高等代数(第三版)1-习题课

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第一章 多项式习题课
多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律: f x g x g x f x （2）加法结合律: f x g x hx f x g x hx （3）乘法交换律: f x g x g x f x （4）乘法结合律:
第一章 多项式习题课
重因式的概念与性质
定义 不可约多项式p(x)称为多项式 f(x)的k 重因式，如果P ( x) | f ( x), 而P
k+1 k
( x) | f ( x).
如果k 0, 那么p( x)就不是f ( x)的因式； 如果k 1, 那么p( x)称为f ( x)的单因式； 如果k >1,那么p( x)称为f ( x)的重因式.
第一章 多项式习题课
多项式的乘法
给定数环R上两个多项式
g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m
f (x) 和g (x) 的乘法定义为
f x a0 a1 x a 2 x a n x
2
n
f x g x c0 c1 x c2 x 2 cn n x n m
第一章 多项式习题课
多项式互素及其等价刻画
定义 P[x]两个多项式f ( x), g ( x)称为互素的， 如果(f ( x), g ( x)) 1.
定理 P[x]中两个多项式f ( x), g ( x) 互素的充分必要条件是有P[x]中的 多项式u x , v( x)使 f xu x g xv x 1
推论2 如果(f (x),h(x))=1, (g(x),h(x))=1, 那么(f (x)g(x),h(x))=1.
第一章 多项式习题课
最大公因式与互素的概念的推广
d ( x)称为f1 ( x), f 2 ( x), 最大公因式, 如果 (1) d ( x) | f i ( x), i 1, 2, 记为( f1 ( x), f 2 ( x), , f s ( x)( s 2)的 ,s , s, 那么 ( x) | d ( x).
第一章 多项式习题课
多项式的运算性质
定理 设f x 和g ( x) 是数环R上两个多项式,并且
f x 0, g x 0 .那么
（i）当 f x g x 0 时,
（ii） f x g x f x g x
第一章 多项式习题课
多项式相等
若是数环R上两个一元多项式 , f (x) 和g (x)有完 全相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x) 和g (x)就说是相等 . f (x) = g (x )
即
f ( x ) an x n an1 x n1 g( x ) bm x bn1 x
第一章 多项式习题课
3. 因式分解与重因式
定义 数域P上次数 1的多项式p(x)称为 数域P上的不可约多项式，如果它不能表 示成数域P上的两个次数比P(x)的次数低 的多项式的乘积.
第一章 多项式习题课
因式分解及唯一性定理
数域P 上每一个次数 1的多项 式f(x)都可以唯一地分解成数域P 上 一些不可约多项式的乘积 .
g x 不能整除 f x ，记为 g( x ) | f(x)
第一章 多项式习题课
多项式整除性的一些基本性质
（1） hx | g x, g x | f x hx | f x （2） hx | f x, hx | g x hx | f x g x （3） hx | f x, g x F[ x] hx | f xg x （4） hx | f i xi 1,2,, k , g i xi 1,2,, k hx | f1 g1 f k g k （5） 0 c F , f x F[ x] c | f x （6） 0 c F , f x F[ x] cf x | f x （7） f x | g x, g x | f x f x cg x0 c F
2
f x a0 a1 x a 2 x 2 a n x n
m
且m ≤ n, f (x) 和g (x) 的加法定义为
f x g x a0 b0 a1 b1 x a2 b2 x an bn x
2
n
这里当m < n 时，bm1 bn 0
第一章 多项式习题课
定理
对于P[x]中任意两个多项式
f ( x), g ( x), 在p( x)中存在一个最大公 因式d ( x), 且d ( x)可以表成f ( x), g ( x) 的一个组合，即有P[x]中多项式 u ( x), v( x)使 d ( x) u ( x) f ( x) v( x) g ( x)
第一章 多项式习题课
定理
如果（f ( x),g ( x)) 1, 且f ( x)|g ( x)h( x), 那么f ( x)|h( x)
推论1 如果f ( x)|g ( x) , h( x)|g ( x) , 且(f ( x) ,h( x)) 1, 那么， f ( x)h( x)|g ( x).
一、内 容 小 结 二、典 型 例 题
第一章 多项式习题课
一、内 容 小 结
1. 多项式概念
令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或 一元多项式指的是形式表达式
a0 a1 x a 2 x 2 a n x n
这里n是非负整数而 ai i 0, 1, , n 都是R中的数. 一元多项式常用符号 f x, g x, 来表示.
