最新微积分的基本运算

微积分的基本运算

第4章微积分的基本运算

本章学习的主要目的：

1．复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识.

2．通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解.

3．学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算；

4．了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算.

1 有关函数极限计算的MatLab命令

(1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限

(2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限

(3)limit(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限

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(4)limit(F,x,a,’left’) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的左极限

(5)limit(F,x,a,’right’) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的右极限

注:使用命令limit前,要用syms做相应符号变量说明.

例7 求下列极限

(1)«Skip Record If...»

在MatLab的命令窗口输入:

syms x

limit((cos(x)-exp(-x^2/2))/x^4,x,0)

运行结果为

ans =-1/12

理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限:

方法1 «Skip Record If...»

«Skip Record If...»

方法2 «Skip Record If...»

«Skip Record If...»

(2) «Skip Record If...» %自变量趋于无穷大,带参数t

在MatLab的命令窗口输入:

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syms x t

limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)

运行结果为

ans =exp(6*t)

理论上用重要极限计算:

«Skip Record If...»

(3) «Skip Record If...» %求右极限

在MatLab的命令窗口输入:

syms x

limit(1/x,x,0,’right’)

运行结果为

ans = inf

2 有关函数导数计算的MatLab命令

(1)diff(F,x) 表示表达式F对符号变量x求一阶导数，允许

表达式F含有其他符号变量，若x缺省，

则表示对由命令syms定义的变量求一阶

导数。

(2)diff(F,x,n) 表示表达式F对符号变量x求n阶导数。

例10求下列函数的导数

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（1）已知«Skip Record If...»,求«Skip Record If...»；

在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:

syms x

y=x*asin(x/2)+sqrt(4-x^2)

diff(y,x) %执行结果ans = asin(1/2*x)与理论推导«Skip Record If...»完全吻合。

diff(y,x,3) %执行结果ans = 1/(4-x^2)^(3/2)*x与理论推导

«Skip Record If...»完全吻合。

（2）已知«Skip Record If...»,求«Skip Record If...»

在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:

syms x y z

z=x^2*sin(2*y);

diff(z,x) %执行结果ans =2*x*sin(2*y)

diff(z,x,2) %执行结果ans =2*sin(2*y)

diff(diff(z,x),y) %执行结果ans =4*x*cos(2*y)

（3）已知«Skip Record If...»,求«Skip Record If...» (复合函数求导偏导数)

在MatLab的命令窗口输入如下命令序列:

syms x y z u

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z=x^2+y^2;

u=(x-y)^z;

diff(u,x) %执行结果«Skip Record If...»(x-y)^(x^2+y^2)*(2*x*log(x-y)+(x^2+y^2)/(x-y))

diff(u,y,2) %执行结果«Skip Record If...»(x-y)^(x^2+y^2)*(2*y*log(x-y)-(x^2+y^2)/(x-y))^2+

(x-y)^(x^2+y^2)*(2*log(x-y)-4*y/(x-y)-

(x^2+y^2)/(x-y)^2)

diff(diff(u,x),y) %执行结果«Skip Record If...»(x-y)^(x^2+y^2)*(2*y*log(x-y)-

(x^2+y^2)/(x-y))*(2*x*log(x-y)+(x^2+y^2)/(x-y))+(x-

y)^(x^2+y^2)*(-2*x/(x-y)

+2*y/(x-y)+(x^2+y^2)/(x-y)^2)

3 极值问题

MatLab软件提供了求一元和多元函数极值问题的命令：fmin(f,x1,x2) 求函数f(x)在x1

fmins('f',[x1,x2]),求二元函数在点（x1 x2）附近的极值

点。

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