理论力学第七版第十章 动量定理

结 论
在运动过程中， 在运动过程中，如作用于质点系的所有外力在某一轴上的投 影的代数和始终等于零， 影的代数和始终等于零，则质点系的动量在该轴上的投影保 持不变。 持不变。
§10-2 动量定理 10-
§10-2 动量定理 10-
§10-2 动量定理 10-
例10-2
包括炮车与炮筒)的质量是 例10-2：火炮 包括炮车与炮筒 的质量是 m1，炮弹的 ：火炮(包括炮车与炮筒 质量是 m2，炮弹相对炮车的发射速度是 vr，炮筒对 水平面的仰角是α(图 。设火炮放在光滑水平面上， 水平面的仰角是 图a)。设火炮放在光滑水平面上， 且炮筒与炮车相固连， 且炮筒与炮车相固连，试求火炮的后坐速度和炮弹的 发射速度。 发射速度。
第十章 动量定理
第 十 章 动 §10-2 动 量 定 理 10§10-1 动量 与 冲量 10-
§10-3 质心运动定理 10-
第十章 动量定理 几个实际问题
第十章 动量定理 几个实际问题
§10-1 动量与冲量 10一、动 量 1、动量的定义 （1）质点的动量
单位
kg⋅ m/ s
质点的质量 m 与速度 v 的乘积 mv 称为该质 点的动量。动量是矢量，方向与质点速度方向一致。 点的动量。动量是矢量，方向与质点速度方向一致。 （2）质点系的动量 质点系内各质点的动量的矢量和称为该质点系 的动量。 表示， 的动量。用 p 表示，即有
§10-1 动量与冲量 10一、冲 量
单位： N·s 1、常力的冲量 常力与作用时间t的乘积 F·t 称为常力的冲量。并用I表 常力与作用时间t 称为常力的冲量。并用I 冲量是矢量，方向与力相同。 示，冲量是矢量，方向与力相同。
I = F⋅ t
2、变力的冲量 若力F是变力， 若力 是变力，可将力的作用时间 t 分成无数的微小时间 是变力 dt，在每个 dt 内，力 F 可视为不变。 可视为不变。 ， 元冲量——力 元冲量——力F在微小时间段 dt 内的冲量称为力F 的元冲量。 内的冲量称为力F 元冲量。 变力 F 在 t1~t2 时间间隔内的冲量为： 时间间隔内的冲量为：
2、质点动力学的基本方程为 ma = ∑F 应用 ， 时取投影形式。 时取投影形式。
第九章 质点动力学的基本方程 课程回顾 3、质点动力学的两类基本问题
(1) 已知质点的运动，求作用于质点的力 已知质点的运动， (2)已知作用于质点的力， (2)已知作用于质点的力，求质点的运动 已知作用于质点的力
§10-1 动量与冲量 10-
例10-1
的质量为2m 曲柄OA的质量 例10-1：椭圆规尺 的质量为 1；曲柄 ：椭圆规尺BD的质量为 的质量 滑块B和 的质量均为 的质量均为m 已知： 为m1；滑块 和D的质量均为 2，已知： OA=BA=AD=l ；曲柄和尺的质心分别在其中点上； 曲柄和尺的质心分别在其中点上； OA与 曲柄绕O轴转动的角速度 为常量，试求当曲柄OA 曲柄绕 轴转动的角速度ω为常量，试求当曲柄OA与 ϕ 时整个机构的动量。 时整个机构的动量。 水平成角
§10-1 动量与冲量 10-
例10-1
p′ = pBD + pB + pD = 2(m1 + m 2 )v A
由于动量p 的方向也与v 由于动量 OA的方向也与 A的 方向一致， 方向一致，所以整个椭圆机构 的动量方向与v 相同， 的动量方向与 A相同，而大小 等于 p = pOA + p′
1 = m1 lω + 2(m1 + m 2 )lω 2 1 = (5m1 + 4m 2 )lω 2
例如：射出的子弹、 例如：射出的子弹、船的靠岸
§10-1 动量与冲量 102、质点系动量的简捷求法
质点系的动量
p = ∑m v
§10-1 动量与冲量 102、质点系动量的简捷求法
质点系的质心C 质点系的质心C的矢径表达式为
∑ mr = Mr
rc
∑ mr ∑ m = M = M
p = ∑m v
c
当质点系运动时，它的质心一般也是运动的， 当质点系运动时，它的质心一般也是运动的，将上式 两端对时间求导数， 两端对时间求导数，即得
