过抛物线焦点弦的最小值问题

过抛物线焦点弦的最小值问题

例题：已知抛物线)0(22>=p px y ,过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦|AB|的最小值。

解法一：当斜率k 存在时,设直线AB 为y=k(x-2

p )

⎪⎩⎪⎨⎧=-=px

y p x k y 2)2(2

得 04)2(2

2

222=++-k p x p p k x k 即：4

2

21p

x x =

， 过焦点弦|AB|=p x x ++21

由题意可知,0,021>>x x 21212x x x x ≥+ 由于积是定值，当且仅当21x x =时即为

2

p 时能取等号,所以当斜率k 不存在,

此时这条直线就垂直于x 轴，过焦点的弦|AB|最小即通径最小。最小值为2p.

解法二：设直线的倾斜角为θ，斜率存在时,则直线为 y= tan θ(x-2

p

)

⎪⎩

⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2

θ 得 0tan 4)2tan (tan 2

2

222=+

+-θθθp x p p x θ

θ2

2

21tan 2tan p

p x x +=

+代入 过焦点弦|AB|=p x x ++21

=2p(1+θ

2

tan 1)

=

θ

2

sin 2p

当sin θ2=1时，|AB|有最小值即2p,此时斜率不存在,倾斜角2

πθ=

，即线段AB 为通径。

评价：解法一是用不等式思想求最值方法，当然用两根这积是也可以解法到求两根之积。 这种是确定动直线的位置关系来求最值的情况的。

解法二是建立函数关系式，用函数思想求最值。这是两种不同方法来分析最值问题的。 这种方法是建立函数关系式来求最值问题。

在这方面题型有两种分析思想：一是能否确定动的位置关系来判断取最值的问题。（如解法一型），二是所求与已知建立一个函数关系式，用函数求最值或范围的方法。 这是我们解决中学数学问题时常用的解题思想。