现代控制理论 第4章传递函数矩阵的状态空间实现共30页文档

只要构造出 (s)S 1 (s)的实现 , 后面就只是代数运算了 .
核
:
S yˆ
(
0
s )ˆ
(s)
(s
) (
uˆ0 (s) ,
s )ˆ ( s )
ˆ
(
s
)
ˆ1
(
s
)
ˆ
p
(
s
)
s k1
ˆ1
(s)
uˆ0 (s)
s k1ˆ1 ( s )
uˆ0 (s)
s
k
p
ˆ p
(
u0
(k1 ) 1
(k2 ) 2
,
取
(k p
p
)
x0
ˆ1
ˆ
p
(
k
p
1
)
y0
ˆ p
y0
Inx0
C
0 c
x
0
0
1
x0
ˆ1(
k1
)
ˆ1(1)
ˆp(kp )
ˆp
(1)
uˆ 0 ( s )
S ( s )ˆ ( s ) uˆ 0 ( s ) ( 核 yˆ 0 ( s ) ( s )ˆ ( s )
)
uˆ
0
(
s
)
D
hc
1 D
lc
( s )ˆ ( s )
D
hc
1 uˆ ( s ) ( 外围
)
yˆ ( s ) N lc yˆ 0 ( s )
3 核实现 (Aco,Bco的,Cco构) 造
P0
P1
Akqkq
0
Iq
,
Bkqp
Pk2
Iq k1Iq
Pk1
C [0,0, ,0, Iq]qkq
注：(1)形式上与SISO系统的能控规范形一样,数都变成了矩阵. (2)一定是能观的,但不一定是控的. (3)由此求最小实现时,要按能控性进行结构分解. (4)维数与能控性实现可能不同.
4.1 实现的基本概念和属性
一 实现的定义和属性
1 实现的定义
假设已知线性定常系统的传递函数阵G(s)， 若找到状态空间模型{A,B,C,E}使得
G (s)C (sIA )1B E
成立，则称此状态空间模型为已知的传递函数 矩阵的一个状态空间实现。
2 实现的属性 ➢实现的维数 ：
实现维数=dimA ➢实现的不唯一性 ：
一 标量传递函数的典型实现
能控规范形实现 能观测规范形实现 并联形实现（约当形实现） 串联形实现
二 传递函数矩阵的典型实现
G(s)----严格真，有理分式形式表达，即
G (s) [ gij (s)], i 1,2, q; j 1,2, p; 令d (s)为gij (s)的最小公分母 , 记为
三 能控类实现和能观测类实现
1能控类实现 {A,B,C，E}为G(s)的一个能控类实现的
充要条件是：
G(s)C(sIA)1BE {A,B}能控且有指定形式
2 能观类实现
{A,B,C，E}为G(s)的一个能观类实现的 充要条件是：
G(s)C(sIA)1BE {A,C}能观且有特定形式
4.2有理分式传递函数矩阵的典型实现
维数可不同，同维的参数也可不同
➢最小实现
对于传递函数阵G(s)的一个维数最低的实现， 称为G(s)的最小实现或不可约简实现。
二 最小实现的相关定理
定理1 ： 设严格真有理函数阵G(s)的实现为{A,B,C},
则其为最小实现的充要条件是{A,B,C}既完全能 控又完全能观。 定理2：
对给定的传递函数矩阵G(s),其最小实现不 是唯一的，但所有最小实现都是代数等价的。
定理3(单变量系统) ： 设分子分母互质的真有理函数g(s)的实现是
{A,b,c,d},当且仅当dimA=deg（g(s)）时，实 现{A,b,c,d}是g(s)的最小实现。
定理4（多变量系统） ：
设真有理函数矩阵G(s)的实现是{A,B,C,D}, 当且仅当dimA=G(s)不可简约MFD的次数时， 实
s k1
S
(
s
)
O
p
, ki n
sຫໍສະໝຸດ Baidu
kp
i 1
s k11
s 1
(s)
s
k
p
1
s
1
可导出构造 (Ac, Bc的,Cc结) 构图
uˆ(s)
D 1 hc
uˆ0 (s)
yˆ0 (s)
(s)S1(s)
N lc
yˆ ( s )
Dhc1Dlc
称 (s)S1为(s)核心右MFD。
称一个状态空间描述 x& Ac x 为Bcu控制器形实现,
y Ccx
其中
p
dimAc ki n,Cc(sIAc)1BcN(s)D1(s)
i1
{Ac,Bc}为 完 全 能 控 且 具 有 指 定 形 式
2 MFD的核
引入列次表达式：
D (s) DhcS (s) Dlc (s)
N (s) N lc (s)
s
)
s
k
p
ˆ
p
(
s
)
s k1 1
s 1
yˆ 0 ( s )
ˆ1 ˆ2
( (
s s
) )
s
k p 1
ˆ
p
(s
)
s
1
s
ˆ k1 1 1
(s)
ˆ1 ( s )
s
k
p
1ˆ
p
(
s
)
ˆp ( s )
定义状态变量
ˆ ( k 1 1 ) 1
推出
yˆ ( s ) N ( s ) D 1 ( s ) uˆ ( s ) N ( s )ˆ ( s )
D
(
s
)ˆ (
s
)
uˆ (
s
)
[D
hc
S
(s)
D
lc
( s )] ˆ ( s )
uˆ ( s )
yˆ ( s )
N
lc ( s)ˆ(s )
yˆ 0 ( s )
S ( s)ˆ(s ) D hc 1 D lc ( s )ˆ ( s ) D hc 1 uˆ ( s )
0
Ip
,
Bkpp
0
0Ip 1Ip
k1Ip
I p
C[P0,P1, ,Pk1]qkp
注：(1)形式上与SISO系统的能控规范形一样,数都变成了矩阵. (2)一定是能控的,但不一定是能观的. (3)由此求最小实现时,要按能观性进行结构分解.
2. 能观测形实现
0qq 0 0 0Iq
Iq
1Iq
4.3 基于MFD的典型实现
G(s)qp严格真 右MF:D G(s)N(s)D1(s)
D(s)列既,控 约制器形实
左MF:D G(s)A1(s)B(s) A(s)行既,观 约测器形实
一. 构造控制器形实现
1控制器实现的定义
G(s)N(s)D1(s)严 格 真 ,D(s)列 既 约 ,ciD(s)ki,i1,2,L,p
d (s) s k k 1s k 1 1s 0
则 G ( s )可表为
G(s)
1 P(s) d (s)
d
1 (s)
[
Pk
1s
k
1
P1s P0 ]
形式上类似于 SISO系统的传递函数 , 只不过分
子的系数变成了矩阵 .
1. 能控形实现
0pp
Ip
0
0
Ip
0
Akpkp