第一章 多项式习题课
如果不可约多项式p( x)是f ( x) 的k (k 1)重因式，那么p( x)是f ( x) 的k 1重因式.
推论1 如果不可约多项式p( x )是f ( x )的 k ( k 1)重因式，那么p( x )是f ( x ), f ( x ), f
(k )
定理
f (k - 1) ( x )的因式，但不是
(2) 如果 ( x) | fi ( x), i 1, 2, , f s ( x)).
如果( f1 ( x), f 2 ( x), 则称f1 ( x), f 2 ( x),
第一章 多项式习题课
, f s ( x)) 1 ， , f s ( x)互素.
与前定理对应的结论：
d ( x)是f1 ( x), f 2 ( x), , f s ( x)的首项系数是1的最 大公因式，则存在u1 ( x), u2 ( x), , us ( x) 使得 f1 ( x)u1(x)+f 2 ( x)u2 ( x) 成立
( x )的因式.
第一章 多项式习题课
推论2 不可约多项式p( x)是f ( x)的重因式 的充分必要条件为p( x)是f ( x)与f ( x) 的公因式.
推论3 多项式f ( x)没有重因式的充分必要 条件是f ( x)与f ( x)互素.
第一章 多项式习题课
4. 多项式函数
设给定P[x]的一个多项式 f ( x) a0 a1 x a n x n 和一个数c ∈P.那么在的表示式里,把 x用c来代替, 就得到P的一个数
f1 ( x), f 2 ( x), , f s ( x)互素的充分必要 , us ( x)使得 f s ( x)us ( x) 1
f s ( x)us ( x) d ( x)
条件是存在u1 ( x), u2 ( x), f1 ( x)u1 (x)+f 2 ( x)u2 ( x)
注1：qx , r x 分别称为 g x 除f ( x)所得的商式和
余式
注2： g x 0, g x | f x r x 0.
第一章 多项式习题课
最大公因式
定义 设f ( x)，g ( x)是P[ x]中的两个多项式， P[ x]中的多项式d ( x)称为f ( x)与g ( x)的一个 最大公因式，如果满足 （1） d ( x)是f ( x), g ( x)的公因式； （2） f ( x), g ( x)的公因式全是d ( x)的因式.
f x g x max f x , g x
第一章 多项式习题课
推论1 f x g x 0 f x 0或 g x 0
推论2
f (x ) g (x ) = f (x )h (x ), f (x ) 罐 0 g (x ) = h (x )
第一章 多项式习题课
多项式的带余除法定理
定理 设f x, g x F[ x] ，且 g x 0 ，则存在
qx , r x F[ x], 使得 f x g xqx r x
这里 r x 0 ，或者 r x g x . 并且满足上述条件的 qx 和r ( x) 只有一对
这里
ck awenku.baidu.combk a1bk 1 ak 1b1 ak b0 , k 0, 1, 2,, n m
第一章 多项式习题课
多项式的减法
f x g x f x g x
即
n
f ( x ) g ( x ) (a i bi ) x i
a0 a1c a n c .
n
这样, 对于P的每一个数c, 就有P中唯一确定的数 f (c)与它对应. 于是就得到P到P的一个映射. 这个 映射是由多项式f (x)所确定的,叫做P上一个多项式 函数.
第一章 多项式习题课
定理(余数定理）
设 f ( x) P[ x], c P , 用x – c 除f (x)所得的余式
m m 1
a1 x a0 ,
b1 x b0 ,
f ( x ) g( x ) m n, ai bi , i 0,1,2, , n .
第一章 多项式习题课
多项式的运算
多项式的加法
给定数环R上两个多项式
g x b0 b1 x b2 x bm x
所谓唯一性是说，如果有两个分解式 f x p1 x p2 x ps x q1 x q2 x qt x , 那么必有s t ,并且适当排列因式的次序后有 pi ( x ) ci qi ( x ) (i=1, 2, ,s) 其中ci(i=1, 2, ,s)是一些常数.
f xg xhx f xg xhx
（5）乘法对加法的分配律: f xg x hx f xg x f xhx
注意：要把一个多项式按“降幂”书写
a n x n a n1 x n1 a1 x a0
n a x a 0 时， n 叫做多项式的首项. 当 n
第一章 多项式习题课
2. 多项式的整除、最大公因式
设F是一个数域. F [x]是F上一元多项式环.
设f x ,g x F[ x ]， 如果存在 hx F[ x] ，使得
定义
，记为 g x f x 整除 ，则称 f x g xhx
g x | f x ，此时称 g x 是 f x 的因式，否则称