分式方程的解题方法

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分式方程的解法

分式方程的解法

分式方程的解法分式方程是含有分式表达式的方程,如a/b=c/d。

解决分式方程的关键是找到未知数的值,使得等式两边相等。

下面将介绍两种常见的分式方程解法。

方法一:通分求解对于简单的分式方程,可以通过通分的方法来求解。

首先,找到分式方程中各部分的最小公倍数作为通分的分母,然后将等式两边的分数的分母都改为最小公倍数。

例如,对于方程1/x + 1/(x+1) = 1/2,最小公倍数为2x(x+1),则可以将方程改写为:2(x+1) + 2x = x(x+1)接下来,将分数转化为整数,展开方程,整理各项系数:2x + 2 + 2x = x^2 + x整理得到二次方程:x^2 + x - 4 = 0通过解二次方程,可以得到x的值。

方法二:消元法求解对于复杂的分式方程,可以通过消元法求解。

这种方法适用于分式方程中含有两个未知数的情况。

首先,将方程中的分式表达式转化为简单的代数式,然后消去其中一个未知数,将方程转化为只含有一个未知数的方程。

例如,对于方程1/(x-1) + 1/(y+1) = 2和1/(x+1) + 1/(y-1) = 4,可以通过消元法求解。

首先,将方程约分得到:(x+y)(y-1) = 2(x-1)(x+1)(x+y)(x+1) = 4(y+1)(y-1)展开整理方程,得到:x^2 + x + y^2 - y - 2x + 2 = 4y^2 - 4x^2 - 3x + y^2 - 5y - 2 = 0通过解这个方程,可以得到x和y的值。

综上所述,分式方程的解法包括通分求解和消元法求解。

通过选择合适的方法,可以解决各种类型的分式方程。

在解题过程中,需要注意展开方程、整理各项,以及解算一元二次方程等相关的数学知识。

分式方程的几种解法

分式方程的几种解法

分式方程的几种解法分式方程是初中数学教材重点内容之一,它是一元二次方程的应用和深化,同时又是列分式方程解应用题及解分式方程组的基础,所以分式方程有承上启下的作用,至关重要,它的解法很多,这里略谈一二。

一、 去分母法方法导析:它是分式方程的基本解法,即:方程两边同乘以各分母的最简公分母,化分式方程为整式方程,解出这个整式方程,最后把所得结果代入最简公分母中检验,便得分式方程的根。

例1:解方程:4121235222---=++-x x x x x 解:方程两边同乘以)2)(2)(1(-++x x x 去分母得:)1(4)2)(1()2)(52(+-++=--x x x x x整理得:01282=+-x x 解之得:6,221==x x检验:把2=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ,它等于0,所以2=x 不是原方程的根。

把6=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ,它不等于0,所以6=x 是原方程的根。

∴原方程的根为6=x 。

二、 换元法方法导析:根据方程特点用另一字母代替方程中的未知项式,得到一个关于这一字母的新方程,再进行解方程,其宗旨是换得的方程较原方程简单。

例2:解方程:21333322=-+-x x x x 解,设a x x =-32,则ax x 13332⨯=-,原方程变形为: 2133=+a a 去分母,得:061322=+-a a 解之得:61=a 212=a当6=a ,即632=-x x ,去分母,整理得0362=--x x 323±=∴x 当21=a ,即2132=-x x ,去分母,整理得0622=--x x 23,221-==∴x x 检验,把323+=x ,323-=x ,2=x , 23-=x 分别代入原方程分母中其计算结果都不为0,所以他们都是原方程的根。

∴原方程的根是323±=∴x ,2=x , 23-=x 三、 通分法方法导析:根据方程特点,原方程式适当变形后,两边进行通分,再结合分式性质解题。

分式方程的解题步骤

分式方程的解题步骤

分式方程的解题步骤
分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。

分式方程的解题步骤如下:
1、去分母:
方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。

需要改变符号。

(最简公分母:①系数取最小公倍数②未知数取最高次幂③出现的因式取最高次幂)
2、移项:若有括号应先去括号,注意变号,合并同类项,把系数化为1,求出未知数的值;
3、验根:求出未知数值后必须验根,在把分式方程化为整式方程的过程中,可能产生增根。

