必修二点直线平面知识点

高中数学必修2立体几何常考题型：直线与平面、平面与平面平行的性质正式版

直线与平面、平面与平面平行的性质【知识梳理】 1．线面平行的性质定理 (1)文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． (2)图形语言： (3)符号语言： ? ????a ∥αa ?βα∩β＝b ?a ∥b (4)作用：线面平行?线线平行． 2．面面平行的性质定理 (1)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． (2)图形语言： (3)符号语言： ? ????α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ?a ∥b (4)作用：面面平行?线线平行．【常考题型】题型一、线面平行的性质及应用【例1】如图所示，已知三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为?EFGH ，求证：CD ∥平面EFGH .

[证明]∵EFGH为平行四边形，∴EF∥GH. 又GH?平面BCD，EF?平面BCD， ∴EF∥平面BCD. 而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD， ∴EF∥CD. 又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH， ∴CD∥平面EFGH. 【类题通法】运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行．证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系．【对点训练】 1．求证：如果一条线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l. 证明：如图，过a作平面γ交α于b. ∵a∥α，∴a∥b.过a作平面ε交平面β于c.∵a∥β， ∴a∥c，∴b∥c. 又b?β且c?β，∴b∥β. 又平面α过b交β于l，∴b∥l. ∵a∥b，∴a∥l. 题型二、面面平行的性质及应用【例2】如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别

初中几何基本知识点总结(精简版)

初中几何基本知识点总结（精简版） 1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

高中数学必修二直线与平面平行判定与性质

高中数学必修二直线与平面平行判定与性质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

- 2 - 2. 2《直线、平面平行的判定及其性质》测试第1题. 已知a α β=，m βγ=，b γα=，且m α//，求证： a b //．答案：证明： m m m a a b a m b β γααβ=?? ?? ??????=???同理////////．第2题. 已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（）Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a ，b 相交但不垂直Ｄ．a ，b 异面答案：Ａ．第4题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11E F 是平面11A C 上的线段，求证：11E F //平面AC ．答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截取11AE A E =， 11DF D F =，连接1EE ，1FF ，EF ． ∵长方体1AC 的各个面为矩形， 11A E ∴平行且等于AE ，11D F 平行且等于DF ，故四边形11AEE A ，11DFF D 为平行四边形． 1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF

- 3 - 四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //． EF ?∵平面ABCD ，11E F ?平面ABCD ， ∴11E F //平面ABCD ．第5题. 如图，在正方形ABCD 中，BD 的圆心是A ，半径为 AB ，BD 是正方形ABCD 的对角线，正方形以AB 所在直线为轴旋转一周．则图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得几何体的体积之比为．答案：111∶∶ 第6题. 如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶．（１）求证：直线MN //平面PBC ；（２）（１）答案：证明：连接AN 并延长交BC 于E ，连接PE ，则由AD BC //，得BN NE ND AN = ．

必修二第2章 2.2.1直线与平面平行的判定

§2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1直线与平面平行的判定【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题． 1．直线与平面平行的定义：直线与平面______公共点． 2．直线与平面平行的判定定理： ______________一条直线与________________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为____________________________．一、选择题 1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面) ①若a∥b，b?α，则a∥α； ②若a∥α，b∥α，则a∥b； ③若a∥b，b∥α，则a∥α；

④若a∥α，b?α，则a∥b．其中正确说法的个数是() A．0B．1C．2D．3 2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交 C．b?αD．b∥α或b与α相交 3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是() A．平行B．相交 C．平行或相交D．AB?α 4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是() A．平行B．相交 C．在内D．不能确定 5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面() A．不存在B．只能作出一个 C．能作出无数个D．以上都有可能 6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有() A．4条B．6条C．8条D．12条二、填空题 7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行． 8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中： (1)与直线AB平行的平面是________； (2)与直线AA1平行的平面是______； (3)与直线AD平行的平面是______． 9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______．三、解答题 10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．

