分式方程讲义

一、教学目标：

1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.

2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根

3. 理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。

4. 初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。

二、教学内容：

课前热身：

1、分解因式：（2a+b ）（2a －b ）+b （4a+2b ）

2、如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，D E⊥AC 于F ，交BC 于点G ，交AB 的延长

线于点E ，且AE ＝AC.

（1）求证：AB=AF ；

（2）若∠BAF=60°

，且FG=1，求BC 的长.

考点一、分式方程

1、定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程．

2、解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法

是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．

【例题解析】

例1、指出下列方程中，分式方程有（ ）

A

B

E G F

D

C

①21123x x -=5 ②223x x -=5 ③2x 2-5x=0 ④52

52

x x -

+3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、掌握分式方程的解法步骤

例2、解方程：（1）51

144

x x x --=

-- 解： 51

144

x x x -+=

-- 方程两边同乘以 ，

得

． ∴

检验：把x =5代入 x -5，得x -5≠0所以，x =5是原方程的解.

（2）

22162

242

x x x x x -+-=

+-- 解：方程两边同乘以 ，得

， ∴ ．

检验：把x =2代入 x 2—4，得x 2—4=0。所以，原方程无解。.

（验根的方法：一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解。） 例3、（2007陕西）设23111

x A B x x ==+--，，当x 为何值时，A 与B 的值相等？

例4.若关于x 的方程2

1x x x +--13x =33

x k x +-有增根，求增根和k 的值．

例5、如果

25452310

A B x x x x x -+=-+--，那么A 和B 的值各是多少？

【巩固练习】 一. 选择题

1. 已知（m －1）（n －4）＝（m ＋2）（n －3），用m 的代数式表示n ，应是（ ）

A. n ＝m ＋103

B. n ＝－m ＋2

C. n ＝10－m 3

D. n ＝－7m －2 2. 关于x 的方程（a ＋1）x ＝1．下列结论正确的是（ ）

A. 此方程无解

B. x ＝1

a ＋1

C. 当a ≠－1时，此方程的解为任意数

D. 以上结论都不对

3. 分式方程x x ＋1

＝1

2的解是（ ）

A. x ＝1

B. x ＝－1

C. x ＝2

D. x ＝－2

4. 若分式1x 2－1＋2x ＋1－1

x －1

的值为零，则x 为（ ）

A. 2

B. －2

C. －1

D. －3 5. 关于x 的方程x ＋2x ＋3＝m x ＋3产生增根，则m 的值及增根x 的值分别为（ ）

A. m ＝－1，x ＝－3

B. m ＝1，x ＝－3

C. m ＝－1，x ＝3

D. m ＝1，x ＝3 二. 填空题

1. 若1x －2与1x ＋1

互为相反数，则可得关于x 的方程是__________．

2. 当x ＝__________时，3x －1与4

x ＋1

的值相等．

3. 分式方程1x ＝2

x ＋1的解为__________．

4. 若分式x 2＋3

4x ＋9

的值为正数，则x 的取值范围是__________．

5. 由（a －b ）x ＝a 2－b 2得x ＝a ＋b ，则a 、b 应满足的条件是__________．

6. 解分式方程10x 2－1＋21－x ＝3

x －1得x ＝1，则x ＝1是原方程的__________．

7. 如果方程a

x －2＋3＝1－x 2－x

有增根，那么a 的值是__________． 三. 解答题

1、（2009贺州）解分式方程：

16

310

4245--+=--x x x x 2、

（2009北京市）解分式方

程：6122

x x x +=-+

3、（2007株洲）解分式方程：

12211

x

x x +=-+ 4、（2010年眉山）解方程：

21

11x x x x

++=

+

分式方程的应用题 例6.分式解应用题

（1）已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?

（2）（2009厦门）22.供电局的电力维修工甲、乙两人要到45千米远的A 地进行电力抢修.甲骑摩托车先行，t(t≥0)小时后，乙开抢修车载着所需材料出发.

(1) 若t=3

8

（小时），抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，且甲、乙两人同时到

达，求摩托车的速度；

(2) 若摩托车的速度是45千米/时，抢修车的速度是60千米/时，且乙不能比甲晚到，则t 的最大值是多少？

（3）甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.