时用树状图或表格求概率
九年级数学上册 第三章 概率的进一步认识 31 用树状图或表格求概率 第1课时 用树状图或表格求概率
第三章概率的进一步认识1用树状图或表格求概率第1课时用树状图或表格求概率的图示，我们改进之后可以形成如下形式：(利用多媒体出示以下内容)处理方式：学生结合自主探究题目，独自思考2分钟左右后在小组内进行讨论交流；然后利用幻灯片对第(1)(2)题找1～2个学生进行回答，第(3)题在学生回答后提出“你能否尝试用图形表示它们的结果？”在学生思考讨论后，根据巡查中学生出现的情况，找3～4个学生在黑板上展示其讨论结果．对学生在黑板上展示的讨论结果中出现的问题，进行针对性的修改，并利用多媒体展示规X地利用“树状图”或“列表法”列举所有可能出现的结果．活动三：开放训练体现应用【应用举例】我们已经能够利用“树状图”或“列表法”来列举一个事件发生可能出现的所有结果，你能利用所学知识帮助小颖解决这个问题吗？请同学们仔细审题，完整地写下你的答案．(多媒体出示学以致用题目)例如图3－1－4，小颖有两件上衣，分别是红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是多少？本环节的设计既让学生练习了用“树状图”或“列表法”求概率的方法，同时又规X了用“树状图”或“列表法”求概率的解题步骤.处理方式：找2个学生在黑板上进行展示，其他学生在练习本上处理，然后针对学生出现的问题进行纠正，在解题过程中，要特别强调列表或树状图后文字语言的描述，从而使解题过程更加规X．【拓展提升】例(回归开始的问题类型，加以巩固提升本节课知识)一个盒子中装有一个红球、一个白球．这些球除颜色外都学生一般相同，从中随机地摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机都会用树状图或摸出一个球．求：表格求出某些事(1)两次都摸到红球的概率；件发生的概率，也(2)两次摸到不同颜色球的概率；能体会到这种方(3)只有一X电影票，通过做这样一个游戏，谁获胜谁就去法的简便性，但是看电影．如果是你，你如何选择？容易忽略各种情处理方式：如果学生没想到这些方法，教师可以以呈现表况出现的可能性格或者提问的方式等引出这些不同的求法，从而引出列表法．用是相同的这个条树状图或表格可以方便地求出某些事件发生的概率．在借助于件.树状图或表格求某些事件发生的概率时，必须保证各种情况出现的可能性是相同的．（续表）【当堂训练】学以致用，当堂。
3.1用树状图或表格求概率+第1课时+课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册
课 [本课时认知逻辑]
堂
小
结 与 检
实际 试验 问题 操作
频率估 计概率
理论 分析
等可能事件
测
解决
计算 概率
应用
画树状 图法
列表法
课 [检测]
堂
小 1.一个布袋内装有1个红球和1个黄球,这些球除颜色不同外
结 与 检 测
其余都相同,随机摸出一个球记下颜色后放回搅匀,再随机
1
摸出一个球,则两次摸出的球都是黄球的概率是 4第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是
与 否一样?
应
用 解:掷第二枚硬币可能出现正面朝上或反面朝上两种结果,它们
发生的可能性一样.
探 究
(3)在第一枚硬币正面朝上的情况下,第二枚硬币可能出现哪
与 些结果?它们发生的可能性是否一样?如果第一枚硬币反面
应
用 朝上呢?
件发生的概率.
探 知 方法 究 频率估计概率的普遍性
与
应 当遇到较复杂的事件无法求得试验的理论概率时,我们可以 用 借用试验频率的稳定值估计事件发生的概率.
探
应用 用树状图或表格求某些事件发生的概率
究 与
例 现有甲、乙两个不透明的袋子,甲袋子里装有1个红球,1
应 个黄球;乙袋子里装有1个红球,1个白球,这些球除颜色外其
测 其中,甲、乙两人选择的检票通道恰好相同的结果有3种,
∴P(甲、乙两人选择的检票通道相同)=39 = 13.
谢 谢 观 看！
应
用 上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件发生的概率
相同吗?先分组进行试验,然后累计各组的试验数据,分别计
算这三个事件发生的频数与频率,并由此估计这三个事件发
利用画树状图和列表计算概率课件
解：
大刚
小亮
抽到A组
抽到B 组
抽到C 组
BC
抽到C组
CA CB CC
P(
同组）=
3 9
=1
3
答：他们恰好分到一组的概率是
1 3·
利用树状图或表格可以清楚地表示出某个事件 产生的所有可能出现的结果，从而较方便地求出某 些事件产生的概率.
除上述方法外，还可以用什么方法解决这个问题？
列表
大刚 小亮
走A
走B
走A
AA
AB
走B
BA
BB
所有等可能的4种结果，即AA、AB、BA、BB，其中二人 相
遇的结果有2种.