初中几何知识点教学内容

初中数学几何定理 1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3同角或等角的补角相等 4同角或等角的余角相等 5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9同位角相等，两直线平行 10内错角相等，两直线平行 11同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13两直线平行，内错角相等 14两直线平行，同旁内角互补 15定理三角形两边的和大于第三边 16推论三角形两边的差小于第三边 17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18推论1直角三角形的两个锐角互余 19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等 26斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形 36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等? 40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

点、直线、平面之间的位置关系知识点总结

点、直线、平面之间的位置关系一、线、面之间的平行、垂直关系的证明书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推；线面垂直判定定理线面垂直的定义两平面的法线垂直则两平面垂直面面垂直判定定理线面平行判定定理线面平行性质定理线面平行转化面面平行判定定理面面平行性质定理

3、平行关系与垂直关系互推。以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。线线平行传递性：b c c a b a //////?? ??；面面平行传递性：γαβγβα//////?? ??；线面垂直、线面垂直?线面平行： ααββα//a a a ??? ????⊥⊥；线面垂直?线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //?? ??⊥⊥αα；线面垂直?面面平行：βαβα//?? ??⊥⊥a a ；线面垂直、面面平行?线面垂直：βαβα⊥?? ??⊥a a //；线线平行、线面垂直?线面垂直：αα⊥?? ??⊥b a b a //；线面垂直、线面平行?面面垂直：βααβ⊥?? ??⊥a a //。备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。符号化语言一览表 ①线面平行ααα////a a b b a ????????；αββα////a a ?????；ααββα//a a a ??? ????⊥⊥； ②线线平行:////a a a b b α βαβ??????=?；b a b a //????⊥⊥αα；////a a b b αβαγβγ??=???=? ；b c c a b a //////????； ③面面平行:,////,//a b a b O a b αααβββ????=????；βαβα//????⊥⊥a a ；γαβγβα//////????；

人教版高中数学必修二平面与平面垂直的性质公开课优质教案

2.3.4 平面与平面垂直的性质一、教材分析空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、 “高级”的定理.（2）它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理. 二、教学目标 1．知识与技能（1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（ 3 ）了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 2．过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；3．情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明” ，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力三、教学重点与难点教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 四、课时安排 1 课时五、教学设计（一）复习

1）面面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直（ 2 ）面面垂直的判定定理 . 两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的判定定理符号表述为：两个平面垂直的判定定理图形表述为：二）导入新课思路 1.（情境导入）黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？思路 2.（事例导入）如图 2，长方体 ABCD —A ′B ′C ′中D ，′平面 A ′ ADD ′与平面 ABCD 垂直 ,直线 A ′A 垂直于其交线 AD. 平面 A ′ ADD ′内的直线 A ′A 与平面 ABCD 垂直吗？二）推进新课、新知探究、提出问题 ① 如图 3,若 α⊥β, α∩β =CD,AB α,AB ⊥CD,AB ∩CD=B. 请同学们讨论直线 AB 与平面 β的位置关系 . AB AB α⊥β. 图1 图2

几何初中知识点总结三

几何初中知识点总结（三） 82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h 83(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d 85(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例 88定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似(ASA) 92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和

原三角形相似 93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS) 94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(SSS) 95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比 98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

高中数学必修二直线与平面垂直的判定说课稿

苏教版高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》说课稿各位评委大家好！我要说课的内容是《直线与平面垂直的判定》，选自现行苏教版数学教材必修2，第一章，第二节的第三个问题。下面我从教材分析、目的分析、教法分析、过程分析及评价分析等5个方面进行汇报我对这节课的教学设想。一、教材分析 1．教材的地位和作用这一节课的内容是高考中的热点问题，在整个立体几何体系起到承上启下的作用。本节教材是在学生学习了空间直线的垂直关系的基础上，研究空间直线与平面垂直关系的重要内容。判定定理既是线线垂直关系的应用之一，又是以后学习线面角、两个平面垂直以及研究空间距离等知识的奠基。这节教材对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力也具有重要的意义。 2．重点、难点和关键（1）教学重点直线与平面垂直的定义和判定定理。（2）教学难点操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。（3）突破难点的关键学生操作感受线面垂直试验。 3．教材内容和教材处理本节课的主要内容是直线与平面垂直的概念、判定定理及其应用。通过创设问题情景，让学生直观上感受线面垂直的概念，激发求知欲望。然后，让学生通过观察和演示明确线线、线面的垂直关系并归纳出线面垂直的概念与判定定理，弥补不对定理进行证明的不足。这样处理教材既体现了数学与社会生活及生产的关系，也可以在探索发现的过程中，使学生感受成功的喜悦，减轻了学生的负担。二、目的分析 1．课标要求《课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。 2．学情分析本人从教于韶关市第一中学，学生素质相对来说比较高，能积极思考，动手能力比较强，但理科学生的文字组织能力及表达能力依然比较欠缺。在学习本节课之前，学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定了基础。学生学习的困难在于如何从直线与平面垂直的直观形象中提炼出直线与平面垂直的定义，感悟直线与平面垂直的意义；以及如何探究和把握直线与平面垂直的判定定理。 3．目标设定

