基于Matlab的多自由度系统固有频率及振型计算
第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法.doc
第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法从多自由度问题的精确解的求解过程可知，求振系的固有频率及主振型是一项必不可少的过程，当自由度较少时，可直接求固有频率及主振型，但当自由度较多时，关于固有频率的求解就很复杂，如一个16自由度的振动问题，仅为展开频率方程的行列式，就需要进行720次计算，当然这些计算可借助计算机解决，但关于固有频率的近似计算及其计算思想，在实际应用及理论研究中仍具有一定的意义。
本章主要介绍求固有频率的两种方法：矩阵迭代法及传递矩阵法。
6-1矩阵迭代法矩阵迭代法适合于自由度较多的复杂系统，该法可以同时计算出系统的固有频率和相应的主振型，当自由度很多，但只要计算出低阶的几个频率时，矩阵迭代法很为适用，其大量的计算可由计算机完成。
在第五章已经介绍过，多自由度无阻尼系统的振动微分方程有两种形式，一种是用刚度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求，[]{}[]{}{}02=-A M p A K或写成[]{}[]{}A M p A K 2= （6-1）另一种是用柔度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求出{}[][]{}{}012=-A M R A p 或写成{}[][]{}A M R A p=21（6-2） 用[]1-M 前乘（6-1）式，得[]1-M []{}{}A p A K 2= （6-3）方程（6-2）（6-3）可写成如下统一的形式[]{}{}A A D λ= (6-4)（6-4）式称为特征值问题的标准形式，即矩阵迭代法的基本迭代公式。
式中[]D 称为动力矩阵，λ则是矩阵[]D 的特征值，当[]D 是按刚度矩阵形成时，即[][][]K M D 1-=，则λ表示固有频率的平方，λ＝p 2，而当[]D 是按柔度矩阵形成时，即[][][]K R D =，则λ表示固有频率的平方的倒数，λ＝1/p 2。
显然，任一阶固有频率和主振型都是（6-4）式的精确解。
下面介绍从（6-4）式出发进行迭代的基本过程：1) 某个经过基准化了的初始迭代向量{}1A （所谓基准化就是选取迭代向量的某个分量为基准值1），现选取{}1A ，使其第一个元素A 1，1为基准值1，并作[]{}1AD =运算，运算得到一个新的列阵{}1B ，再将{}1B 基准化，即将新的列阵{}1B 中的各元素均除以B 1，1，可得[]{}{}{}21,111A B B A D ==2) 与{}2A ，如果{}1A ≠{}2A ，则重复上述步骤，以[]D 乘{}2A ，得[]{}{}{}32,122A B B A D ==3) 比{}2A 与{}3A ，如果{}3A ≠{}2A ，则继续重复上述步骤，以[]D 乘{}3A ，…，直到第k 次迭代[]{}{}{}1,1+==k k k k A B B A D ，当式中{}k A ＝{}1+k A 时停止，这时，特征值1λ＝B 1，k ，而相应的特征向量就等于{}k A 。
基于MATLAB 的二自由度和四自由度汽车振动模型分析
Science and Technology &Innovation ┃科技与创新2020年第17期·67·文章编号：2095－6835（2020）17－0067－03基于MATLAB 的二自由度和四自由度汽车振动模型分析金琦珺，罗骞＊（武汉理工大学汽车工程学院，湖北武汉430070）摘要：以普通乘用车为例，将汽车简化成独立悬架整车二自由度与四自由度动力学模型，根据牛顿第二定律求出系统的运动微分方程，并利用MATLAB 研究了汽车振动的频率响应特性，求解得到该振动系统的固有频率和各主振型，绘制出车身、前后轴振动对前后轮激励的频率响应曲线图。
并着重研究了轮胎阻尼对汽车平顺性的影响。
该研究能够对减轻汽车振动及提高汽车行驶平顺性提供一定有益的参考。
关键词：MATLAB ；二自由度：四自由度；自由振动中图分类号：TH701文献标识码：A DOI ：10.15913/ki.kjycx.2020.17.0261引言机械振动对于人类的生产生活来说是一把双刃剑，既可以服务于人类，又对人类的生产活动有重大危害。
机械振动既有有利的一面也有有害的一面。
需对振动进行动态分析，通过研究物体偏离平衡位置的位移、速度、加速度等的动态变化来达到目的。
在物体的平衡点附近出现的物体的来回运动，有线性和非线性两种振动模式。
由于外界对系统的激励或作用，使得机械设备产生噪声及有损于机械结构的动载荷，从而影响设备的工作性能和寿命。
尤其是发生共振情况时，可能使机器设备受到损坏，所以急需对机械振动的相关原理进行研究。
为了合理减小振动对设备的危害，充分利用振动进行机器运作，对机械振动产生的规律进行了探讨和研究。
随着计算机智能系统的快速发展，相关的仿真技术都出现了极大的提升空间，在日常的生产活动中，人们经常用到的相关软件有adams 、abaqus 等。
