中考数学专题：最短距离问题分析[1]

2019深圳中考数学专题复习：最短距离问题分析

最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。

一、“最值”问题大都归于两类基本模型：

Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值

Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。几何模型：

条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA PB

+的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于点P，

则PA PB A B'

+=的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，

P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，

B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则

PB PE

+的最小值是___________；

（2）如图2，O

⊙的半径为2，点A B C

、、在O

⊙上，

OA OB

⊥，60

AOC

∠=°，P是OB上一动点，

求PA PC

+的最小值；

（3）如图3，45

AOB

∠=°，P是AOB

∠内一点，10

PO=，

Q R

、分别是OA OB

、上的动点，求PQR

△周长的最小值．

解：（1）PB PE

+

的最小值是DE=

（2）PA PC

+

的最小值是

（3）PQR

∆

周长的最小值是

【典型例题分析】A

B

A'

P

l

A

B

P

R

Q

图3

A

B

p

图1

A

B

C

图2 P

C

1.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，

点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（ ） A

． B

． C ．3 D

2．如图，抛物线21

2

4y x x =--+的顶点为A ，与y 轴交于点B ． (1)求点A 、点B 的坐标；

(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB ； (3)当PA-PB 最大时，求点P 的坐标.

解：(1)令x=0，得y=2，∴ B(0，2) ， ∵

22112(2)3

44y x x x =-

-+=-++，

(2)证明：ⅰ.当点P 是AB 的延长线与x 轴交点时，PA-PB=AB ； ⅱ.当点P 在x 轴上又异于AB 的延长线与x 轴的交点时， 在点P 、A 、B 构成的三角形中，PA-PB

＜AB. ∴ 综合上述：PA-PB≤AB.

(3)作直线AB 交x 轴于点P 由(2)可知：当PA-PB 最大时，点P 作AH ⊥OP 于H ∵ BO ⊥OP ∴ ∠BOP=∠AHP ，且∠BPO=∠APH

∴ △BOP ∽△AHP ∴

AH HP

BO OP = 由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2 即 322

OP

OP +=

∴ OP=4，∴ P(4，0) 3.如图，在矩形OABC 中，已知A 、C 两点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为OA 的中点．设点P 是AOC

∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）． （1）试证明：无论点P 运动到何处，PC 总与PD 相等；

（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式；

（3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，PDE △的周长最小？求出此时点P 的坐标和PDE △的周长；

（4）设点N 是矩形OABC 的对称中心，是否存在点P ，使90CPN ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标． 解：（1）∵点D 是OA 的中点，∴2OD =，∴OD OC =． 又∵OP 是COD ∠的角平分线，∴45POC POD ∠=∠=°，

A D

E P

B

C

（2）过点B 作AOC ∠的平分线的垂线，垂足为P ，点P 即为所求． 易知点F 的坐标为（2，2），故2BF =，作PM BF ⊥，

∵PBF △是等腰直角三角形，∴1

12

PM BF ==，

∴点P 的坐标为（3，3）． ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为2y ax bx =+．

又∵抛物线经过点(33)P ，和点(20)D ，， ∴有933420a b a b +=⎧⎨

+=⎩ 解得1

2a b =⎧⎨=-⎩

∴抛物线的解析式为22y x x =-．

（3）由等腰直角三角形的对称性知D 点关于AOC ∠的平分线的对称点即为C 点．

连接EC ，它与AOC ∠的平分线的交点即为所求的P 点（因为PE PD EC +=，而两点之间线段最短），此时PED △的周长最小．∵抛物线22y x x =-的顶点E 的坐标(11)-，，C 点的坐标(02)，， 设CE 所在直

线的解析式为y kx b =+，则有12k b b +=-⎧⎨=⎩，解得3

2k b =-⎧⎨=⎩

．

∴CE 所在直线的解析式为32y x =-+．点P 满足32y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得12

12

x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点P 的坐标为

112

2⎛⎫

⎪

⎝⎭

，． PED △的周长即是CE DE += （4）存在点P ，使90CPN ∠=°．其坐标是1122⎛⎫

⎪⎝⎭

，或(22)，．

4.一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式；

（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，

求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．

解：(1)将点A 、B 的坐标代入y ＝kx ＋b 并计算得k ＝－2，b ＝4．∴解析式为：y ＝－2x ＋4；

(2)设点C 关于点O 的对称点为C ′，连结PC ′、DC ′，则PC ＝PC ′．

∴PC ＋PD ＝PC ′＋PD ≥C ′D ，即C ′、P 、D 共线时，PC ＋PD 的最小值是C ′D ．

连结CD ，在Rt △DCC ′中，C ′D

＝；易得点P 的坐标为(0，1)．(亦可作Rt △AOB 关于y 轴对称的△)

5.已知：抛物线的对称轴为与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．

（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）此抛物线的解析式为224

233

y x x =+-

（2）连结AC 、BC .因为BC 的长度一定，所以PBC △周长最小，就是使PC PB +最小

.B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴1x =-的交点即为所求的点