高考数学直线和平面的位置关系知识点

2019高考数学直线和平面的位置关系知识点直线和平面只有三种位置关系。以下是查字典数学网整理的直线和平面的位置关系知识点，请考生学习。 ①直线在平面内有无数个公共点 ②直线和平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90] 最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a 叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月

人教A版必修二 2.3.2平面与平面垂直的判定教案

2. 3.2平面与平面垂直的判定【教学目标】（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。【教学重难点】重点：平面与平面垂直的判定。难点：找出二面角的平面角。【教学过程】（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们先利用具体的实物来进行观察,研探。（二）研探新知 1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）角二面角图形 A 边顶点 O B 边 A β 棱l B α 定义从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

构成射线 — 点（顶点）一射线半平面一线（棱）一半平面表示 ∠AOB 二面角α-l -β或α-AB-β 2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求OA ⊥L ，OB ⊥L ；（2）∠AOB 的大小与点O 在L 上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。图2.3-3 （三）实际应用,巩固深化例1、（课本69页例3）设AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在平面，C 是圆周上的任意点，求证：面PAC ⊥面PBC. 变式：课本69P 的探究问题例2、已知直线PA 垂直正方形ABCD 所在的平面，A 为垂足。求证：平面PAC ⊥平面PBD 。说明：这两题都涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BC ⊥平面PAC 和BD ⊥平面PAC 是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着“线线垂直?线面垂直?面面垂直”转化途径进行．变式. 课本69P 的练习（四）小结归纳，整体认识（1）二面角以及平面角的有关概念；（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？（五）当堂检测 P81习题 2.3 A 组第4、6、7题, B 组第1题【板书设计】 B A O β α

高一数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》练习题

高一数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》练习题第1题. 已知a αβ= ，m βγ= ，b γα= ，且m α//，求证：a b //．答案：证明： m m m a a b a m b βγααβ=?? ?? ??????=??? 同理////////．第2题. 已知：b αβ= ，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系是（）Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a ，b 相交但不垂直Ｄ．a ，b 异面答案：Ａ．第3题. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ．答案：证明：连结AF 并延长交BC 于M ．连结PM ， AD BC ∵//，BF MF FD FA =∴ ，又由已知PE BF EA FD =，PE MF EA FA =∴．由平面几何知识可得EF //PM ，又EF PBC ?，PM ?平面PBC ， ∴EF //平面PBC ．

第4题. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11E F 是平面11AC 上的线段，求证： E F //平面AC ．答案：证明：如图，分别在AB 和CD 上截取11AE A E =，11DF D F =，连接1EE ，1FF ， EF ． ∵长方体1AC 的各个面为矩形， 11A E ∴平行且等于AE ，11D F 平行且等于DF ，故四边形 11AEE A ，11DFF D 为平行四边形． 1EE ∴平行且等于1AA ，1FF 平行且等于1DD ． 1AA ∵平行且等于1DD ，1EE ∴平行且等于1FF ，四边形11EFF E 为平行四边形，11E F EF //． EF ?∵平面ABCD ，11E F ?平面ABCD ， ∴11E F //平面ABCD ．第5题. 如图，在正方形ABCD 中， BD 的圆心是A ，半径为AB ，BD 是正方形ABCD 的

初中平面几何知识点汇总(一)