目前MATLAB 计算机软件在计算机的仿真方面使用更加广泛一些，MATLAB 是一款拥有强大绘图能力的工程计算高级计算机语言。
基于Matlab的发动机悬置系统的固有频率和主振型计算
摘要： 介绍了计算发动机橡胶悬置系统固有频率和主振型的过程， 并利用 Ｍａｔｌａｂ 编程。通过程序运行， 快速获得
悬置振动系统的固有频率， 并对振动占优方向进行判定， 也为进一步分析系统的响应打下了必要的基础。
关键词： 发动机悬置； 固有频率； 主振型； ＭＡＴＬＡＢ； 自由振动； 刚度矩阵； 惯性矩阵； 振动占 优方向
∑ｎ
Ｔ＝
ｉ＝１
１ ２
ｍｉｖｉ２
＝
１ ２
Ｊθ" ｘ２＋
１ ２
Ｊ
θ" ｙ２＋
１ ２
Ｊθ" ｚ２－
（Ｊｘｙθ" ｘθ" ｙ＋Ｊｙｚθ" ｙθ" ｚ＋Ｊｚｘθ" ｚθ" ｘ）
１ Ｔ＝ ２
$
%
" ｍ %
ｘ%
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ｙ" ｍ %
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θ" Ｊ － Ｊ %
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%
%
θ" － Ｊ Ｊ %
%
ｙ
%
θ" － Ｊ － Ｊ %%
( (
ｉ
+ +
( (
(
+(
Δｙ ＝ ０ (
+(
( ｉ+ (
(
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(
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Δｚ ０ (
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) ｉ, )
０ １ ０
０ ０ １
０ － ｚｉ
ｙｉ
ｚ － ｙ ｙ ｉ ０－ ｘ ｘ０ ｚθ θ ｉ
//
ｉ ｉ
* + +
/ / / /
1-《机械振动基础》大作业,基于matlab的多自由度振动讲解(20200501064418)
（2016 年春季学期）
题目 多自由度振动系统的固有频率和固有阵型
姓
名
学
号
班
级
专
业
报告提交日期
哈尔滨工业大学
《机械振动基础》大作业
报告要求
1. 请根据课堂布置的 2 道大作业题，任选其一，拒绝雷同和抄袭； 2. 报告最好包含自己的心得、体会或意见、建议等； 3. 报告统一用该模板撰写，字数不少于 3000 字，上限不限； 4. 正文格式： 小四号 字体，行距为 1.25 倍行距； 5. 用 A4 纸单面打印 ；左侧装订， 1 枚钉； 6. 课程报告需同时提交打印稿和电子文档予以存档，电子文档由班
在学习本章节的时候，就有一个问题出现，多自由度的系统离我们很遥远， 至少实在数学计算中， 一个复杂的两自由度系统就需要用公式推导一段时间， 才 能得出相应的参数 （运动的微分方程和相关的固有频率） ，期间需要列出功和能 的方程、求导以及化简等步骤。到后来学习到多自由度系统时，就会发现，开式 我们对多自由度系统的学习也只是没有找到方法而已， 在引入新的方法后， 替代 了原有的直接法列方程， 对我们有了很大的帮助， 就拿刚度、 柔度计算发来说就 它们的规律而言， 就要比直接法快的很多。 所谓直接法， 就是直接应用动力学的 基本定律或定理 （例如牛顿第二定律或达朗伯原理） 建立系统运动微分方程的方
2.对 matlab 的学习和认识
MATLAB 是 matrix&laboratory 两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验
室）。是由美国 mathworks 公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式
程序设计的高科技计算环境。 MATLAB 是一种用于算法开发、数据可视化、数 据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。 除了矩阵运算、 绘制函
基于Matlab的二自由度系统模拟实验
基于Matlab 的两自由度振动系统模拟实验报告一、 实验目的1、 深入了解两自由度振动系统的模态正交性。
2. 掌握Matlab 编程基本语言和两自由度系统的响应模态求解方法。
二、 实验原理如图1所示的系统，设0=t 时，两个圆盘恰处于平衡位置, 设,221I I =2t t k k =。
图1 振动系统模型图设，，21θθ为21I I ，的转角，则21θθ，描述了系统的运动情况。
故该系统的自由度为两个。