验根时需把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于0,这个根就是增根。

否则这个根就是原分式方程的根。

若解出的根都是增根,则原方程无解。

如果分式本身约分了,也要代入进去检验。

解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则是方程的解。

注意事项:
在列分式方程解应用题时,不仅要检验所得解的是否满足方程式,还要检验是否符合题意。

•増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根,但不是原分式方程的根。

•分式方程中,如果x为分母,则x应不等于0。

•注意去分母时,不要漏乘整式项。

分式方程的解法

分式方程的解法

分式方程的解法分式方程是指含有分数的方程,其形式可以表示为两个多项式的商等于另一个多项式。

解分式方程时,我们需要确定未知数的取值范围,并通过一系列步骤将方程化简为等价的形式,进而求得方程的解。

下面,我们将介绍两种常见的分式方程解法:通分法和消元法。

一、通分法通分法是解决分式方程的常用方法之一。

其基本思路是通过相同的公分母,将分式方程中的分式转化为整式方程。

下面以一个简单的例子来说明通分法的具体步骤。

例题1:求解方程 1/(x+1) + 2/(x-1) = 1步骤1:找到方程的最小公倍数作为公分母。

本例中,最小公倍数为 (x+1)(x-1)。

步骤2:将方程中的每一项通分,并结合同类项。

通分后的方程变为 [(x-1) + 2(x+1)] / [(x+1)(x-1)] = 1。

步骤3:化简方程,消去分母。

将分子展开并结合同类项,得到 (3x + 1) / [(x+1)(x-1)] = 1。

步骤4:通过消去分母的方式解方程。

将方程中的分母乘到分子上,得到 3x + 1 = (x+1)(x-1)。

步骤5:将方程化简为标准形式,并解方程。

将右侧的乘法展开,并结合同类项,得到 3x + 1 = x^2 - 1。

步骤6:整理方程,将方程移到一侧,得到 x^2 - 3x - 2 = 0。

步骤7:使用因式分解法或求根公式等方法,解出方程的根。

解得x = -1 或 x = 2。

所以,方程 1/(x+1) + 2/(x-1) = 1 的解为 x = -1 或 x = 2。

二、消元法消元法是另一种解决分式方程的常用方法。

其基本思路是通过去除方程中的分母,并将方程转化为整式方程。

下面以一个示例来说明消元法的具体步骤。

例题2:求解方程 (2/x) - (3/(x+1)) = 1/2步骤1:寻找方程中的最小公倍数,并将方程中的每一项通分。

本例中,最小公倍数为 2x(x+1)。

步骤2:将方程中的分式乘以相应的倍数,使得分母相同。

分式方程解法

分式方程解法

分式方程解法分式方程是一种特殊的方程形式,其中包含未知数的分式表达式。

解决分式方程的关键是寻找未知数的值,使得该方程成立。

本文将介绍几种常见的分式方程解法。

一、通分法通分法是解决分式方程的基本方法之一。

对于一个分式方程,我们可以找到方程两边的最小公倍数,然后将方程两边都乘以最小公倍数的逆元,以消去分母,从而得到一个简化的方程。

下面以一个例子来说明通分法的解题过程。

例子:解方程 (3/x) + (2/(x + 1)) = 5首先,我们找到分式方程两边的最小公倍数为 x(x + 1),然后将方程两边都乘以 x(x + 1),得到:3(x + 1) + 2x = 5x(x + 1)化简得:3x + 3 + 2x = 5x^2 + 5x合并同类项:5x + 3 = 5x^2 + 5x移项得:5x^2 + 5x - 5x - 3 = 05x^2 - 3 = 0因此,解方程的根为x = ±√(3/5)二、代换法代换法是解决一些复杂分式方程的有效方法。

在使用代换法时,我们可以将分式方程化简为一个含有一个未知数的简单方程,然后通过求解这个简单方程来得到分式方程的解。

下面以一个例子来说明代换法的解题过程。

例子:解方程 1/(x + 1) + 1/(2x + 3) = 1/2首先,我们令 y = x + 1,得到新的方程:1/y + 1/(2y + 1) = 1/2化简得:(2y + 1 + y)/(y(2y + 1)) = 1/2合并同类项:(3y + 1)/(y(2y + 1)) = 1/2交叉乘法得:2(3y + 1) = y(2y + 1)化简得:6y + 2 = 2y^2 + y2y^2 - 5y - 2 = 0因此,解方程的根为 y = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4(2)(-2))) / (2(2)) = (5 ±√57) / 4将 y 的解代回原方程,得到x = (5 ± √57 - 3) / 4 = (2 ± √57) / 4三、提取公因式法提取公因式法是解决包含多个分式的方程的有效方法。

