相似矩阵的定义

P1 E A P E A
又特征值就是特征方程的根,从而有相同的特征值.
推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 diag(1, 2, n )
相似 则 1 ,2 , ,n 是A 的n 个特征值。
三、相似变换矩阵的求法
问题：
对一个 n 阶方阵 A，是否存在相似变换
1
矩阵
P,
使
P 1 AP
k n
0 0
(2 )
0
0
0
(n
)
利用上述结论可以很方便计算矩阵A 的多项式 ( A)
定理 若n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A与 B 有 相同的特征多项式，从而有相同的特征值。 证明: 因 A 与 B 相似，所以有可逆矩阵P,使
P 1 AP B 故 E B P1(E)P P1AP P1(E A)P
4 3
6 5
0 0
习
3 6 1
问A能否对角化？若能对角 化, 则求出可逆矩阵P ,
使P 1 AP为对角阵. 解
解(2)
2 1 2
由E A 5 3 3 13
1 0 2
所以A的特征值为 1 2 3 1.
把
1代入E Ax 0,
解之得基础解系
1 1
1
故A 不能化为对角矩阵.
解(3)
由E A
1
2
2
2
2
4 22 7
2 4 2
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入E Ax 0,得方程组
于是有 Api i pi i 1,2, , n.
可见 i 是A的特征值,而P的列向量 pi 就是 A的对应于特征值i的特征向量.
反之, 如果 n 阶方阵 A 有n 个线性无关的特征向量， P1, P2 , , Pn 满足 APi iPi , i 1,2, , n
那么令 P (P1, P2 , , Pn ) 则 P 可逆，且 P 1 AP diag(1 ,2 , n )
P(a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E) P1
P(B) P1.
特别地，若有可逆矩阵P,使 P1 AP
1 0 0
为对角矩阵，
即
0 0
2
0
0
n
,
则 Ak Pk P 1, ( A) P ()P 1 ，而对于矩阵 有
k 1
k
k 2
(1 ) 0
,则
()
1
(2)
令
1 P 1
1 0
0 1
1
1
1
则有
5
P 1 AP 1
1
（3）直接计算 A100 比较麻烦，但由
5 P 1 AP
1
可得
1
5 A P
1
P 1 1
5 则 A100 P 1
100
P 1 易求
1
1 1 1
P 1
1
2
1 1
3
1
2
1
于是
5 A100 P
1
100
P 1
1
1 1
1
1 0 1
0 5100
1
1
(1)100
1
1
(1)100
3
2 1
1 1 2
1 1 1
1
5100 5100
2 1
3
5100
1
5100 1 5100 2 5100 1
5100 1 5100 1
5100
2
练
设A
(4) A ~ B, 则Ak ~ Bk （其中 k 是正整数） （5）若A~B ， (A) 是关于A 的多项式
则 ( A) ~ (B)
若A PB P1, 则 Ak
k个 P Bk P1.
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a0 P Bn P1 a1 P Bn1 P1 an1 PB P1 an PE P1
一、相似矩阵的概念
定义 设A,B 都是 n 阶方阵,若有可逆矩阵P, 使 P1AP B
则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似 记作 A ~ B
对 A 进行运算 P1AP 称为对A进行相似变换 其中可逆矩阵 P 称为把A变成B的相似变换矩阵。
二、相似矩阵的性质
（1）自反性 A~A （2）对称性 若A~B，则B~A （3）传递性 若A~B，B~C，则A~C相似
n 个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能
对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， 还是能对角化．
例 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
解(1)
1 2 3
由E A 2 1 3 1( 9)
3 3 6
得 1 0, 2 9, 3 1
因为 A 有三个不同的特征值，所以由推论知 A 可对角化。
2
n
若存在，如何找出这个矩阵？
讨论：ห้องสมุดไป่ตู้设存在可逆阵P,使P 1 AP 为对角阵,
把 P 用其列向量表示为 P (P1, P2 , , Pn )
由P1 AP ,得AP P,
1
即 A p1 , p2 , , pn p1 , p2 , , pn
2
n
也即 Ap1, Ap2 , , Apn 1 p1, 2 p2 , , n pn
再将 2 1 代入 (E - A)X 0
得
2 x1 2 x1
2 x2 2 x2
2x3 2x3
0 0
2x1 2 x2 2x3 0
1
解得特征向量 X21 0
1
0 X22 1 1
1 X11 1, 1
1
X21 0 ,
1
X22
0 1
,
线性无关，故A可对角化
2xx1124xx2224xx33
0 0
2x1 4x2 4x3 0
2
解之得 基础解系
1 0 ,
1
0 2 1.
1 1
对3 7,由3E Ax 0,
求得基础解系
3 2
2
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角化.
例设
判断A是否可以对角化，
若可以对角化，求出可逆阵P， 为对角阵，并求
解 （1）求特征值 1 2 2
E A 2 1 2 5 12
2 2 1
解得 : 1 5, 2 3 1
求特征向量 将 1 5 代入 (E - A)X 0
得
42xx1 124xx2 222xx3 300
解得特征向量
1 X11 1
2x1 2x2 4x3 0
1
注意 因为特征向量不唯一，所以上述矩阵P 也是不唯一的。并且由上面的讨论即有：
定理 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似(即A能对角化)
的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征根互不相同, 则 A 与对角矩阵相似。 如果 A的特征方程有重根，此时 A 不一定有