平面几何知识点汇总（一）知识点一相交线和平行线 1.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。 2.垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 3.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 4.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。性质2：两直线平行，内错角相等。性质3：两直线平行，同旁内角互补。 5.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。判定2：内错角相等，两直线平行。判定3：同旁内角相等，两直线平行。知识点二三角形一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形中的三种重要线段（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．

二、三角形三边关系定理 ①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b． ②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c， c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可三、三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．四、三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．五、三角形的外角 1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． 2．性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补六、多边形 ①多边形的对角线 2)3 ( n n条对角线；②n边形的内角和为（n－2）×180°；③多边形的外角和为360°

高中数学必修二 2.3.4平面与平面垂直的性质练习

2.3.4平面与平面垂直的性质练习新人教A 版必修2 一、选择题 1．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，m ?α，m ⊥l ，则( ) A ．m ∥β B ．m ?β C ．m ⊥β D ．m 与β相交但不一定垂直 [答案] C 2．已知平面α⊥平面β，直线a ⊥β，则( ) A ．a ?α B ．a ∥α C ．a ⊥α D ．a ?α或a ∥α [答案] D 3．空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，且DA ⊥平面ABC ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 [答案] B 4．如下图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ，点P ， A ， B 是定点，则动点 C 的轨迹是( ) A ．一条线段 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．一个圆，但要去掉两个点 [答案] D [解析] ∵平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，AC ?平面PAC ，∴ AC ⊥平面PBC ．又∵BC ?平面PBC ，∴AC ⊥BC ．∴∠ACB ＝90°. ∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点． 5．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6. 过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( ) A ． B ．

C ． D ． [答案] A [解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π 4， ∠ABA ′＝π 6 ，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π 6＝3a ， ∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB A ′B ′＝ 6．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( ) A ．直线A B 上 B ．直线B C 上 C ．直线AC 上 D ．△ABC 内部 [答案] A [解析] ∵AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，∴AC ⊥平面ABC 1，又∵AC ?平面ABC ，∴平面ABC 1⊥平面ABC ， ∴C 1在平面ABC 上的射影H 必在平面ABC 1与平面ABC 的交线AB 上，故选A ．二、填空题 7．平面α⊥平面β，直线l ?α，直线m ?β，则直线l ，m 的位置关系是________. [答案] 相交、平行、异面 8．三棱锥P －ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的________心． [答案] 垂 [解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC ⊥PA ，AB ⊥PC ，CA ⊥PB ，又由BC ⊥PA ，PH ⊥BC ，得BC ⊥平面PAH ，则BC ⊥AH ，同理有AB ⊥CH ，CA ⊥BH ，所以H 为△ ABC 高线的交点，即垂心．三、解答题 9．把一副三角板如图拼接，设BC ＝6，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠D ＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD ⊥平面ACD ．

几何基础知识

几何基础知识标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

几何基础知识教学目标：1、掌握线段、角、基本的几何图形；了解平行线、三角形、平面直角坐标系的基本知识。 2、精讲多练，讲练结合难点：相交线、平行线、三角形重点：平行线及三角形的基本概念 ★知识点讲解要点一：图形认识初步。 ★第一步：要点一知识规律或思维方法、解题方法梳理知晓线段和角的基本知识，会识别图形。 ★第二步：要点一经典例题讲解 1、如图，已知点A 、O 、B 在一条直线上，∠COD=90°，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOD ，求∠EOF 的度数. 2、如图，已知直线AB 和CD 相交于点O ，90COE ∠=?，OF 平分.AOE ∠ （1）写出AOC ∠与BOD ∠的大小关系：__________，（2）判断的依据是________________；（3）若35COF ∠=?，求BOD ∠的度数. 3、如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是（答案．125）． D C O E F A O B D F C E

