巴特沃斯低通滤波器设计

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a
(s)
当N=4时，巴特沃斯多项
式表
N 1 2 3 4 5 6 7
BN (s ) aN (s ) aN 1 (s ) ....... a1s a
' ' N ' ' N 1
式 B (s ) ，可得到归一化 的系统函数
' N
s
' 2
'
1
2s 1
2 .6 1 3 1( s ) 3 .41 4 2 ( s ) 2 .6 1 3 1( s ) 1
' 3 ' 2 '
应用T型电路，连续除法可以得到（此处根据连除法）
Z 11 ( s ) RS
'
0 .7 6 5 4 s
'
1 1 .8 4 7 8 s
'
1 1 .8 4 7 8 s
由于N阶巴特沃斯滤波器的分母多项式是霍尔为
茨多项式，并且 H ( s ) 全部传输零点在 s= 处，因 而可以用达林顿电路结构实现。 一般情况下，电路是在匹配情况下工作，所以取 信源内阻 R 和负载电阻 R 相等。 R 1 H ( j0) 此时满足 R R 2
a
s
L
L
a
S
'
BN (s ) (s )
' '
N N
BN (s ) (s )
' '
和
Z
' 11
(s ) RS
'
BN (s ) (s )
' '
N N
BN (s ) (s )
' '
卡尔 型电路）
第一种实现电路： 根据式
Z 11 ( s ) RS
'

BN (s ) (s )
' '
N N
BN (s ) (s )
' '
1 4 RS RL 2 1 ( s
'
1 2 )
2N
1
'
1 1 1
N
1 (
s j
)
2N
S
'
2N

(s ) ( s )
' N ' '
N '
BN (s ) BN ( s )
j
其中 是巴特沃斯多项式 由上式得到归一化的返射系数： ( s )
BN (s )
'
'
(s )
a
(s)
三：归一化电路的实现
备注：（1，根据连除法得到；2，直接根据阶次查表得到）
四：实际电路的实现，即去归一化
一：求巴特沃斯阶数N
-15dB 对应
s =1 0
15 20
巴特沃斯滤波器是最基本
的逼近函数形式之一。它 的幅频特性模平方为
1 2 | H a ( j ) | 2N 1 c
'
L1 s
' '
1 C2s
' '
1 L3 s
' '
1 0 .7 6 5 4 s 1
'
1 C4s 1
' '
第一步
2 .6 1 3 1( s ) 3 .41 4 2 ( s ) 2 .6 1 3 1( s ) 1
' 3 ' 2 '
0 .7 6 5 4 s
' 4 ' 3 ' 2 '
'
2 ( s ) 2 .6 1 3 1( s ) 3 .41 4 2 ( s ) 2 .6 1 3 1( s ) 1 2 ( s ) 2 .6 1 3 1( s ) 2 .0 0 0 0 ( s ) 0 .7 6 5 4 s
' 4 ' 3 ' 2 ' '
1 .4 1 4 2 ( s ) 1 .8 4 7 7 s 1
' '
1 C2s
' '
1 L3 s
' '
1 C4s 1
' '
两端同时乘以 R S 得
Z 1 1 ( s ) L1 R S s
' ' '
RS ' L L c 1 C C c RS
'
1 C2 RS
'
此处选用
1 1 C4 RS
'
RS RL 600
3 .4 4 3
或者利用公式：
N
取整后得阶数：N=4， 按其设计的滤波器，通 带实际特性优于给定之 指标。
设计步骤
一：求巴特沃斯阶数N 二：求系统函数（可以省略） H
a
(s)
三：归一化电路的实现
备注：（1，根据连除法得到；2，直接根据阶次查表得到）
四：实际电路的实现，即去归一化
二：求系统函数 H
' ' ' 4 ' 3 ' 2 '
则可以推出
Z 11 ( s ) RS
'

B4 (s ) (s )
' '
4 4
B4 (s ) (s )
' '