当不考虑图示系统的阻尼和外界激励时，根据牛顿运动定律,其运动的微分方程为：[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧00][2121θθθθK M(1)其中[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222100200I I I I M ，]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=2222222212t t t t t t t t t k k k k k k k k k K 由[][]{}0)(=-u M ωK 2，可得频率方程如下：0002-22222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I I k k k k t t t t ω (2)求解式(2)得2222122)22(22-2I k I k t t -==ω, 22222)22(I k t +=ω (3)系统振型为{}[]T 211=φ，{}[]T 212-=φ，其振型图如下：图2 系统振型图令{}{}⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==Φ2211],[][21φφ, 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΦΦ10014][][][2I M T, ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=ΦΦ22212004][][][ωωI K T (4)式(4)为振动系统的模态正交特性。
当考虑图1系统的外界激励时，即{}t F F F ωsin 21⎭⎬⎫⎩⎨⎧=时,其运动的微分方程为： []t F F K M ωθθθθsin ][212121⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎭⎬⎫⎩⎨⎧ (5)为了求出方程(5)的稳态解,可令⎭⎬⎫⎩⎨⎧Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧2121][q q θθ,将⎭⎬⎫⎩⎨⎧Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧2121][q q θθ代入式(5),同时方程两边同乘以T ][Φ,并利用振动系统的模态正交特性,有t I F F I F F q q qq ωωωsin )4/()2()4/()2(0022122121222121⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎭⎬⎫⎩⎨⎧(6)利用式(6)很容易求得t I F F I F F q q Tωωωωωsin ))4/()2(,)4/()2((22222122122121---+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧, 再由⎭⎬⎫⎩⎨⎧Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧2121][q q θθ求得⎭⎬⎫⎩⎨⎧21θθ。
Matlab语言在振子固有频率计算中的应用
将单元质量矩阵ｍ。。。分成４个同阶子方阵，即
Ｆｍｉｉ ｍ，门
Ｉｎ＝ｌ Ｌｍ，ｍ，』Ｊ
其中：ｉ和歹是单元两端结点的系统结点编号；再把 垅中的诸元素（子方阵）按其下标直接放到Ｏ。。矩阵
中相应的位置上，遇到下标相同的元素，则相加求
和，这样变形成了质量矩阵Ｍ。如果考虑的约束给
出零结点位移，那么最后再在Ｍ矩阵上划去被约束 的结点坐标所在的行和列，得到质量矩阵Ｍ¨。通过 同样过程，也可以形成系统刚度矩阵和阻尼矩阵。显 然这种方法可以省去不必要的矩阵乘法运算，使得 形成系统特性矩阵的过程更加明了。
摘要 采用Ｍａｔｌａｂ语言来计算振子的低阶固有频率，其结果能较清楚地体现有限元法计算振子固有频率的数学 过程。相对于传统的编程语言，该方法工作量小，显得更为简洁，能将设计人员从繁琐的编程工作中解脱出来．加快 设计速度，这对于学校作为教学软件包的开发也是一种新的尝试。
关键词 Ｍａｔｌａｂ振子 固有频率有限元 中图分类号
雾：麓慧结毒２列皑ｉ为梁上的分茗萎 ‰ｂ’＝７～２，（手）ｚ十，（手）ｓ ｆ
其中：Ｐ。为耋凳三多。之●９ｅ ２ ｔ－１’－１”＋ｅ
（１４）
％ｂｋ ３（手）ｚ～２（静 ｆ ∞’
麓嚣勰巍臻然茹篙穗ｊ善鞲鬻雾彗 翰…ｃ＊砖 ／
．１，ｌ；ｅ＋地一。 （１５）
叭？∥’２Ⅳ』，ｂ）ｙ础）＋Ｍ，：ｉ泛：：：＿式为
２．２单元特性分析
如图２所示，在梁上任取一单元，图中坐标原点 取在单元左端，ｚ轴沿单元轴线。这种与单元相联系 的坐标系也称为局部坐标系。设单元长度为，，抗弯 刚度为Ｅｌ（ｘ），单位长度的质量为Ｐ，由于单元长度 一般较小，所以Ｅ１和Ｐ均可当作常量。对所考虑的 单元，假定左右端编号分别为ｉ和Ｊ，相应的节点位 移为Ｙ，，０ｊ，Ｙ，，０ｉ，它们的正方向如图２所示。为了选
4.2多自由度系统的固有频率与主振型
同样的，将 代入式（4-23），可得
将 代入式（4-23），可得
矩阵特征值问题通常表示成下述标准形式：
（4-24）
其中， 是实数方阵， 是特征矢量， 是特征值。在大多数算法中还假设 是对称阵。
显然，方程（4-15）与（4-17）都具有（4-24）式的形式。不过无论是 还是 一般都不是对称阵。为了将它们化为对称阵，可进行如下坐标变换。
（4-36）
例4-7设图4-1所示三自由度系统中有 ， ， 。试将系统矩阵化为对称阵。