分式方程的解法

分式方程的解法

分式方程的解法分式方程是含有一个或多个分式的方程,求解分式方程需要借助一些特定的方法和规则。

本文将介绍分式方程的常见解法,帮助你更好地理解和解决这类问题。

一、消去分母法对于分式方程而言,最常用的解法就是消去分母。

具体步骤如下:1. 将分式方程两边的分母去掉,得到一个关于未知数的多项式方程。

2. 整理方程,将同类项合并,得到一个简化的多项式方程。

3. 使用常规的代数方法解决这个多项式方程。

4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程,若满足,则是原方程的解;若不满足,则是无效解。

二、通分法在某些情况下,分式方程可以通过通分的方法进行求解。

具体步骤如下:1. 对于含有多个分式的方程,将所有分式的分母找到其最小公倍数,并将方程两边的分子进行相应的操作。

2. 使用通分后的方程,将分母相同的项合并,并将方程化简为一个关于未知数的多项式方程。

3. 使用常规的代数方法解决得到的多项式方程。

4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程,若满足,则是原方程的解;若不满足,则是无效解。

三、代入法有时候,分式方程的解可以通过代入法求得。

具体步骤如下:1. 从分式方程中选取一个变量,用一个合适的值代入该变量。

2. 计算代入后得到的方程,并求解这个新的方程。

3. 检查得到的解是否满足原始的分式方程,若满足,则是原方程的解;若不满足,则是无效解。

四、等价方程法等价方程法是另一种常用的求解分式方程的方法。

具体步骤如下:1. 对于给定的分式方程,将方程两边同时乘以分母的乘法逆元,以消去分母。

2. 处理等式两边得到的新方程,将其化简为一个关于未知数的多项式方程。

3. 使用常规的代数方法解决得到的多项式方程。

4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程,若满足,则是原方程的解;若不满足,则是无效解。

综上所述,分式方程的解法主要包括消去分母法、通分法、代入法和等价方程法。

根据具体情况选择合适的方法,可以更高效地求解分式方程。

在解题过程中,要注意化简方程,查验解的有效性,以确保得到正确的结果。

分式方程的解法与技巧、知识精讲

分式方程的解法与技巧、知识精讲

分式方程的解法与技巧【典型例题】1. 局部通分法(分组分解法):例1. 解方程:x x x x x x x x -----=-----34456778分析:该方程的特点是等号两边各是两个分式,相邻两个分式的分子与分子,分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1,象这类通常采取局部通分法。

解:方程两边分别通分并化简,得:145178()()()()x x x x --=--去分母得:()()()()x x x x --=--4578解之得:x =6 经检验:x =6是原分式方程的根。

点拨:此题如果用常规法,将出现四次项且比较繁,而采用局部通分法,就有明显的优越性。

但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项,组合后再进行局部通分。

变式:解方程32411423---=---x x x x 分析:要整个方程一起通分,计算量大又易出错。

观察方程中分母的特点可联想分组通分求解。

解:方程两边分别通分,相减得)3)(4(5)1)(2(5---=---x x xx x x当05≠-x 时,)3)(4()1)(2(--=--x x x x ,解得251=x 当05=-x 时,解得52=x 经检验,251=x 52=x 都是原方程的解 2.换元法:例2. 解方程:7643165469222x x x x x x ----+=--+分析:此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式,且前两项完全相同,故可考虑用换元法求解。

令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。

解:设,则原方程可化为:k x x =-+265793144k k k --=-+ 去分母化简得:20147111602k k --=∴()()k k -+=1220930∴,k k ==-129320当时,k x x =--=126702()()x x -+=710解之得:,x x 1217=-=当时,k x x =--+=-932065932022012019302x x -+=解此方程此方程无解。