2 ( s ) 2 .6 1 3 1( s ) 3 .41 4 2 ( s ) 2 .6 1 3 1( s ) 1
' 4 ' 3 ' 2 '
'
0 .7 6 5 4 s 1
'
1 0 .7 6 5 4 s ' 1 0
根据连分式
Z 11 ( s ) RS
'
0 .7 6 5 4 s
'
1 1 .8 4 7 8 s
'
1 1 .8 4 7 8 s
'
L1 s
' '
1 C2s
'Baidu Nhomakorabea'
1 L3 s
' '
1 0 .7 6 5 4 s 1
' 2
第二步
' 3 ' 2
1 .8 4 7 8 s
'
'
2 .6 1 3 1( s ) 3 .41 4 2 ( s ) 2 .6 1 3 1( s ) 1 1 .4 1 4 2 ( s ) 1 .8 4 7 7 s 1
' 2 '
2 .6 1 3 1( s ) 3 .41 4 2 ( s ) 1 .8 4 7 8( s )
s
'
L3 R S s
' '
得到实际电感和电容值
L
根据反射系数公式
4 RS ( s ) ( s ) =1H a s H a -s RL 1 ' | H a j | 2N ' 1 s ' s c
得到
(s ) ( s ) 1
' 6 ' 5 ' 4 ' 3 ' 2 '
( s ) 4 .4 9 4 0 ( s ) 1 0 .0 9 7 8 ( s ) 1 4 .5 9 1 8 ( s ) 1 4 .5 9 1 8 ( s ) 1 0 . 0 9 7 8 ( s ) 4 .4 9 4 0 ( s ) 1
L
' 1
C
'
2
L
'
3
C
'
4
L
'
5
C
'
6
L
'
7
2 .0 0 0 0
1 .4 1 4 2
1 .4 1 4 2
1 .0 0 0 0
2 .0 0 0 0
1 .0 0 0 0
0 .7 6 5 4
1 .8 4 7 8
1 .8 4 7 8
0 .7 6 5 4
0 .6 1 8 0
0 .6 1 8 0
2 .0 0 0 0
特性曲线图
H
a
( jΩ )
1 N=2 1 2 N=4 N=8
解得：
N
1 lg 15 1 0 20
-1
2 4
o
c

2 2 1 0 2 lg 4 2 1 .30 4 1 0
1 lg 2 -1 s 2 lg s / c
2
H a ( j)
-3dB
-15dB
o
c
s

根据上式由此联立方程
1 | H a ( j s ) | s 2N s 1 c 4 c = 2 1 .3 0 4 1 0 ra d /s
根据巴特沃斯滤波器幅频
a
s
L
L
a
S
L

( s ) ( s ) =1-
4 RS RL
H a s H a -s
s
'
s j
达林顿电路结构


Rs
RL
源电阻 负载电阻
1
2
L C 无损 网络
RS
I1
V1
I2
RL
Es
V0
Z 11 ( s )
1
'
2
'
滤波器插在负载电阻
RL
和内阻
Rs
之间
三：归一化电路的实现
' 3 ' 2 '
第三步
' 2
0 .7 6 5 4 s 1
'
1 .8 4 7 8 s
'
'
1 .4 1 4 2 ( s ) 1 .8 4 7 7 s 1 0 .7 6 5 4 s 1
'
1 .4 1 4 2 ( s ) 1 .8 4 7 7 s
' 2
'
1
第四步
0 .7 6 5 4 s 1
' 7 ' 6 ' 5 ' 4 ' 3 ' 2 '
设计步骤
一：求巴特沃斯阶数N 二：求系统函数（可以省略） H
a
(s)
三：归一化电路的实现
备注：（1，根据连除法得到；2，直接根据阶次查表得到）
四：实际电路的实现，即去归一化
三：归一化电路的实现
由于N阶巴特沃斯滤波器的分母多项式是霍尔为
茨多项式，并且 H ( s ) 全部传输零点在 s= 处，因 而可以用达林顿电路结构实现。 一般情况下，电路是在匹配情况下工作，所以取 信源内阻 R 和负载电阻 R 相等。 R 1 H ( j0) 此时满足 R R 2 根据反射系数公式
'
N '
BN (s )
用达林顿电路实现时，策动点阻抗函数：
Z 11 ( s ) R S
'
1 (s )
'
1 (s )
'
RS
BN (s ) (s )
' '
N N
BN (s ) (s )
'
'
上式表示具有巴特沃斯滤波器特性的电路有两种可能的 综合形式：
Z 11 ( s ) R S
'
H a (s )
'
1 B N (s )
'