想一想： 用树状图和列表法来计算概率，有什么优点？
用树状图和列表法来能帮助我们将所有可能的 结果，直观的列出来做到既不重复也不遗漏.
例1. A，B两个盒子里各装入分别写有数字0，1的两 张卡片，分别从每个盒子中随机取出1张卡片，两张 卡片上的数字之积为0的概率是多少？
解：画树状图
从树状图可以看出，两张卡片 上的数字之积共有4个等可能 结果，从中可找出“两数之积 为0”这一事件的结果有3个.
方法二：列表
B
A
0
1
0
0
0
1
0
1
由上表可知，两张卡片上的数字之积共有4种等可能的结 果，积为0的结果有3种.
次数
54
100
46
(1)根据表格提供的信息分别求出事件A、B、C产生的频率；
（2）你能求出事件A、B、C产生的理论概率吗？ （3）比较同一事件的频率与概率是否一致？
通过这节课的学习，你将知道答案.
如图,甲、乙两村之间有两条A，而两条道路，小亮从甲村 去往乙村，大刚从乙村去往甲村，二人同时出发.如果每人 从A，B两条道路中随机选择一条，而且他们都不知道对方 的选择，那么二人途中相遇的概率是多少？
用树状图或表格求概率
条件概率计算
定义：在事件B发生的情况下，事件A发生的概率 公式：P(A|B) = P(AB) / P(B) 应用场景：在多个条件相互关联的情况下，计算某一事件发生的概率 注意事项：条件概率需要考虑各事件之间的关联性，避免独立性假设的错误
独立事件概率计算
定义：两个或多 个事件同时发生 的概率等于各事 件概率的乘积
概率定义
概率是描述随机 事件发生可能性 大小的数值
概率取值范围在0 到1之间
概率等于随机事 件发生次数与总 次数之比
概率越接近1，随 机事件发生的可 能性越大
概率计算公式
概率定义公式：P(A)=事件A发生的次数/所有可能事件的总数 条件概率公式：P(A|B)=P(A∩B)/P(B) 贝叶斯公式：P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B) 概率的加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
公式： P(A∪B∪C)=P( A)×P(B)×P(C)
应用场景：多个 独立因素共同影 响一个结果的情 况
注意事项：事件 之间必须相互独 立，否则计算结 果不准确
Part Three
表格计算概率
表格构建
确定事件和概率 列出所有可能的结果 计算每个结果的概率 构建表格并记录结果
事件概率计算
定义：表格计算概率是一种通过列出所有可能事件及其对应的概率来计算概率的方法。
概率值范围
概率值应在0到1 之间，包括0但不 包括1
概率值表示某一 事件发生的可能 性大小
概率值总和应为1， 即所有可能事件 的概率之和为1
概率值可以为小 数、分数或百分 数
概率的独立性
定义：两个事件之间没有相互影响，一个事件的发生与另一个事件的发生无关。
3.1第1课时用树状图或表格求概率(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与概率相关的实际问题，如掷骰子、抛硬币等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如抛硬币实验，让学生亲身体验概率的形成过程。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“概率在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.1第1课时用树状图或表格求概率（教案）
一、教学内容
本节课选自七年级《数学》下册第3章“概率初步”中的3.1节，教学内容主要包括以下两点：
1.理解树状图和表格在求解概率问题中的应用，掌握使用树状图或表格列举所有可能结果的方法；
2.通过树状图或表格，求解简单事件的概率，培养学生分析问题、解决问题的能力。
解决方法：设计具有实际背景的例题和习题，引导学生发现并提取概率信息，培养学生解决实际问题的能力。
（4）正确理解和运用概率公式。学生在计算概率时，可能会忘记或混淆概率公式，导致计算错误。
解决方法：在讲解和练习过程中，反复强调概率公式，让学生熟记并掌握其用法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《用树状图或表格求概率》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算可能性大小的情况？”比如，抛硬币正面朝上的概率是多少？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索概率的奥秘。
3.1.3 用树状图或表格求概率
例题解析，应用新知
解：先将两个红球分别记作“红1”“红2”， 两个白球分 别记作 “白1”“白2”，然后列表如下：
第一次 第二次 红1 红2 白1 红1 （红1，红1） 红2 （红1，红2） 白1 （红1，白1） 白2 （红1，白2） 蓝
（红1，蓝）
（红2，红1）
（白1，红1）
（红2，红2）
（白1，红2）
zxxk
2
B盘 A盘 红色1 红色2 蓝色
红色 （红1，红） （红2，红） （蓝，红）
蓝色 （红1，蓝） （红2，蓝） （蓝，蓝）
探究学习，获取新么？
利用树状图或列表的方法求概率时， 各种结果出现的可能性必须相同，若可 能性不同，就必须想法进行处理，务必 使各种结果出现的可能性相同.