如何解分式方程

如何解分式方程

1.一般‎法所谓一般‎法,就是先‎去分母,将‎分式方程转‎化为一个整‎式方程。

然‎后解这个整‎式方程。

解‎原方程就‎是方程两边‎同乘以(x‎+3)(x‎-3),约‎去分母,得‎4(x-3‎)+x(x‎+3)=x‎2-9-2‎x。

2.换‎元法换元法‎就是恰当地‎利用换元,‎将复杂的分‎式简单化。

‎分析本方‎程若去分母‎,则原方程‎会变成高次‎方程,很难‎求出方程的‎解设x2‎+x=y,‎原方程可变‎形为解这个‎方程,得y‎1=-2,‎y2=1。

‎当y=-2‎时,x2+‎x=-2。

‎∵Δ<0,‎∴该方程无‎实根;当y‎=1时,x‎2+x=1‎,∴经检‎验,是原‎方程的根,‎所以原方程‎的根是。

‎3.分组结‎合法就是把‎分式方程中‎各项适当结‎合,再利用‎因式分解法‎或换元法来‎简化解答过‎程。

4.拆‎项法拆项法‎就是根据分‎式方程的特‎点,将组成‎分式方程的‎各项或部分‎项拆项,然‎后将同分母‎的项合并使‎原方程简化‎。

特别值得‎指出的是,‎用此法解分‎式方程很少‎有增根现象‎。

例4 解‎方程解将‎方程两边拆‎项,得即x‎=-3是原‎方程的根。

‎5.因式分‎解法因式分‎解法就是将‎分式方程中‎的各分式或‎部分分式的‎分子、分母‎分解因式,‎从而简化解‎题过程。

解‎将各分式‎的分子、分‎母分解因式‎,得∵x-‎1≠0,∴‎两边同乘以‎x-1,得‎检验知,它‎们都是原方‎程的根。

所‎以,原方程‎的根为x1‎=-1,x‎2=0。

6‎.配方法配‎方法就是先‎把分式方程‎中的常数项‎移到方程的‎左边,再把‎左边配成一‎个完全平方‎式,进而可‎以用直接开‎平方法求解‎。

∴x2±‎6x+5=‎0,解这个‎方程,得x‎=±5,或‎x=±1。

‎检验知,它‎们都是原方‎程的根。

所‎以,原方程‎的根是x1‎=5,x2‎=-5,x‎3=1,x‎4=-1。

‎7.应用比‎例定理上述‎例5,除了‎用因式分解‎法外,还可‎以应用合比‎和等比定理‎来解。

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【知识精读】
1. 解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程。

2. 解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程;
(2)解这个整式方程;
(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否等于零,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去,但对于含有字母系数的分式方程,一般不要求检验。

3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得的解是否为原方程的根,以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

【分类解析】
例1. 解方程:
x x x --+=1211 {
分析:首先要确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根
解:方程两边都乘以()()x x +-11,得
x x x x x x x x x 222211121232
32
--=+---=--∴==()()(),
即,
经检验:是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356
分析:直接去分母,可能出现高次方程,给求解造成困难,观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1,而分子也有这个特点,因此,可将分母的值相差1的两个分式结合,然后再通分,把原方程两边化为分子相等的两个分式,利用分式的等值性质求值。

解:原方程变形为:
x x x x x x x x ++-++=++-++67562312
方程两边通分,得
1671236723836
92
()()()()()()()()
x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验:原方程的根是x =-
92。


例3. 解方程:121043323489242387161945
x x x x x x x x --+--=--+-- 分析:方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解:由原方程得:3143428932874145
-
-++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---
于是,所以解得:经检验:是原方程的根。

189861810878986810871
1()()()()
()()()()
x x x x x x x x x x --=----=--==
例4. 解方程:612444444
0222
2y y y y y y y y +++---++-=2 分析:此题若用一般解法,则计算量较大。

当把分子、分母分解因式后,会发现分子与分母有相同的因式,于是可先约分。


解:原方程变形为:62222222022
2
()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分,得62222202
y y y y y y +-+-++-=()()
方程两边都乘以()()y y +-22,得
622022
()()y y y --++= 整理,得经检验:是原方程的根。

216
88y y y =∴==
注:分式方程命题中一般渗透不等式,恒等变形,因式分解等知识。

因此要学会根据方程结构特点,用特殊方法解分式方程。

5、中考题解:
例1.若解分式方程
2111x x m x x x x +-++=+产生增根,则m 的值是( ) A. --12或
B. -12或 }
C. 12或
D. 12或- 分析:分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值。

由题意得增根是:x x ==-01或,化简原方程为:21122x m x -+=+()(),把x x ==-01或代入解得m =-12或,故选择D 。

例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动,已知乙班每小时比甲班多种2棵树,甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等,求甲、乙两班每小时各种多少棵树 分析:利用所用时间相等这一等量关系列出方程。

解:设甲班每小时种x 棵树,则乙班每小时种(x+2)棵树,
由题意得:60662
x x =+ 601206620
20222x x
x x x +=∴==∴+=经检验:是原方程的根
答:甲班每小时种树20棵,乙班每小时种树22棵。

说明:在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。

)
6、题型展示:
例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米,逆流航行42千米,共用了7小时;在另一次航行中,用相同的时间,顺流航行40千米,逆流航行70千米。

求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
分析:在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”,有顺水、逆水,取水速正、负值,两次航行提供了两个等量关系。

解:设船在静水中的速度为x 千米/小时,水流速度为y 千米/小时
由题意,得8042740707x y x y x y x y
++-=++-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
解得:经检验:是原方程的根
x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩173173
答:水流速度为3千米/小时,船在静水中的速度为17千米/小时。

例2. m 为何值时,关于x 的方程
22432x mx x x -+-=+2会产生增根 解:方程两边都乘以x 24-,得2436x mx x ++=-
整理,得()m x -=-110
当时,如果方程产生增根,那么,即或()若,则()若,则()综上所述,当或时,原方程产生增根
m x m x x x x m m x m m m ≠=-
--===-=--=∴=-=---=-∴==-110
1
402212101
2422101
263462 说明:分式方程的增根,一定是使最简公分母为零的根。

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