第二章 应力分析

Z

2 3
1
通过A点所有单元上全应力的矢量末端都落在椭球面上。 （应力椭球）
2－7 应力球张量和应力偏张量

应力张量的分解
ij m ii sij
m ii
m 0 0 0

应力球量改变单元 体体积， 应力偏量改变单元 体形状。
m
0

0 0 m
2. 将Px、Py、Pz投影到x’轴上，得x’面上的正应力：
3. 将Px、Py、Pz分别向y’、z’轴投影，得x’面上沿y’方 向的剪应力和沿z’的剪应力：
三、平面问题的应力坐标转换公式 下面的α是由旧坐标系逆时针转的角所得到的 l1=cosα，m1=cos（90-α）=sinα
l2=cos(90+α） m2=cosα
剪应力
已知物体内一点的9个应力分量，就可求出 任一斜截面上的全应力和正应力、剪应力。
四、应力张量
使用应力张量可以完整地描述一点的应力状态
2－3
应力坐标转换
坐标系作平移变换时，同一点的应力分量是不会改变的
新的坐标系
Ox'y'z'

应力不仅随位置改变而 变化，而且随截面方位 改变而变化。
同一点由于截面的法线 方向不同，截面上的应 力也不同。 讨论应力分量在坐标变 换时的变化规律。
2－4
主应力、应力张量不变量
主平面是指剪应力为零的平面 应力主轴为主平面法线方向（或主方向） 主应力为主平面的正应力
一、应力状态的特征方程
A点处有一个主面n 剪应力为0 正应力即全应力
主应力的三个分量为Px,
Py，Pz
px il py im pz i n
代入公式，得
p x i l x l xy m xz n p y i m yxl y m yz n p z i n zx l zy m z n
•主应力和应力主方向取决于结构外力和 约束条件，与坐标系无关。 •因此特征方程的三个根是确定的。 •特征方程的三个根，即一点的三个主 应力均为实数。 •根据三次方程性质可以证明。 •任意一点三个应力主方向是相互垂直 的——三个应力主轴正交的。
•坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应 力状态不变。 •应力不变量正是对应力状态性质的描述。
2 2 2 ( z m )( x m ) xy yz zx ]
1 2 2 2 [( x m ) 2 ( y m ) 2 ( z m ) 2 6( xy yz zx )] 6 2 2 J 3 ( x m )( y m )( z m ) ( x m ) 2 yz ( y m ) 2 xz
整理，得
且
这是关于主平面方向余弦 l，m，n 的齐次线性方程组
这个方程组具有非零解的条件为系数行列式等于零
展开行列式，得
其中：
I1 x y z
2 2 2 I 2 x y y z z x xy yz zx 2 2 2 I 3 x y z x yz y zx z xy 2 xy yz zx
2－9 平衡微分方程－－应力与体力的关系
平衡
物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。
平衡微分方程
x yx zx X 0 x y z
ij , i Fbj 0
xy x

y y

zy z
Y 0
2-8 八面体应力
1 8 n ( 1 2 3 ) 3 1 1 ( x y z ) I1 3 3
2 i i
1 8 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3 1 2( 1 2 3 ) 2 6( 1 2 2 3 3 1 ) 3 1 2 2 2 I1 6 I 2 rd 4 3 3
平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。
这种平衡只是静力学可能的平衡。 真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足
变形连续条件。



