中考数学中的二次函数的线段和差以和最值问题

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二次函数与线段和差问题

例题精讲：如图抛物线与x轴交于A,B（1,0），与y 轴交于点C,直线经过点A,C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l,（1）求抛物线解析式。

（2）求顶点D的坐标与对称轴l.

（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE,求点E的坐标。

（4）设点G是y轴上的一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出G点坐标，若不存在，说明理由。

（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F 的坐标及△BCF周长的最小值，若不存在，说明理由。

（6）在y轴上是否存在一点S,使得SD-SB的值最大，若存在，求出S点坐标，若不存在，说明理由。

（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC 于点K，设点H的横坐标为h,线段HK=d

①求d关于h的函数关系式

②求d的最大值及此时H点的坐标

（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大值时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少

1.如图，矩形的边OA在轴上，边OC在轴上，点的坐标为(10,8)，沿直线OD折叠矩形，使点正好落在上的处，E点坐标为(6,8)，抛物线经过、、三点。

（1）求此抛物线的解析式。

（2）求AD的长。

（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标。

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线4

1

2+

=x y 与轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称。

（1）填空：点B 的坐标是 。 （2）过点的直线

（其中）与轴相交于

点C ，过点C 作直线平行于轴，P 是直线上一点，且PB=PC ，求线段PB 的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由。

（3）在（2）的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标。

3.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,.

(1)写出抛物线对应的函数解析式:△AOD的面积是

(2)连结CB交EF于M,再连结AM交OC于R,求△ACR的周长.

(3)设G(4,-5)在该抛物线

上,P是y轴上一动点,过点P

作PH垂直于直线EF并交于

H,连接AP,GH,问AP+PH+HG

是否有最小值如果有,求点

P的坐标;如果没有,请说明

理由.

4.在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、

y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点． 若E 、F 为边OA 上的

两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．

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5.四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，

∠BAD =90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标

分别是A （ 1 0-，

），B （ 1 2-，），D （3，0）．连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ．若抛物线2y ax bx c =++经过点D 、M 、N ． （1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P ，使得PA =PC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有|QE -QC |最大并求出最大值．

6.已知，如图，二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、

B 两点（B 在A 点右侧），点H 、

B

关于直线:3

l y x =

+ （1）求A 、B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上； （2）求二次函数解析式；

（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、

N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN +NM +MK 和的最小值．

7.如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2=y ax 上．

（1）求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得

AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；

（2）平移抛物线2=y ax ，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．

①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函

数解析式；

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的

周长最短若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

8.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．

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（1）求线段AB的长；

（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；

（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．