2021年高考数学总复习第54讲：抛物线练习题及答案解析

2021年高考数学总复习第54讲：抛物线

1．已知抛物线的准线方程为y ＝－2，则其标准方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝－8y C ．y 2＝8x

D ．y 2＝－8x

A [因为抛物线的准线方程为y ＝－2，所以抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且p

2＝2，

即p ＝4，所以抛物线的方程为x 2＝8y .]

2．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2

D ．y ＝112x 2或y ＝－1

36

x 2

D [分两类a >0，a <0，可得y ＝112x 2或y ＝－1

36

x 2.]

3．(全国卷Ⅰ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k

x (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x

轴，则k ＝( )

A ．1

2

B ．1

C ．3

2

D ．2

D [∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝k

x (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)．将

点P (1,2)的坐标代入y ＝k

x

(k ＞0)，得k ＝2.]

4．已知A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OF A ＝120°，则抛物线的准线方程是( )

A ．x ＝－1

B ．y ＝－1

C ．x ＝－2

D ．y ＝－2

A [过A 向准线作垂线，设垂足为

B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.]

5．(2020·河北承德期末)试在抛物线y 2＝－4x 上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2,1)的距离之和最小，则该点坐标为( )

A ．(－1

4， 1)

B ．(1

4， 1)

C ．(－2，－22)

D ． (－2, 22)

A [由题意得抛物线的焦点为F (－1,0)，准线方程为l ：x ＝1. 过点P 作PM ⊥l 于点M ，

由定义可得|PM |＝|PF |，所以|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PM |，由图形可得，当P ，A ，M 三点共线时，|P A |＋|PM |最小，此时P A ⊥l .故点P 的纵坐标为1，所以横坐标x ＝－14.即点P 的坐标为(－1

4，

1)．

]

6．(2020·福建福州期末)设抛物线y 2＝2px 上的三个点A ⎝⎛⎭⎫23，y 1，B (1，y 2)，C ⎝⎛⎭⎫3

2，y 3到该抛物线的焦点距离分别为d 1，d 2，d 3.若d 1，d 2，d 3中的最大值为3，则p 的值为________．

3 [根据抛物线的几何性质可得d 1＝p 2＋23，d 2＝p 2＋1，d 3＝p 2＋3

2，由题意可得p >0，因

此可判断d 3最大，故d 3＝p 2＋3

2

＝3，解得p ＝3.]

7．(2020·广东潮州期末)已知抛物线y 2＝4x 上有三点A ，B ，C ，直线AB ，BC ，AC 的斜率分别为3,6,12，则△ABC 的重心坐标为________ .

⎝⎛⎭⎫718，35432 [设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，则y A －y B x A －x B ＝k AB ，即y A －y B y 2A 4－y 2B

4

＝k AB ，y A ＋y B ＝4k AB ，即y A ＋y B ＝43①，同理y A ＋y C ＝412②，y B ＋y C ＝46③，由①②③联立可解得y A ＝12，

y B ＝56，y C ＝－16，设重心为G (x 0，y 0)，则y 0＝13(y A ＋y B ＋y C )＝718

.

x 0＝13(x A ＋x B ＋x C )＝13

⎝⎛⎭⎫y 2A 4＋y 2B 4＋y 2C 4＝35432.∴重心坐标为⎝⎛⎭⎫718，35432.] 8．(2019·山东聊城一模)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A (－1, 0)，当|PF ||P A |

取得最小值时，直线AP 的方程为________．

x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0 [设P 点的坐标为(4t 2,4t )，∵F (1,0)，A (－1,0)，∴|PF |2＝(4t 2

－1)2＋16t 2＝16t 4＋8t 2＋1.

|P A |2＝(4t 2＋1)2＋16t 2＝16t 4＋24t 2＋1，∴⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝16t 4

＋8t 2

＋116t 4＋24t 2＋1＝1－16t 2

16t 4＋24t 2＋1

＝1－

16

16t 2

＋1t

2＋24≥1－162 16t 2·1

t

2＋24

＝1－1632＝12，当且仅当16t 2＝1t 2，即t ＝±1

2

时取等号，此

时点P 坐标为(1,2)或(1，－2)，此时直线AP 的方程为y ＝±(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0或x －y ＋1＝0.]

9．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，