解：系统的柔度矩阵与质量矩阵分别为
，
故系统矩阵 为非对称阵：
因为这时 为对角阵，所以有
按式（4-36）进行变换，有
所得 已是对称阵。
矩阵特征值问题属于线性代数的一个专题。已经发展了许多有效的算法来求解各种形式的矩阵的特征值问题。关于这一问题的详细论述，请读者参阅有关专著及手册。
（4-18）
它有非零解的条件为
（4-19）
（4-19）式称为系统的频率方程或特征方程。对它展开的结果，可得一个关于 的 次代数方程：
（4-20）
它的 个根 成为系统的特征根，亦称矩阵 的特征值。特征值 与系统固有频率 之间有如下关系：
（4-21）
一般说来， 次代数方程的 个根，可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚度矩阵是正定的或半正定的,故所有特征值都是实数，并且是正数或零。事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的 ，有
4.2 多自由度系统的固有频率与主振型
一、固有频率和主振型
上节导出了多自由度系统的自由振动微分方程：
基于MATLAB语言的多自由度振动系统的固有频率及主振型计算分析
基于MATLAB语言的多自由度振动系统的固有频率及主振型
计算分析
文涛; 胡青春
【期刊名称】《《机械设计与制造工程》》
【年(卷),期】2007(036)001
【摘要】多自由度振动系统固有频率及主振型计算分析是研究其振动特性的基础,矩阵迭代法是计算固有频率及主振型的基本方法之一。
根据矩阵迭代的方法,利用MATLAB编程并验证程序的正确性。
通过程序的运行,能快速获得多自由度振动系统的固有频率以及主振型,为设计人员提供了防止系统共振的理论依据,也为初步分析各构件的振动情况以及解耦分析系统响应奠定了基础。
【总页数】4页(P78-81)
【作者】文涛; 胡青春
【作者单位】华南理工大学机械工程学院广东广州 510640
【正文语种】中文
【中图分类】TH113
【相关文献】
1.基于 MATLAB 多自由度单向串联振动系统的计算分析 [J], 于翔;周松
2.天线传动系统扭转振动固有频率计算分析 [J], 王宏杰
3.基于多自由度阻尼振动系统的动力吸振器的理论研究 [J], 杨兴国; 魏显坤; 王茂辉; 石英
4.多自由度非线性振动系统的主振型和主振动 [J], 刘鍊生;黄克累
5.多自由度无阻尼机械振动系统各阶固有角频率与主振型的计算 [J], 冯奇;魏力因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
多自由度体系的固有频率与主振型-7
11 16 11
7 1 11 9
2
1
1
2
1
1
1
ΦΦ12 Φ3
0 0 0
令 1 m 2
9
11
7
22
32
22
7 11
ΦΦ12
0 0
9
Φ3
0
由特征矩阵行列式为零，得特征方程
3 50 2 124 56 0
1 47.4094 2 2 3 0.5906
(i)
i 2n n
k m Φ k m Φ k m Φ n11
2
(i
i n1n1 n-1
n11n
2
(i)
i n1n n
解方程
Φ(i 1
)
(Φn(i
)
)、Φ ( i 2
)
(Φn(i
)
)、Φn(i )1
(Φn(i
)
)
对应固有频率ω i
1
1
举例 三自由度梁弯曲的固有频率与主振型
1
1
1
1.43
1
0.7
1
1
Φ(1) Φ(2) Φ(3)
系统的质量矩阵与柔度矩阵
m
M
2m
m
振动方程
δMx x 0
9 11 7
δ 11
16
11
7 11 9
令主振动为
x Φsin(t )
l3
768EJ
9 mδ 11
x3
m 2k
1
1
1
2
1
Φ(1)
1
Φ(2)
1
Φ(3)
1
系统的质量矩阵和刚度矩阵
用MATLAB计算发动机悬置系统的固有频率和主振型
0F>6FV 全称 0’12&L M’*(2’1(2; ) 它是由早期专
门用于矩阵运算的计算机语言发展而来的 ) 它最基 本也最重要的功能就是 * 进行实数矩阵或复数矩阵 的运算 +) !O " 将 * ,+$,+&,+", ,$&,+$",+&" 代 入 式 !O= " 即 可 得 到 惯性矩阵() !" " 将每个支承点的 -.%,-/%,-0%,!O%,!"%,$%,&%,"%等 W 个参数输入 $ 分别得到各个点的 ’%,%%,!%$ 再依据式 !OU" 计算出各个点的 &%$ 再将得到的 &% 求和 $ 即得到 总体的刚度矩阵 & ) !! " 由 上 述 !O" 和 !"" 得 出 了 矩 阵 ( 和 & $ 由 式 !<", 式 !P" 即可求得) $这在 0F>6FV中很容易实现 ) !< " 由 式 !P"$ 通 过 0F>6FV 命 令 /&- !F "X 即 可 求 出矩阵 ) 的特征值 ""$ 利 用 公 式 " Q"!1 $ 即 可 得 到 悬 置系统的各个振动固有频率1 ) !P " 求主振型直接用 0F>6FV 的命令 & ;$7 ’ Q/&!F" 所得到的矩阵 * 是 不 够 理 想 的 $ 此 处 令 # Q""$ 则
% !$ % 的主轴就构成了空间关系 ’ 因此 "将系 % !# 坐标系 !
