等腰三角形 PPT课件

例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证： AF⊥BC.
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作 AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
F
C
1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X） （X） （√） （X） （√）
∠ADB ＝∠ADC =90° B D
C
性质2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的 高互相重合（通常说成等腰三角形的“三线合一”）.
填一填:根据等腰三角形性质定理2完成下列填空.
在△ABC中， AB=AC时，
A
（1）∵AD⊥BC,
∴∠__1___ = ∠__2___，B__D__= _C_D__.
AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C.
A 12
B
D
C
证法3：
证明：作底边BC的高AD，交BC于点D.
A
∵AD⊥BC，
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共边），
B
D
C
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
A
⌒
x
D
2x
2x
B
C
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外 角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种 等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解 答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
针对训练： 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°， 求∠B和∠C的度数. 解：∵AB=AD=DC
12
(2) ∵AD是中线，
∴_A__D_⊥__B_C_ ，∠___1__ =∠___2__.
B
D
C
(3) ∵AD是角平分线，
源自文库
∴_A_D__ ⊥_B__C_ ，__B_D__ =__C_D__.
画出任意一个A等腰三角
形的底角平分线、这个 底角所对的腰上的中线 和高，看看它们是否重 合？
B
C
D
B
A
E
D
二 等腰三角形的性质2
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上， 从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板 底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?
想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么?
重合的线段
重合的角
A
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C
∠BAD ＝ ∠CAD
应用格式：
AD=AD（公共边），
∵AB=AC（已知）
∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
证法2：作顶角∠BAC的平分线AD， 交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证），
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC 设 ∠C=x，则 ∠DAC=x， ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x， 在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得
2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角
A
顶
角
腰
腰
底角
B
底角
C
底边
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
讲授新课
一 等腰三角形的性质1
互动探究
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去 阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形 展开，得到的三角形ABC有什么特点？
B
A
2x
2x
B
C
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 ° ∴x+2x+2x=180 °,
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x, 从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x, 于是在△ABC中，有 ∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ， 解得x=36 ° . ∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
B
D
C
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 说一说你的猜想.
猜想与验证 性质1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
已知：△ABC 中，AB=AC .
A
求证：∠B=∠C. 证法1：作底边BC边上的中线AD.
在△ABD与△ACD中：
AB=AC（已知），
B
DC
BD=DC（作图），
G
图①
图②
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中， 有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上 的高、底边上的中线是常见的辅助线．
课堂小结
等 边 对 等 角 注意是指同一个三角形中
等腰三角 形的性质
三线合一
注意是指顶角的平分线,底边上 的高和中线才有这一性质.而腰 上高和中线与底角的平分线不具 有这一性质.
AB=AC
等腰三角形
C
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴 是什么？
B
A
D
C
等腰三角形是轴对称图形. 折痕所在的直线是它的对称轴.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中 重合的线段和角.
A
重合的线段
重合的角
AB与AC
∠B 与∠C.
BD与CD
∠BAD 与∠CAD
AD与AD
∠ADB 与∠ADC
形的底角的大小是( A )
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据 三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知 一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角， 要分两种情况讨论．
∴ ∠B＝∠C.
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且
⌒
BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
A
解析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关 x
系，∠BDC与∠C、∠ABC呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A,
D
∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A. （2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含 x的式子表示出来.
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用
等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)
导入新课
情境引入
定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.