1 ( s ) 2 .6 1 3 1( s ) 3 .41 4 2 ( s ) 2 .6 1 3 1( s ) 1
' 4 ' 3 ' 2 '
(s )
' 3
( s ) 2( s ) 2 s 1
' 2 '
将
' 2 '
s
'
'
1 C4s 1
' '
RS 1
'
L1 0 .7 6 5 4
'
L 3 1 .8 4 7 8
可以实现电 路
C 4 0 .7 6 5 4
'
ES
C 2 1 .8 4 7 8
'
RL RS
1
此处也可以查询巴特沃斯低通原型滤波器归一化元件值表 也可以得到
N 1 2 3 4 5 6 7 N
0 .6 1 8 0
0 .6 1 8 0
0 .5 7 1 6
1 .4 1 4 2
1 .9 3 1 9
1 .9 3 1 9
1 .4 1 4 2
0 .5 7 1 6
0 .4 4 5 0
' 1
1 .2 4 7 0
1 .8 0 1 9
2 .0 0 0 0
1 .8 0 1 9
1 .2 4 7 0
0 .4 4 5 0
'
'
得到第一种实现电路
Z 11 ( s ) RS
'

BN (s ) (s )
' '
N N
BN (s ) (s )
' '
因为我们所设计的巴特沃斯滤波器为4阶 所以其中
B N ( s ) B 4 ( s ) ( s ) 2 .6 1 3 1( s ) 3 .41 4 2 ( s ) 2 .6 1 3 1( s ) 1
C
L
' 2
C
' 3
L
' 4
C
' 5
L6
'
C7
'
设计步骤
一：求巴特沃斯阶数N 二：求系统函数（可以省略） H
a
(s)
三：归一化电路的实现
备注：（1，根据连除法得到；2，直接根据阶次查表得到）
四：实际电路的实现，即去归一化
四：实际电路的实现，即解归一化
因
Z 11 ( s ) RS
'
L1 s
巴特沃斯低通滤波器设计
给定模拟滤波器技术指标
通带内允许起伏：-3dB
0 2 1 .30 4 1 0 rad /s
4
阻带衰减：
15dB
2 2 1 0 rad /s
4
H a ( j)
-3dB
-15dB
o
c
s

设计步骤
一：求巴特沃斯阶数N 二：求系统函数（可以省略） H
' 5 ' 4 ' 3 ' 2 '
s 2 .1 4 1 0 s 2 .2 9 2 1 0 s 1 .4 3 7 1 0 s 4 .5 0 6 1 0
( s ) 3.8637( s ) 7.4641( s ) 9.1416( s ) 7.4641( s ) 3.8637 ( s ) 1
c
s
'
( s ) 2 . 6 1 3 1 ( s ) 3 . 41 4 2 ( s ) 2 . 6 1 3 1 ( s ) 1
' 4 ' 3
代入上式得系统函数
H a (s) 4 .5 0 6 1 0
4 5 3 10 2 19 15 19
( s ) 3 .2 3 6 1( s ) 5 .2 3 6 1( s ) 5 .2 3 6 1( s ) 3 .2 3 6 1( s ) 1