基于MATLAB的多自由度系统的振动特性分析
程 是 关 于相 对位 移 的二 阶线 性 微 分方 程 ． 立 多 自由度 振动 系 统 的 力 建
图 １ 多层 框 架 结 构 简 化模 型 示 意 图
学模型， 实质上是确定系统的质量矩阵［ 、 Ｍ］ 阻尼矩阵［ ］ ｃ和刚度矩阵［］
系统 的质量矩 阵［ ＝ Ｍ］ 其 中 ｍ （ ，… ， ） 结构各层 质量 ．系统 的 刚度 矩 阵 【 ］ １２ 凡 为 ＝
第 １ ２卷 第 ３期
２ ０ ２年 ９月 １
南通纺 织职 业技 术学 院学报 （ 合 版 ） 综
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＮａ ｔｎ ｘｉ ｃ ｔ ｎ ｌＴｅｈ ｏｏ ｙＣｏｌｇ ｏ ｒａ ｎｏ ｇＴｅｔｌ Ｖｏ ａｉ ａ ｃ ｎ ｌｇ ｌｅ ｅ ｏ ｅ ｏ
Ｖ０ ＿２． ． Ｉ１ Ｎｏ３
析 了多 自由度 系统 的 自振 特 性 ， 以该 结 构在 地震 波作 用下 弹性 阶段 的 动 力响 应 为例 ， 用直接 积 分 法 并 采
和 改进 的模 态分析 法 ， 分析 了系统的 受迫振 动 ， 为设 计人 员计 算 系统结 构动 力特性提 供 了参考 依据 ． 关键 词 ： Ｔ Ａ 多 自由度 系统 ； 振 动特性 ＭＡ Ｌ Ｂ；
Ｓｅ ２ ０ １ ２ ｐ．
基于 ＭＡ Ｌ Ｂ的 多 自由度 系统 的振 动特性分析 ＴＡ
蔡 红 健
（ 通 纺 织 职 业技 术 学 院 ， 南 南通 ２ ６ ０ ） ２ ０ ７
摘要 ： 对 多 自由度 系统 的振动 问题 ， 多层 强 梁弱 柱型框 架建 筑结构 为例 ， ＭＡ Ｌ Ｂ平 台上 ， 针 以 在 ＴＡ 分
持水 平 ， 构 变 形 表现 为 层 间错 动 ， 层 的层 间侧移 互 不 影 响 ， 系统 结 各 该
基于Matlab的多自由度系统固有频率及振型计算
基于Matlab的多自由度系统固有频率及振型计算阅读：25212010-04-13 21:38标签：杂谈可参考文涛，基于Matlab语言的多自由度振动系统的固有频率及主振型计算分析，2007对于无阻尼系统[VEC,VAL]=eig(inv(A)*K)对于有阻尼系统，参考振动论坛计算程序输入M，D，Kfunction [v,w,zeta]=vbr_sf(m,d,k)%vbr_sf vbr_sf(m,d,k)% [v,w,zeta]=vbr4(m,d,k)% function vbr_sf finds the mode shapes and natural frequencies of% a linear second order matrix equation. 有阻尼二阶矩阵方程% [v,w]=vbr_sf(m,k) finds the mode shapes and natural frequencies % for the undamped case.if nargin==2k=d;[v,w]=eig(m\k);w=sqrt(w);endif nargin==3if norm(d/m*k-k/m*d) < 1e-8*norm(k/m*d)%disp('Damping is proportional, eigenvectors are real.')[v,w]=eig(m\k);w=sqrt(w);zeta=(v'*m*v)\(v'*d*v)/2/w;else%disp('Damping is non-proportional, eigenvectors are complex.') a=[0*k eye(length(k));-m\k -m\d];[v,w1]=eig(a);w=abs(w1);zeta=-real(w1)/w;endendw=diag(w);zeta=diag(zeta);振动系统的特性包括固有特性，固有特性一般指的是没有激励对应数学齐次方程的特征，也就是特征解，包括特征值（物理上常称固有频率）和特征向量（物理上常称振型）。
基于Matlab 的发动机悬置系统的固有频率和主振型计算
基于Matlab 的发动机悬置系统的固有频率和主振型计算（二）3 运用MATLAB 对动力总成悬置系统固有特性的计算3.1 理论计算动力总成系统固有特性的计算, 即计算系统的固有频率和振型。
动力总成悬置系统无阻尼的自由振动微分方程:式中: M——对称正定惯性矩阵;K——对称正定刚度矩阵。
