第五章 整数规划——运筹学课件PPT

如果A2和A3两地必 须有且只有一个建 厂，怎么办？
1、整数规划数学模型的一般形式
n
max(min)z cjxj
j1
n
aijxj (, )bi (i 1,2,,m)
st.xjj1 0(j 1,2,,n)
xj部分或全部取整数
整数规划问题的松弛问题
整数规划的类型
纯整数规划：xj全部是整数 混合整数规划： xj部分是整数 0-1型整数规划：xj = 0或1
投资总额不能超过720万元，问应该选择哪几个销售点，可使年利润为最大？
max z 36x1 40x2 50x3 22x4 20x5
30x6 25x7 48x8 58x9 61x10
100x1 120x2 x1 x2 x3 2
1在 选5在东 择0西x区 两3区由 个由三两个个点点中中最至1多8少0 x10 选择一个
工件排序问题（p138）
例5.7 用4台机床加工3件产品。各产品的机床加工顺序，以及产品在
机床上的加工工时见下表，且要求工件二的总工时不超过d。
产品1 产品2 产品3
a11 机床1 a21 机床1
a22 机床2 a32 机床2
a13 机床3 a33 机床3
a14 Hale Waihona Puke Baidu床4 a24 机床4
xij表示第i种产品在第j台机床上加工的开始时间。
3 产品2 的加工总 时间约束
产品2加工开始的时间是x21，结束加工的时间是 x24+a24，于是
x24+a24 –x21d
4 目标函 数的建立
设全部产品加工结束时间为W。 由于三件产品的加工结束时间分别为x14+a14, x24+a24, x33+a33 故
W=max(x14+a14, x24+a24, x33+a33 )
定界：在分支的过程中，若某个后继问题恰好获得了整数 规划的一个可行解，则这一可行解的目标函数值可看成一 个“界限”，作为处理其他分支的依据。
例5.4 求解如下整数规划：
首先求解其松弛规划：
max z 3x1 2x2 2x1 3x2 14
s.t.4x1 2x2 18 x1, x2 0
195
4
2
273
40
3
1365
140
甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大？
解 设x1、x2分别为甲、乙两种货物托运的件数，建立模型
max z 2x1 3x2
195x1 273x2 1365
s.t.4x1x1 440x2 140
x1,
x2
0
x1, x2为整数
例5.3某企业在A1地已有一个工厂，其产品的生产能力为30千箱，为了扩大生 产，打算在A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方建厂，已知在A2地建厂的 固定成本为175千元，在A3地建厂的固定成本为300千元，在A4地建厂的固定 成本为375千元，在A5地建厂的固定成本为500千元，另外，在A1的产量，A2， A3，A4，A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到销地的单位运价（每 千箱运费）如下表5-3所示。问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下， 使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小？
1 同一 件产品
同一件产品在下一台机床上加工的开始时间不得早 于在上一台机床上加工的结束时间
在不同 机床上 的加工
产品1：x11+a11x13 及 x13+a13x14 产品2：x21+a21x22 及 x22+a22x24
顺序
产品3：x32+a32x33
2 每台机 床对不同 产品的加 工顺序约 束
5.3 0-1ILP
例5.5 广州某食品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，目前有10个 位置可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集程度，规定：
在东区由三个点中最多选择两个； 在西区由两个点中至少选择一个； 在南区由两个点中至少选择一个； 在北区由三个点中至少选择两个。
第五章 整数规划
5.1 整数规划实例及一般模型 5.2 分支定界法 5.3 0-1整数规划 5.4 指派问题
5.1 整数规划实例
例5.1某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量、 可获利润以及托运所受限制如下表所示。
货物 甲 乙 托运限制
每件体积/立方英尺 每件重量/百千克 每件利润/百元
720
s.t.
x4 x5 1 x6 x7 1
在南区由两个点中至少 选择一个
在北区由三个点中至少
x8 x9 x10 2
选择两个
xi
0且xi为0
1变量，i
1,2,3,...,10.
例5.6 有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产品单件可变费用 及售价、资源单耗量及组织三种产品生产的固定费用见下表。要求制 定一个生产计划，使总收益最大。
机床1 机床2 机床3 机床4
x11+a11x21+My1 及 x22+a22x32+My2 及 x13+a13x33+My3 及 x14+a14x24+My4 及
x21+a21 x11+M(1-y1) x32+a32 x22+M(1-y2) x33+a33 x13+M(1-y3) x24+a24 x14+M(1-y4)
一台机床在工作中，若已开始的加工还未结束，则 不能开始加工另一产品。
注意到每台机床可以加工两种产品。因此可以用01变量yi表示第i台机床加工产品的顺序。具体表示
y1
y2
0
1
0
先加工 先加工 先加工 产品1 产品2 产品2
1
先加工 产品3
y3
0
1
先加工 先加工 产品1 产品3
y4
0
1
先加工 先加工 产品1 产品2
5.2 分支定界法
分支：若松弛问题最优解中存在变量xi=bi′不满足整数约 束，记[bi′]为不超过bi′的最大整数，则构造两个新 的约束 xi≤ [bi′] ，和xi≥ [bi′]+1。将它们分别并入到原松弛问题中， 形成原松弛问题的两个分支（后继问题）。当分支的最优 解也不满足整数约束时，可以继续构造它们的分支。
最优解为X=(3.25,2.5)’，z=14.75
因为x2=8/3，所以将其分 为x2<=2和x2>=3两个分支
x1 3
因为x1=3.25，所以将其 分为x1<=3和x1>=4两个分 支
x1 4
因为ZD<ZCx,所2 以 3
不再分支
x 2
2
因为ZE<ZC,所以不再分支
所以X*=(4,1)，Z*=14