B盘 A盘 红色 白色
黄色
蓝色
绿色
（红，黄） （红，蓝） （红，绿）
．
（白，黄） （白，蓝） （白，绿）
总共有6种结果，而能够配成紫色的结果有1种，
1 所以,P（游戏者获胜）= . 6
探究学习，获取新知
活动内容1： 想一想
游戏2：如果把转盘变成如下图所示的转盘进 行“配紫色”游戏.
(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有 可能出现的结果. (2)游戏者获胜的概率是多少?
创设情境，导入新课
解法一：借助树状图 解：所有可能出现的结果如下：
zxxk
黄 (红，黄)
红
开始
绿 （红，绿） 蓝 (红，蓝)
黄 （白，黄） 白
绿 （白，绿） 蓝 (白，蓝) 总共有6种结果，而能够配成紫色的结果有1种，
1 所以，P（游戏者获胜）= . 6
解法二: 借助表格 解：所有可能出现的结果如下：
用树状图或表格求概率
用树状图求概率：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从三个口袋中取球）时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图。
用表格求概率：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用表格求概率。
例1、一个袋中有除颜色外其余特征均相同的4个珠子，其中2个白色，2个黑色，若从这个袋中任意取2个珠子，则其颜色不同的概率是______.例2、小刚很擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定，游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队；如果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；如果两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营．（1）用画树形图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果；（2）小刚任意挑选两球队的概率有多大？（3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？例3、有四个除颜色外完全相同的小球，它们分别是黑色、蓝色、白色、红色，现从中任意抽取一个小球后，不放回，再随机抽取一个，则两次抽取的小球恰好一个是黑色、一个是红色的概率是________.例4、有四个除颜色外完全相同的小球，它们分别是黑色、蓝色、白色、红色，现从中任意抽取一个小球后，放回摇匀，再随机抽取一个，则两次抽取的小球恰好一个是黑色、一个是红色的概率是________.例5、大双，小双的妈妈申购到一张北京奥运会的门票，兄弟俩决定分别用标有数字且除数字以外没有其它任何区别的小球，各自设计一种游戏确定谁去．大双：A袋中放着分别标有数字1，2，3的三个小球，B袋中放着分别标有数字4，5的两个小球，且都已各自搅匀，小双蒙上眼睛从两个口袋中各取出1个小球，若两个小球上的数字之积为偶数，则大双得到门票；若积为奇数，则小双得到门票．小双：口袋中放着分别标有数字1，2，3的三个小球，且已搅匀，大双，小双各蒙上眼睛有放回地摸1次，大双摸到偶数就记2分，摸到奇数记0分；小双摸到奇数就记1分，摸到偶数记0分，积分多的就得到门票．（若积分相同，则重复第二次．）（1）大双设计的游戏方案对双方是否公平？请你运用列表或树状图说明理由；（2）小双设计的游戏方案对双方是否公平？不必说理．1、在4张卡片上分别写有1-4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_______.2、箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是_______.3、一不透明纸箱中装有形状，大小，质地等完全相同的4个小球，分别标有数字1，2，3，4.(1)从纸箱中随机地一次取出两个小球，求这两个小球上所标的数字一个是奇数另一个是偶数的概率;(2)先从纸箱中随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为十位上的数字;将取出的小球放回后，再随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少?试用树状图或列表法加以说明.4、完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、-1、2、-2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m、n，以m、n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点（m，n）不在第二象限的概率。
数学用树状图或表格求概率
表格法是一种更为直观和简洁的方法，通过列出所有可能的结果和对应的概率，可以快速 地找到特定事件的概率。表格法的优点在于方便查找和计算，但需要注意的是，当事件的 可能性较多时，需要保证列表的完整性和准确性。
应用场景
树状图和表格法在各种概率计算场景中都有广泛的应用。例如，在统计学、决策分析、游 戏策略等领域中，都可以利用这两种方法来求解概率。通过学习和掌握这两种方法，可以 更好地理解和应用概率论的基本原理。
概率思维的培养
未来在教育和培训中，应该更加注重培养人们的概率思维。通过加强概率论的教育和培训，可以帮助人 们更好地理解和应用概率论的基本原理和方法，提高决策的科学性和准确性。
THANKS FORБайду номын сангаасWATCHING
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02 树状图求概率
树状图的概念
树状图是一种图形化表示方法，用于 描述事件之间的因果关系或顺序关系 。在概率论中，树状图常用于表示多 个事件之间的概率关系。
树状图由节点和边组成，节点表示事 件，边表示事件之间的关系。
树状图的应用场景
排列组合问题
树状图可以用于解决排列和组合 问题，例如在组合数学中，通过 树状图可以直观地表示出不同组
实例二：抽签游戏
总结词
通过树状图或表格列出所有可能的结果，并计算每个结果的概率。
详细描述
抽签游戏也是一个常见的概率计算实例。假设有n个签，每个签被抽中的概率是 1/n。我们可以使用树状图或表格列出所有可能的结果（抽中或未抽中），并计 算每个结果的概率。
实例三：天气预报
总结词
通过树状图或表格列出所有可能的结果，并计算每个结果的概率。
合方式的数量。
概率计算
树状图可以用于计算多个事件同时 发生的概率，通过将每个事件的概 率相乘，可以得到最终的概率值。
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两个因素所组合的所 有可能情况,即n
说明：如果第一个因素 包含2种情况；第二个 因素包含3种情况；那 么所有情况n=2×3=6.