求多自由度振动系统的固有频率, 从数学上讲就是求特征值的问题:设式（13）的解为: X=Xsin（ωt+a）代入式（13）化简后得: KX=ω2MX左乘M- 1 得: M- 1KX=ω2X （14）令M- 1K=A, 则: AX=ω2X （15）ω2 即为A 阵的特征值, X 为其特征向量。
由于M 对称正定, K 也是对称阵, 因而式（13）是广义特征值问题。
可用广义特征值的方法求得特征值及特征向量, 所求特征值即为系统的固有频率。
3.2 MATLAB 计算过程Matlab 是Matrix Laboratory （矩阵实验室）的缩写, 它是由美国Mathwork 公司于1967 年推出的软件包, 已发展为一种功能强大的计算机语言, 特别适合于科学与工程计算。
（1）将动力总成系统质量参数代入式（6）可得惯性矩阵M。
（2）将各悬置点的位置参数及悬置块的主刚度代入, 可得EiBiDi。
再根据式（12）求得总体的刚度矩阵K。
（3）编制Matlab 程序, 由上述（1）、（2）得到矩阵M, K, 由式（14）、（15）即可求得A。
（4）由式（15）, 通过Matlab 命令eig （A）,即可求出矩阵A 的特征值ω2。
利用公式ω2=2πf,即可得到悬置系统的各个振动固有频率f。
4 振动占优方向的判定在系统定坐标系中, 根据系统的质量矩阵[M] 及振型矩阵, 可以求出系统在做各阶主振动时的能量分布, 将它写成矩阵形式, 定义为能量分布矩阵[EG]j。
当系统以第j 阶固有频率振动时,此矩阵的（k, j）元素为:式中:[M]kl——质量矩阵的（k, j）元素;{u（ j）}k——第j 阶振型列阵的第k 个元素;{u（ j）}1——第j 阶振型列阵的第l 个元素;ωj——为第j 阶固有频率。
matlab自由自由梁的固有频率
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matlab编程实现求解基于振型叠加法的多自由度动力学系统的时域和频域响应
matlab编程实现求解基于振型叠加法的多自由度动力学系统的时域和频域响应动力学系统的时域和频域响应可以通过振型叠加法进行计算。
在MATLAB 中，可以通过编写程序来实现该方法的求解。
假设考虑的动力学系统是一个n自由度的系统，其动力学模型可以表示为：M*x'' + C*x' + K*x = F(t)其中，M是质量矩阵，C是阻尼矩阵，K是刚度矩阵，x是位移向量，F(t)是外力向量。
为了使用振型叠加法求解该系统的响应，需要先求解系统的固有振型和固有频率。
可以通过使用MATLAB中的eig函数来计算该系统的特征值和特征向量。
[V, D] = eig(K, M);其中，V是特征向量矩阵，D是特征值矩阵。
通过特征值和特征向量可以得到系统的固有频率和振型：omega_n = sqrt(diag(D)); % 固有频率Phi = V; % 固有振型接下来，可以根据零初条件来计算系统的响应。
可以通过定义初始位移和速度向量，以及外力向量，来求解系统的时域响应。
可以使用MATLAB中的ode45函数来求解非线性微分方程组。
% 定义初始状态向量x0 = [0; 0; ...; 0; 0]; % 位移和速度% 定义外力函数F = @(t) [f1(t); f2(t); ...; fn(t)];% 定义动力学方程odefun = @(t, x) [ x(n+1:2*n); ...; - inv(M)*(C*x(n+1:2*n) + K*x(1:n))+inv(M)*F(t) ];% 运行ode45函数[t, x] = ode45(odefun, [0, T], x0);另外，还可以通过FFT函数来求解该系统的频域响应。
可以通过计算系统的传递函数，并对输入信号进行快速傅里叶变换来得到系统的频域响应。
% 计算系统的传递函数H = inv(j*omega_n.*eye(n) - K + j*C*omega_n).*F;% 对输入信号进行FFT变换N = length(F);F_fft = fft(F);freq = linspace(0, 1/T, N);% 计算系统的频域响应X_fft = H .* F_fft;以上就是使用MATLAB实现基于振型叠加法求解多自由度动力学系统的时域和频域响应的方法。
基于MATLAB的多自由度系统的振动特性分析
基于MATLAB的多自由度系统的振动特性分析多自由度系统是指由多个质点构成的机械系统，每个质点在三维空间内可以有自由度运动。
这些系统在工程领域中广泛应用于建筑物、桥梁、航天器等结构的振动分析与设计。
