2020年高中数学 3.2 简单的三角恒等变换(1)学案新人教A版必修.doc

2020年高中数学 3.2 简单的三角恒等变换(1)学案新人教A 版必修

学习目的：能运用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换，包括导出积化和差、和差化积、半角公式。

学习重点：用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换。 一、基础知识

1、和差角公式：)(βα±S =；)(βα±C =；)(βα±T =．

2、倍角公式：=)2(αS ；=)2(αT ；

=)2(αC .

3、=+ααcos sin b a ．

注意：公式)(2αS ，)(2αC ，)(2

αC '，)(2αT 成立的条件是:公式)(2αT 成立的条件是Z k k k R ∈+

≠+

≠∈,4

,2

,π

παπ

παα．其中R ∈α

二、学习过程： 例1，求证：α

+α

-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin

222

结论：半角公式

α

α

ααααα

cos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12

sin

+-±=+±=-±

= α

α-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan

变式：1.求证：2

tan 12tan

2tan ,2tan 12tan 1cos ,2

tan 12tan

2sin 2

2

2

2α

-α

=αα+α-=αα

+α

=

α

2．已知，

31cos =

α，),0(πα∈，求2sin α

3.求值：,15sin ︒,15cos ︒︒15tan

例2、求证：（1）1

cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=

++-

(2)cos cos 2cos

cos 22x y x y

x y +-+=

变式：1. 1

sin sin [cos()cos()]

2αβαβαβ=-+--

2.

cos cos 2sin

sin 22x y x y

x y +--=-

例３

、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．

求函数sin cos y a x b x =+的最大值、最小值和周期，其中,a b 是不同时为零的实数。 解：由例3 知sin cos y a x b x =+

可写为

y x x ⎫=⎪⎭

，

其中cos θθ=

=

则，原式

)()

cos sin sin cos x x x θθθ=+=+ 所以函数sin cos y a x b x =+

2π 注：此题结论可作为公式记住，可方便解题。 例4、如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为

3

π

的扇形，C 是扇形弧上的点，ABCD 是扇形的内接矩形。记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积。 例5化简θ

θθ

θ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．

变式．求证：2sin （4π－x ）·sin（4

π

+x ）=cos2x ．

例6，已知x x x f 2sin 22sin 3)(--=，求最大值

变式:求R x x x y ∈+=

,sin 2sin 2

1

2的值域，周期

学后反思：

解析：例1、试以cos α表示2

2

2

sin

,cos ,tan 2

2

2

α

α

α

．

解：我们可以通过二倍角2

cos 2cos

12

α

α=-和2

cos 12sin 2

α

α=-来做此题．

因为2

cos 12sin

2

α

α=-，可以得到2

1cos sin

2

2α

α

-=

； 因为2

cos 2cos

12

α

α=-，可以得到2

1cos cos 2

2

α

α

+=

． 又因为2

2

2

sin 1cos 2tan

2

1cos cos 2

α

α

ααα-=

=+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？

代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证： （１）、()()1

sin cos sin sin 2

αβαβαβ=

++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin

cos

2

2

θϕ

θϕ

θϕ+-+=．

证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．