I = ∫ Fdt
t1
t2
§10-1 动量与冲量 102、变力的冲量
t
I =∫ F dt
0
上式为一矢量积分，具体计算时， 上式为一矢量积分，具体计算时，可投影于固定坐标 系上
I x = ∫ Fx dt
0
t
I y = ∫ F y dt
0
t
I z = ∫ Fz dt
0
t
§10-2 动量定理 10一、动量定理
§10-1 动量与冲量 10-
例10-1
p x = − m1v E sin ϕ − (2m1 )v A sin ϕ − m 2 v D
l = − m1 ω sin ϕ − (2m1 )lω sin ϕ − m 2 2lω sin ϕ 2
5 = − m1 + 2m 2 lω sin ϕ 2
∑ mv = Mv
c
=p
能得到什么结论？ 能得到什么结论？
质点系的动量，等于质点系的总质量与质心速度的乘积。 质点系的动量，等于质点系的总质量与质心速度的乘积。 投影到各坐标轴上有
p x = ∑ mv x = Mv cx
p y = ∑ mv y = Mv cy pz = ∑ mv z = Mv cz
因为质点系的动量为 p = 得 对该式两端求导数， ∑mv ，对该式两端求导数， dp d (m v ) = ∑ ma = ∑ F =∑ dt dt
分析右端，把作用于每个质点的力 分为内力 和外力F 分为内力F 分析右端，把作用于每个质点的力F分为内力 (i)和外力 (e)， 则得： 则得： (i ) (e )
§10-2 动量定理 10包括炸药)为研究对象 解：取火炮和炮弹(包括炸药 为研究对象 取火炮和炮弹 包括炸药
设火炮的反坐速度是 u，炮弹的发 ， 射速度是 v，对水平面的仰角是θ。 ， 炸药(其质量略去不计 的爆炸力是 炸药 其质量略去不计)的爆炸力是 其质量略去不计 内力， 内力 ， 作用在系统上的外力在水平 的投影等于零， 轴x的投影等于零，即有 的投影等于零 F =0
1 p + p = (5m1 + 4m 2 )lω 2
2 x 2 y
py px cos( p, x ) = , cos( p, y ) = p p
§11-1 动量与冲量 11-
例10-1
曲柄OA的动量 的动量 曲柄
pOA = m1v E
大小： 大小： pOA = m1v E = m1 lω 2 方向： 方向一致， 方向：与 vE 方向一致，垂直 并顺着ω 于OA并顺着ω的方向 并顺着
1、如果在上式中
dpz (e) = ∑F z dt
∑F
(e)
≡ 0 ，则有
p = p0 = 常 量 矢
结 论
其中： 其中：p0 为质点系初始瞬时的动量
在运动过程中， 在运动过程中，如作用于质点系的所有外力的矢量和始终等 于零，则质点系的动量保持不变。这就是质点系的动量守恒 于零，则质点系的动量保持不变。这就是质点系的动量守恒 定理
§10-2 动量定理 10一、动量定理
dp = ∑F(e) dt
dpy dpz dpx (e) (e) (e) = ∑Fx = ∑Fy = ∑F z dt dt dt 三、动量守恒定理 (e) 1、如果在上式中 ∑F ≡ 0，则有 x
px = p0x = 常 量
其中： 为质点系初始瞬时的动量在x轴上的投影 其中：p0x 为质点系初始瞬时的动量在 轴上的投影
∑F = ∑F
+∑F
F (i ) = 0 ∑
dp (e) 质点系动量定理的微分形式 = ∑F dt
§10-2 动量定理 10一、动量定理
dp = ∑F(e) dt
即，质点系动量对时间的导数，等于作用于它上所有外力的矢 质点系动量对时间的导数， 量和，这就是质点系动量定理的微分形式。常称为动量定理 动量定理。 量和，这就是质点系动量定理的微分形式。常称为动量定理。 具体计算时，往往写成投影形式，即 具体计算时，往往写成投影形式，
p = ∑mivi = ∑mv
i =1
n
§10-1 动量与冲量 10一、动 量 1、动量的定义
p = ∑m v
（2）质点系动量的投影式 以px，py 和 pz 分别表示质点系的动量在固定直 角坐标轴x， 角坐标轴 ，y 和 z 上的投影，则有 上的投影，