二、应力张量不变量
I1, I2, I3 分别称为应力张量的第一，第二和第三不变量
所谓不变量是指同一点的应力张量而言的， 它们与坐标轴的选取无关
I1 1 2 3 I 2 1 2 2 3 3 1 I 3 1 2 3
应力不变量性质 不变性 实数性 正交性
1 m ( x y z ) 3
x m xy xz s11 s12 s13 sij yx y m yz s21 s22 s23 s s s zy z m 31 32 33 zx
2 ( z m ) 2 xy 2 xy yz zx
当取坐标轴为应力主轴时有：
J1 0 1 J 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 6 J 3 ( 1 m )( 2 m )( 3 m )
一点的应力状态、应力张量
一、单元体及应力分量表示
二、正面与负面及应力的正负号元规定
正面指某一单元面的外法线沿坐标轴的正向
负面指某一单元面的外法线沿坐标轴的负向
应力正负：作用在正面上的应力沿坐标轴的正向为正 作用在负面上的应力沿坐标轴的负向为正 反之，为负。
两互相垂直截面上在其相交处的剪应力成对存在，且 数值相等、符号相反，这称为剪应力互等定理。
第二章 应力分析
2－1 外力－－面力和体力
2－2
2－3 2－4 2－5 2－6
一点的应力状态、应力张量
应力坐标转换 主应力、应力张量不变量 最大和最小应力 应力椭球
2－7
应力球张量和应力偏量
2－8 八面体应力 2－9 平面微分方程－－应力与体力的关系 2－10 静力边界条件－－应力与面力的关系
2－1


一、新旧坐标系下的方向余弦
新坐标系与旧坐标系 之间有如下关系: （sb老师也不解释清楚） L1，l2，l3分别是对旧的坐标系的方向余 m1.，m2等等如上
二、应力坐标转换公式
1. 作斜截面ABC与 x‘ 轴垂 直，其应力矢量为P ，再将P 向旧坐标系上进行投影，得：
p x xl1 xy m1 xz n1 p y yxl1 y m1 yz n1 p z zx l 1 zy m1 z n1
一、面力
外力－－面力和体力
面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力， 物体之间的接触力等
面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负
二、体力
体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又 称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。
体力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负
2－2
应力偏量方程：
Si3 J1Si2 J 2 Si J 3 0
可得应力偏量的三个不变量：
J1 ( x m ) ( y m ) ( z m ) 0 J 2 [( x m )( y m ) ( y m )( z m )
2－5

最大和最小应力
转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律 结构强度分析需要简化和有效的参数 —— 最大正应力、最大切应力以及方位 最大和最小的正应力即为三个主应力 主应力和主平面——应力状态分析重要参数 应力不变量——进一步探讨应力状态
一、最大和最小的正应力
最大和最小的正应力即为
静力边界条件－－面力边界条件
X x l xy m xz n Y yxl y m yz n Z zx l zy m z n
如平面问题的静力边界条件：
X xl xy m Y yxl y m
面力边界条件描述弹性体表面的平衡，
任一斜单元面上全应力在坐标轴上投影的计算公式
任一斜单元面上全应力的计算公式:
p
2 2 px py p z2
n p x l p y m p z n
正应力
xl 2 ym 2 zn 2 2 xylm 2 yzm n 2 zxnl
2 2 2 2 2 n p2 n px py pz n
三、一点的应力状态
一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态
l cos(n, x) m cos(n, y ) n cos(n, z )
p x xl xy m xz n p y yxl y m yz n p z zx l zy m z n
z yz z Z 0 x y z
切应力互等定理
ij ji
2－10 静力边界条件－－应力与面力的关系
弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面 力边界条件，维持弹性体表面的平衡。 边界面力已知——面力边界S
面力边界条件——
Fsj ij ni
确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于 边界的应力分量的关系。
特征方程有三个实数根 1，2，3分别表示这三个根，代表某点三个主应力。 对于应力主方向，将1，2，3分别代入前式。


应力状态特征方程
——确定弹性体内部任意一点主应力和应力 主轴方向。 主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和 边界条件等，与坐标轴的选取无关。 因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3 的值是不随坐标轴的改变而变化的。 I1、I2、I3 分别称为应力张量的第一、第二 和第三不变量。
1 2 3
主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力
二、最大和最小的剪应力

1 3
2
2－6 应力椭球
x 1
X 1l
得椭球方程：
y 2
Y 2m
z 3
Z 3n
任一斜单元面上的全应力在坐标轴上的分量：
X

2 1

Y

2 2