拓展练习
.如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3,那么从每组
牌中各摸出一张牌.
请用列表或树状图列举出所出现的结果 （1）求摸出两张牌的数字之和为4的概率为多少？
（2）摸出为两张牌的数字相等的概率为多少？
小明获胜的概率（正、正）P= 1
小颖获胜的概率（反、反）P= 4 1 小凡获胜的概率（正、反）（反、4 正）P=
1. 2
因此，这个游戏对三人是不公平的。
上面的问题，还可以通过列表分析出所有 等可能的结果：
第二枚硬币
第一枚硬币
正 反
正
（正、正） （反、正）
反
（正、反） （反、反）
通过列表，我们同样可以得出结论：游戏不公平。
1. 一只不透明的袋子中装有1个白球和1个红球，这些球除颜色 外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回 袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球.
(1)两次都摸出红球的概率是多少？ (2)两次摸到不同颜色的球的概率是多少？
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
对世界上的一切学问与知识的掌握也并非
果，掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概
率都是相同的。
我们也可以通过画图列出所有可能 出现的结果：
第一枚硬币
第二枚硬币
所有可能出现的结果
正 开始
反
正
(正、正)
反
(正、反)
正
(反、正)
反
(反、反)
上图像一颗像横倒的树，我们就把他叫做树状图。
从树状图中我们可以看出：
总共有4中结果,每种结果出现的可能性相同
新课推进
议一议：
（1）掷第一枚会出现哪些结果？概率相同吗 （2）掷第二枚出现哪些结果？概率相同吗 （3）当第一枚正面朝上时，第二枚会有哪些结果？概率相同吗？当 第一枚反面朝上呢，第二枚会有哪些结果？
由于硬币质地均匀，因此掷第一枚硬币时出现“正面朝上”和
“反面朝上”的概率相同；无论掷第一枚硬币出现怎样的结
上衣 裤子
黑色
白色
红色
黑红 白红
白色
黑白 白白
所以小颖拿出一件上衣和一条裤子，恰好是白 色上衣和白色裤子的概率是1/4.
课堂小结
利用树状图或表格，我们可以不重复、不遗漏地列出所 有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生Байду номын сангаас 概率。
列表格总结
列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况
另一个 因素所 包含的 可能情 况
难事，只要持之以恒地学习，努力掌握规
律，达到熟悉的境地，就能融会贯通，运
用自如了。
—— 高士其
课堂演练
1、小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤 子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和 一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概 率是多少？先用树状图或列表列出所有的结果， 再计算概率
解法1：画树状图 上衣
开始
红色 白色
裤子
黑色 白色 黑色 白色
组合
红黑 红白 白黑 白白
解法2：列表法
第三章 概率的进一步认识
1 用树状图或表格求概率
第1课时 用树状图或表格求概率（1）
北师大版 九年级上册
新课导入
我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规 则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这 是一个游戏双方获胜概率大小的问题.
回顾概率计算方法： 摸球游戏概率： 抛1枚硬币游戏概率：
概率计算公式：一个试验共有n种等可能结果，发生事件Ａ有m种结果 P（A）=发生A事件的结果数/发生事件的总数=M/N
抛掷的结果 频数 频率
两枚正面朝上
两枚反面朝上
一枚正面朝上，一枚反面朝上
通过大量重复试验我们发现，在一般情况下，“一枚正面 朝上、一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发 生的概率，所以这个游戏不公平，它对小凡比较有利。
随机事件“同时”与“先后”的关系： “两个相同的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的.
情景活动
小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票， 三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影，游戏规则 如下：
连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上， 则小明 获胜；若两枚反面向上，小颖获胜；若一枚正面朝上、 一枚反面朝上，则小凡获胜。
你认为这个游戏公平吗？
每两人一小组，连续掷两枚硬币：每组做10次试验 收集试验数据：掷试验总次数