px = ∑m x py = ∑m y pz = ∑m z v v v
t2 t1
(e)
即，质点系动量在某固定轴上投影的变化量，等于 质点系动量在某固定轴上投影的变化量， 作用于质点系的外力在对应时间间隔内的冲量在 同一轴上的投影的代数和。 同一轴上的投影的代数和。
§10-2 动量定理 10一、动量定理
dp = ∑F(e) dt
dpy dpx (e) (e) = ∑Fx = ∑Fy dt dt 三、动量守恒定理
§10-1 动量与冲量 102、质点系动量的简捷求法
p = ∑ m v = Mv c
可见，如质点系的动量主矢 ，只说明其质心静止不动， 可见，如质点系的动量主矢=0，只说明其质心静止不动，而质点 系内各质点可各自运动。 系内各质点可各自运动。 质点系的动量是描述质点系随质心运动的一个物理量， 质点系的动量是描述质点系随质心运动的一个物理量，它不能描 述质点系相对于质心的运动，这个问题将在动量矩定理讨论。 述质点系相对于质心的运动，这个问题将在动量矩定理讨论。
例10-2
∑
x
可见，系统的动量在x轴上的投影守 可见，系统的动量在 轴上的投影守 考虑到初始瞬时系统处于静止， 恒 ， 考虑到初始瞬时系统处于静止 ， 即有 p0x = 0 ，于是有
px = m2vcosθ − m u = 0 1
§10-2 动量定理 10px = m2vcosθ − m u = 0 1
动
力
学
第十章 动量定理
动量、动量矩和动能定理从不同的 动量、动量矩和动能定理从不同的 侧面揭示了质点和质点系总体的运动变 化与其受力之间的关系， 化与其受力之间的关系，可用以求解质 点系动力学问题。 点系动力学问题。 动量、 动量、动量矩和动能定理称为动力 学普遍定理。 学普遍定理。 本章将阐明及应用动量定理
§10-1 动量与冲量 10p y = m1v E cos ϕ + (2m1 )v A cos ϕ + m 2 v B
5 = m1 + 2m 2 lω cos ϕ 2
例10-1
l = m1 ω cos ϕ + (2m1 )lω cos ϕ + m 2 2lω cos ϕ 2
p=
过程中， 设在 t1 到 t2 过程中，质点系的动量由 p1 变为 p2，则对上式积 分，可得 t2
dp = ∑F(e) 质点系动量定理的微分形式 dt
p2 − p1 = ∑∫ F dt ≡
t1
( e)
∑I
即，质点系的动量在一段时间内的变化量，等于作用于质点系 质点系的动量在一段时间内的变化量， 的外力在同一段时间内的冲量的矢量和，这就是质点系动量定 的外力在同一段时间内的冲量的矢量和，这就是质点系动量定 理的积分形式。常称为质点系的 量定理。 质点系的冲 理的积分形式。常称为质点系的冲量定理。
dpx (e) = ∑Fx dt
dpy பைடு நூலகம்t
= ∑Fy
(e)
dpz (e) = ∑F z dt
即，质点系的动量在固定轴上的投影对时间的导数，等于 质点系的动量在固定轴上的投影对时间的导数， 该质点系所有外力在同一轴上的投影的代数和。 该质点系所有外力在同一轴上的投影的代数和。
§10-2 动量定理 10一、动量定理 二、冲量定理
§10-2 动量定理 10二、冲量定理
p2 − p1 = ∑∫ F dt ≡ ∑I
t1
t2
t2
(e)
具体计算时，往往写成投影形式， 具体计算时，往往写成投影形式，即
p2x − p1x = ∑∫ Fx dt ≡ ∑Ix
t1
(e)
p2y − p1y = ∑∫ Fy dt ≡ ∑Iy
t2 t1
(e)
p2z − p1z = ∑∫ F dt ≡ ∑Iz z
第九章 质点动力学的基本方程 课程回顾 1、牛顿三定律适用于惯性参考系
(1) 质点具有惯性，其质量是惯性的度量 质点具有惯性， (2)作用于质点的力与其所产生的加速度成比例 (2)作用于质点的力与其所产生的加速度成比例 (3)作用力与反作用力等值、方向、共线， (3)作用力与反作用力等值、方向、共线，分别 作用力与反作用力等值 作用于两物体上。 作用于两物体上。