MATLAB作为一种强大的数学计算软件，可以用来进行多自由度系统的振动特性分析。
多自由度系统的振动特性可通过建立系统的动力学方程，并进行求解来确定。
首先，需要确定系统的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。
质量矩阵描述了系统中各个质点的质量分布情况，刚度矩阵描述了系统中各个质点之间的刚度关系，阻尼矩阵描述了系统中各个质点之间的阻尼关系。
这些矩阵的形式可以通过几何关系和材料性质确定。
然后，可以通过将质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵组合成一个动力学方程来描述多自由度系统的振动行为。
动力学方程通常采用矩阵形式表示，形式为MX''+KX+CX'=F，其中M是质量矩阵，K是刚度矩阵，C是阻尼矩阵，X是位移向量，F是外力向量，X''是位移向量的二阶导数，X'是位移向量的一阶导数。
利用MATLAB可以求解动力学方程。
可以使用ode45函数或者ode15s函数来求解微分方程组。
这些函数可以将微分方程组转化为一连串的时间步长上的代数方程组，然后使用数值方法进行求解。
其中，ode45函数适用于非刚性振动系统求解，ode15s函数适用于刚性振动系统求解。
在求解动力学方程之后，可以得到系统的模态参数和振型。
模态参数是指系统的固有频率和模态阻尼比，它们可以反映系统的振动特性。
振型是指系统在不同频率下的位移分布情况，它们可以帮助分析系统的工作状态和结构设计。
MATLAB可以通过eig函数来求解系统的模态参数和振型。
除了求解动力学方程外，MATLAB还提供了一些其他的分析方法用于多自由度系统的振动特性分析。
比如，通过画出系统的频率响应曲线、幅频特性曲线和相频特性曲线，可以直观地了解系统的频率响应、幅度响应和相位响应。
基于Matlab对多自由度振动系统的数值分析机械工程(word文档良心出品)
研究生课程论文封面课程名称：数值分析论文题目：基于Matlab对多自由度振动系统的数值分析学生班级；机械工程机械电子系3班学生姓名：陈大爷任课教师：王师傅学位类别：学位课（2学分，32学时）评分标准及分值选题与参阅资料（分值）论文内容（分值）论文表述（分值）创新性（分值）评分论文评语：总评分评阅教师: 评阅时间年月日注：此表为每个学生的论文封面，请任课教师填写分项分值基于Matlab 对多自由度振动系统的数值分析摘要：多自由度主要研究矩阵的迭代求解，我们在分析抽象的理论的同时根据MATLAB 编程实现数据的迭代最后可以得到所要的数据，使我们的计算更加简便。
关键词： 振动系统；多自由度 ；迭代；MATLAB引言：在工程振动中，研究某系统振动时，首先要求出系统的固有频率。
对于多自由度振动系统，计算系统固有频率与主振型主要有2种方法：(1)利用特征矩阵方程式与特征方程式求解；(2)矩阵迭代法求解【1】。
MATLAB 作为一个以矩阵和数组为核心计算的软件，对矩阵迭代法中的矩阵迭代计算尤其适合【2】。
本文主要利用MATLAB 对多自由度系统振动矩阵迭代求解。
一.多自由度振动系统 1.多自由度振动系统的数学模型多自由度振动系统的数学模型【1】：[]{}[]{}[]{}{}M x C x K x f ++= （1-1）其中[]M 、[]C 、[]K 、{}f 和{}x 分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、力向量和响应向量。
把这个时域矩阵方程变换到拉氏域（变数为p ），并假定初始位移和初始速度为零，则得：[][][]{}{}2()()()p M p C K X p F p ++= （1-2）或 []{}{}()()()Z p X p F p = （1-3）式中 []()Z p ：动刚度矩阵。
对于N 自由度系统，此方程有2N 个复共轭对出现的特征根：i i iii i j j λσωλσω*=-+⎧⎨=--⎩ 其中i σ阻尼因子；i ω为阻尼固有频率。
基于Matlab的六自由度隔振系统计算
基于Matlab的六自由度隔振系统计算
罗煜峰
【期刊名称】《机械与电子》
【年(卷),期】2007(000)008
【摘要】采用Matlab程序技术,简化了底部安装隔振器的六自由度隔振系统的固有频率计算工作量.通过将隔振系统的微分方程组转化为状态空间方程,使用Matlab/Simulink模块可方便求解隔振系统的隔振系数曲线.