5 4D 3E 21 C B A ★第三步：要点一课堂巩固练习 1、如图，已知1∠=2∠，311726'∠=?，求4∠的度数. 要点二：相交线与平行线。 ★第一步：要点二知识规律或思维方法、解题方法梳理三线八角及平行线的判定与性质，会灵活运用。 ★第二步：要点二经典例题讲解 1. 如图，已知AB ∥CD ，BE ∥CF 那么∠ABE=∠DCF 吗请说明理由。 2. B. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上， ∠1＝300，∠2＝500，则∠3等于 20 度． 3. 如右图，下列不能判定AB ∥CD 的条件有( )个. A 、?=∠+∠180BCD B B 、21∠=∠ C 、43∠=∠； D 、 5∠=∠B . 4. B. 如图，已知AB ∥CD ，EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，∠BEF 与∠EFD 的平分线相交于点P ，求证：EP ⊥FP 。 F E D C B A A P B E 4 l 1 5 2 1 3 l 2 l 3 l 4

点直线平面之间的位置关系知识点总结

点直线平面之间的位置关系知识点总结 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

点、直线、平面之间的位置关系一、线、面之间的平行、垂直关系的证明书中所涉及的定理和性质可分为以下三类： 1、平行关系与平行关系互推； 2、垂直关系与垂直关系互推；线面垂直判定定线面垂直的定面面垂直性质定理（需加线线两平面的法线垂面面垂直判定定垂直的两平面的法线互相线面平行判定定线面平行性质定面面平行定义（交线面平行转面面平行判定定面面平行性质定两平面内分别垂直于交线的直线互相两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直，则两面面垂直定

人教版数学高一-数学必修二全册教案 2.3.2平面与平面垂直的判定

§2.3.2平面与平面垂直的判定一、教学目标 1、知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。二、教学重点、难点。重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小。三、学法与教学用具。 1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。 2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）四、教学设计（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。（二）研探新知 1、二面角的有关概念老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）

2、二面角的度量二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。教师特别指出：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”，OB⊥L；（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，βB 获得两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 C O A （三）应用举例，强化所学α 例题：课本P.72例3 图2.3-3 做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。（四）运用反馈，深化巩固

初中几何知识点整理

几何知识整理 1、平行线平行线的性质：两直线平行，则同位角相等、内错角相等、同旁内角互补平行线的判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，则两直线平行平行线间的距离：平行线间的距离处处相等（平行线间的平行线段相等） 2、三角形三角形的内角和等于180°（多边形的内角和：（n-2）×180°）三角形的外角和等于360°（多边形的外角和等于360°）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差等于第三边 3、全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等全等三角形的判定：①S.A.S ②A.S.A ③A.A.S ④S.S.S ⑤H.L 4、等腰三角形等腰三角形两条腰相等，两个底角相等等腰三角形三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合 5、等边三角形等边三角形的三条边相等，三个内角等于60° 等边三角形的判定：有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形 6、直角三角形直角三角形的两个锐角互余直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这三角形是直角三角形（勾股定理逆定理） ①90°+30°：直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30 ②90°+45°：等腰直角三角形 ③90°+斜边中线（中点）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

7、垂直平分线和角平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上定理：角平分线上的点到这个角的两个角两边的距离相等逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 8、平行四边形性质：平行四边形两条对边平行且相等、两组对角相等、两条对角线相等且互相平分判定：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ②两条对边平行/两组对角相等/两条对角线相等/两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 8、矩形性质：矩形的四个角都等于90°，对角线相等判定：①有三个内角等于90°的四边形是矩形 ②有一个内角等于90°的平行四边形是矩形 ③对角线相等的平行四边形是矩形 9、菱形性质：菱形的四条边都相等，对角线互相垂直，且每条对角线都平分一组对角判定：①四条边都相等的四边形是菱形 ②有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形 10、正方形性质：正方形的四个角都等于90°，四条边都相等，对角线相等、互相垂直、且每条对角线平分一组对角判定：①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②有一个内角等于90°的菱形是正方形 ③有一组邻边相等且有一个内角是90°的平行四边形是正方形 11、梯形和等腰梯形梯形：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形等腰梯形的性质：等腰梯形两腰相等、同一底上的两个内角相等、对角线相等等腰梯形的判定：两腰相等/同一底上的两个内角相等/对角线相等的梯形是等腰梯形； 12、三角形和梯形的中位线定义：联结三角形两条边的中点的线段叫三角形的中位线定义：联结梯形两腰的中点的线段叫梯形的中位线三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半