常微分方程的大致知识点
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常微分方程的大致知识
点
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常微分方程的大致知识点
(一)初等积分法
1、线素场与等倾线
2、可分离变量方程
3、齐次方程(一般含有x
y y x 或的项) 4、一阶线性非齐次方程
常数变易法,或])([)()(⎰+⎰⎰=-C dx e x b e y dx x a dx x a
5、伯努力方程
令n y z -=1,则dx
dy y n dx dz n
--=)1(,可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x
N y M ∂∂=∂∂,则C y x u =),(,(留意书上公式) 若
x N y M ∂∂≠∂∂,则找积分因子,(留意书上公式) 7、可降阶的二阶微分方程
),(22dx dy x f dx y d =,令dx dy dx
y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx
y d =,令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族
(二)毕卡序列
⎰+=x
x dx y x f y y 0),(001,⎰+=x x dx y x f y y 0),(102,⎰+=x
x dx y x f y y 0),(203,其余类推 (三)常系数方程
1、常系数齐次0)(=y D L
方法:特征方程
单的实根21,λλ,x x e C e C y 2121λλ+=
单的复根i βαλ±=2,1,)sin cos (21x C x C e y x ββα+=
重的实根λλλ==21,x e x C C y λ)(21+=
重的复根i βαλ±=2,1,i βαλ±=4,3,]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
2、常系数非齐次)()(x f y D L =
方法:三部曲。
第一步求0)(=y D L 的通解Y
第二步求)()(x f y D L =的特解*y
第三步求)()(x f y D L =的通解*y Y y +=
如何求*y
当x m e x P x f α)()(=时,=*y x m k e x Q x α)(
当vx e x Q vx e x P x f ux m ux m sin )(cos )()(+=时,=*y )sin )(cos )((vx x S vx x R e x m m ux k + 当)(x f 是一般形式时,=*y ξξξξd f W x W x
x )()(),(0⎰,其中W(.)是郎斯基行列式 (四)常系数方程组
方法:三部曲。 第一步求
X t A dt
dX )(=的通解,C t )(Φ。利用特征方程0=-I A λ,并分情况讨论。 第二步求)()(t f X t A dt dX +=的特解,⎰-ΦΦds s f s t )()()(1,(定积分与不定积分等价) 第三步求)()(t f X t A dt
dX +=的通解,⎰-ΦΦ+Φds s f s t C t )()()()(1 (五)奇点与极限环
1、分析方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=dy cx dt dy by ax dt dx 的奇点的性质,用特征方程:0=-I A λ
特征方程的根有3种情况:相异实根、相异复根、相同实根。 第一种情况:相异实根,21λλ≠
当0,021><λλ,鞍点,图像
当0,021<<λλ,稳定结点,图像
当0,021>>λλ,不稳定结点,图像
第二种情况:相异复根,βαλ+=1i ,βαλ-=2i
当0=α,中心,图像
当0<α,稳定焦点,图像
当0>α,不稳定焦点,图像
第三种情况:相同实根,λλλ==21
当c b ,同时为0时,如果0>λ,不稳定临界结点,图像 如果0<λ,稳定临界结点,图像
当c b ,不同时为0时,如果0>λ,不稳定退化结点,图像 如果0<λ,稳定退化结点,图像
2、方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x Y dt
dy y x X dt dx 的奇点的性质,Perron 定理 3、方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x Y dt
dy y x X dt dx 的极限环的性质,引入极坐标⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 讨论