 yx = 0.
由此可以看出, 差分方程能化为含有某些不同下标 的整标函数的方程.
代入差分方程, 得
B0+B1(x+1)+B2(x+1)2 2(B0+B1x+B2x2)=3x2. 整理, 得
(B0+B1 +B2)+ ( B1+2B2) xB2x2=3x2.
比较系数, 得
B0+B1 +B2=0,
Hale Waihona Puke B1+2B2 = 0,B2 = 3.
解出
B0= 9, B1 = 6, B2 = 3,
故所求特解为 °yx 9 6x 3x2.
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即 3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
4
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
2(x3) = (3x2 + 3x + 1) = 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6,
设特解的待定式为
°y x B0 B1x Bm xm (a 1) (6)
或
°y x (B0 B1x Bm xm ) x (a 1) (7)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
13
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
解 这里 a = 2, 设 °yx B0 B1x B2 x2,
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差 yx+1 yx
称为函数 yx 的一阶差分, 记为yx, 即
yx = yx+1 yx.
3
(yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
为二阶差分, 记为2 yx, 即 2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数
的个数与差分方程的阶数相等, 这样的解称为差分方程
的解通.
9
三、一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yx+1 ayx = f (x).
(3)
其中 a 为不等于零的常数. 当 f (x) = 0 时, 即
yx+1 ayx = 0
7
定义3 含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称 为差分方程.
其一般形式为
G(x, yx, yx+1, , yx+n) = 0.
(2)
定义3中要求yx, yx+1, , yx+n不少于两个.
例如, yx+2 + yx+1 = 0为差分方程, yx = x不是差分方 程.
差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则 称差分方程为n 阶差分方程.
1 2
yx
5 2
x
的通解.
解
对应的齐次方程
yx1
1 2
yx
0
的通解为