【总页数】3页(P73-75)
【作者】罗煜峰
【作者单位】国防科技大学计算机学院,湖南,长沙,410073
【正文语种】中文
【中图分类】TB535.1
【相关文献】
1.基于SimMechanics的六自由度隔振系统的仿真模型 [J], 郝慧荣;白鸿柏;李冬伟
2.基于MATLAB气动隔振系统非线性仿真分析 [J], 沈旭
3.基于MATLAB的电子设备的双层隔振系统仿真研究 [J], 刘怀亮;骆号;颜肖龙
4.基于MATLAB的电子设备的双层隔振系统仿真研究 [J], 刘怀亮; 骆号; 颜肖龙
5.基于Matlab的橡胶气囊隔振系统非线性数值分析及特性试验 [J], 冯帆
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基于Matlab的多自由度系统固有频率及振型计算
阅读：25212010-04-13 21:38
标签：杂谈
可参考文涛，基于Matlab语言的多自由度振动系统的固有频率及主振型计算分析，
2007
对于无阻尼系统
[VEC,VAL]=eig(inv(A)*K)
对于有阻尼系统，参考振动论坛计算程序
输入M，D，K
function [v,w,zeta]=vbr_sf(m,d,k)
%vbr_sf vbr_sf(m,d,k)
% [v,w,zeta]=vbr4(m,d,k)
% function vbr_sf finds the mode shapes and natural frequencies of
% a linear second order matrix equation. 有阻尼二阶矩阵方程
% [v,w]=vbr_sf(m,k) finds the mode shapes and natural frequencies % for the undamped case.
if nargin==2
k=d;
[v,w]=eig(m\k);
w=sqrt(w);
end
if nargin==3
if norm(d/m*k-k/m*d) < 1e-8*norm(k/m*d)
%disp('Damping is proportional, eigenvectors are real.')
[v,w]=eig(m\k);
w=sqrt(w);
zeta=(v'*m*v)\(v'*d*v)/2/w;
else
%disp('Damping is non-proportional, eigenvectors are complex.') a=[0*k eye(length(k));-m\k -m\d];
[v,w1]=eig(a);
w=abs(w1);
zeta=-real(w1)/w;
end
end
w=diag(w);zeta=diag(zeta);
振动系统的特性包括固有特性，固有特性一般指的是没有激励对应数学齐次方程的特
征，也就是特征解，包括特征值（物理上常称固有频率）和特征向量（物理上常称振型）。
固有特性是振动系统的一种自身固有特征，也可以这么理解，当系统以某个固有频率振
动时，振动的振型一定是对应的固有振型。
自由振动准确理解是在初始激扰（初始力或初位移）作用下，激扰撤销后系统的振动，对于线性无阻尼系统，由于系统存在正交性，若初始激扰是单频的，那么激励撤销后，系统仍然按激励的频率振动下去，振动响应是所有固有振型的叠加，仅仅当激励的频率等于某个固有频率时，振动的振响应就是对应的振型的若干倍；对于线性有阻尼系统，差别是振动的振响应会逐渐减小... ..
如果激励是多频率成分，问题要复杂一些.
响应是振型的叠加，频率不存在叠加... ..
系统的固有特性与惯性、弹性和耗散等有关，主要是惯性和弹性，惯性实际工程中通常不会有什么变化，而弹性相对比较容易发生变化，材料常数、剖面模数（断面出现裂纹、断裂. . .）、边界刚度等等发生变化都会显现系统变形刚度发生变化，导致系统固有频率随之发生变化。