求平面上点的轨迹方程的一般方法

求平面上点的轨迹方程的一般方法摘要：解析几何是用代数方法研究几何问题的一门学科。它主要研究的是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质。求轨迹方程常用的方法：直接法，基本轨迹法，相关点法，几何法，交轨法，复数法，参数法，极坐标法等。

关键词：轨迹方程方法

几何学所要研究的对象是图形的性质和位置关系。把平面图形看作平面点集，是数学中一个基本而又重要的观点。

把平面上的点进行分类是一项重要工作，分类的标准通常是一些特定的几何条件。给定一几何条件p，就可依p将平面上的点进行分类。完全适合p的点属一类，不适合p的归另一类。此外没有其他情形。适应p的点的归全体构成某个几何图形g，g就称为适合几何条件p的点的轨迹，于是我们有定义：合于某条件的点的集合，叫做合于这条件的点的轨迹，通常简称轨迹。

由轨迹定义所揭示的上诉两方面意义中，第一方面是说，没有一个适合条件p的点被漏掉，它们统统都在图形g上，故称轨迹的完备性。第二方面是说，图形g上所有点都适合条件p，没有不适合条件的点混杂在图形g上，即图形g上的点是清一色的，它们都适合条件p。故称为轨迹的纯粹性。

完备性与纯粹性是轨迹的基本属性，是判断轨迹是否为适合某

条件的某图形的不可缺少的两个基本要素。

一、平面上的曲线方程

我们在平面上建立了直角坐标系xoy，则平面上的点的位置就可以用它的坐标来确定。这样，“点在轨迹上”的充要条件，就可以与它等价的代数条件来替代，从而可以得到“点在轨迹上”的充要条件的解析表达式，这个表达式通常是含有两个变量的方程。

我们把点在轨迹上的点的坐标所满足的充要条件的解析表达式叫做轨迹的方程。由于在平面上适合于一定条件的点的轨迹通常是曲线，因此，习惯上又把轨迹的方程称为曲线的方程，而把这曲线称为方程的曲线。

在建立了直角坐标系之后，平面内的点和有序实数对之间就建立了一一对应的关系。然而曲线是由具有某些特征的点与作为它的坐标的有序实数对之间建立了一一对应关系，那么对应于符合某种条件的一切点。它得坐标是应该有制约的，也就是说它的横坐标与纵坐标之间受到某种条件的制约。这种制约与可由两变数x，y的方程表明。所以探求符合某种条件的点的轨迹问题，就变为探求这些点的坐标应受怎样的约束条件的问题。

1、求曲线的方程的步骤

（1）建立适当的坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点m的坐标；

（2）列出适合条件p的点m的集合p={m|p（m）}；

（3）用坐标表示p （m），列出方程f（x，y）=0；

（4）化方程f（x，y）=0为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点。

求曲线方程时，一般（2），（5）可以省略。

2、求曲线的方程要注意以下三个问题

首先，坐标系的建立要合适。这样可使运算变得简单，方程也会较为简单。如果坐标系建立得不恰当，就会增加计算的难度。在解题的过程中，要充分利用图形的几何特性。比如中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可以利用它的对称轴为坐标轴；有直角，可考虑将两直角边所在直线作为两坐标轴等等。

其次，根据曲线上的点所要求的条件，得出方程是最重要的。这里先要认真分析题设的条件，综合利用平面几何的知识，列出几何的等式，运用解析几何的一些基本概念、公式、定理等将几何等式坐标化，就得到曲线的方程。列出方程后，还要将方程化简，使求得的方程是最简单的形式。

最后，求得方程后，应当证明这个方程就是曲线的方程。教材上说“除个别情况外，化简过程都是同解变形，证明的过程可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明”。不要从这里得出“不需要证明”的想法，而仅仅是在同解变形的前提下不要求证明。

3、以下几点也是在求轨迹方程时需要注意的：

①坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同。

③求轨迹方程与求轨迹是有区别的。求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形。

二、求轨迹方程的常用方法

求轨迹方程的基本思路是按照动点的运动规律（或限制条件）找出动点坐标x，y之间的等量关系，直接法，基本轨迹法，相关点法（变量代换法），几何法，交轨法，待定系数法，参数法，复数法，极坐标法等。

1．直接法

2．定义法

利用所学过的圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。

3．相关点法

4．待定系数法

求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。

5．几何法

运用平面几何的轨迹定理和有关平面几何知识，分析诡计形成的条件，求出轨迹方程。这种求轨迹方程的方法称为几何法。

6．交轨法

若动点是两个曲线上交点，可通过两个曲线的方程直接来求交线的方程，就是所求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做交轨法。

7．复数法

适当选取复平面，分别用复数表示动点和已知点；根据题目的条件列出等式，代入复数，依复数相等的条件，求出动点的轨迹方程。这种求轨迹的方程的方法叫做复数法。

8．参数法

根据给定的轨迹条件，用一个中间变量（参数）分别表示这个动点的横.纵坐标。从而间接的把动点坐标x,y联系起来，得到动点轨迹的参数方程，然后消去参数，得到动点轨迹的普通方程。这种求轨迹方程的方法称为参数法。

9．极坐标法

当动点按照一定的规律运动时，如果与角度和长度有关，则通过建立极坐标求轨迹方程较为方便。利用极坐标求轨迹方程的方法叫极坐标法。

以上9种方法是求平面上点的轨迹方程的常用方法。求轨迹方程的问题是中学数学的重要问题，而且要综合运用几何，代数多方面知识，解法灵活多样。必须通过大量的练习，并不断总结各种类型习题的解法，才可以做到得心应手的解答这个问题。

参考文献：