第四章 因式分解

第四章因式分解

2．提公因式法（一）

总体说明

本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，

运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．

一、学生知识状况分析

学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．

学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．

二、教学任务分析

根据学生在上一节课的经验，学生只是对因式分解有了一个初步的印象和判断，而对于怎样把一个多项式进行因式分解还很茫然，相应的数学能力还有待于进一步加强和巩固．因此，本课时的教学目标是：

1.使学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种

相反方向的变形。

2.让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。

3.通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数

学的类比思想；通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”

的意识。

教学重点：因式分解的概念及提公因式法的应用。

教学难点：正确找出多项式中各项的公因式和当公因式是多项式时的因式分解。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：温故知新——想一想——议一议——试一试——做一做——想一想——反馈练习．

第一环节 温故知新

活动内容：计算：28

59851585⨯+⨯⨯-采用什么方法？依据是什么？ 活动目的：旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。

第二环节 想一想

活动内容：

多项式 ab+ac 中，各项有相同的因式吗？多项式 3x 2+x 呢？多项式mb 2+nb –b 呢？

结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式． 活动目的：在学生能顺利地寻找数的公因数之后，再引导学生采用类比的方法在多项式中寻找相同的因式．

第三环节 议一议

活动内容： 多项式2x 2+6x 3中各项的公因式是什么？那多项式2x 2y+6x 3y 2中各项的公因式是什么？

结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；

（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式． 活动目的：公因式由简单到复杂，由于第一个多项式提供的比较简单，寻找的公因式不具备归纳的条件，而后面所提供的寻找多项式2x 2y+6x 3y 2中各项的公因式只是多了含字母y 的因式，对比前一个公因式，通过寻找多项式2x 2y+6x 3y 2中各项的公因式，可顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力

具备了归纳出怎样寻找多项式各项公因式的条件，培养学生的初步归纳能力．第四环节试一试

活动内容：

将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：

（1）ab+ac（2）x2+4x （3）mb2+nb–b

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

活动目的：

让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．

第五环节做一做

活动内容：将下列多项式进行分解因式：

（1）3x+3x（2）7x3–212x（3）8a3b2–12ab3c+ab （4）–24x3+12x2－28x

先让学生思考这些问题，然后教师在教学中注意讲清确定公因式的具体步骤，从系数、字母和字母的次数3个方面进行分析；讲完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式，另一个因式是否还有公因式？从而把提取公因式的“提”的具体含意深刻化。

最后学生归纳：提取公因式的步骤：

（1）找公因式；（2）提公因式．

易出现的问题：（1）第二题只提出7x作为公因式

（2）第（3）题中的最后一项提出ab后，漏掉了“+1”；

（3）第（4）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号．教师提醒：（1）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

（2）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；

（3）如果多项式的首项为“–”时，则先提取“–”号，然后提取其它公因式；

（4）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等．

活动目的：根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验．

第六环节：想一想：提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？

活动目的：通过学生的回顾与思考，强化学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤的理解，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解。

第七环节：反馈练习

活动内容：1、找出下列各多项式的公因式：

（1）4x+8y （2）am+an （3）48mn–24m2n3（4）a2b–2ab2+ab 2.把下列各式因式分解：（随堂练习）

活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．通过查缺补漏强化学生确定公因式的方法及提公因式法的步骤，能熟练地利用提公因式法分解因式。

四、教学反思

由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简，比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程、二次根式化简等中都要用到因式分解的知识。因此应该注重因式分解的概念和方法的教学。

本节运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由提公因数到找公因式，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解。