高中数学选修12推理与证明.docx

第二章推理与证明

一、合情推理

1、归纳推理：个别一般

（结论不一定正确）

2、类比推理：特殊特殊

例 1、推导等差数列通项公式。

解： a2a3d

a3a22d个别

a4a33d

一般

a n a1(n1)d

例 2、求

132333n3________.

解： 13112

1323932特殊3332

12 3 =36= （ 1+2+3 ）

(1 2 3n) 21一般

13 +2 3+3 3++n 3n2 (1 n) 2

4

二、演绎推理

1 大前提： M 是 P

三段论 2 小前提： S 是 M一般特殊结论正确

3 结论： S 是 P

例：“自然数是整数， 4 是自然数，所以 4 是整数”。

三、直接证明

、综合法：条件结论

1

2、分析法：结论条件

例：设 a, b, c, d0, 且 a+b=c+ d,证明：

1 若 ab cd ，则 a b c d .

2 若 a b c d , 则 a b c d .证明： 1要证a b c d，

只要证 (a b) 2

(c d )

2，

即 a 2ab b c2cd d，分析法因为 a b c d, 所以只要证ab cd ，

只要证 ab cd,

因为 ab cd 成立 ,所以 a b c d 成立 .

2 若 a b 即(a b)

2因为 a b

c d ,( a b) 2(c d )

2，

4ab(c d )

2

4cd ，综合法c d, 所以 ab cd ，

由（ 1）可知a b c d .

四、间接证明

反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。

例 1、若 x 2 -( m n) x mn 0，则 x m 且 x

n.

证：假设 x m 且 x n 不成立，

则x=m 且 x=n ，

2 -( m n) x mn 0 矛盾 ,

所以 ( x m)( x n)=0 与 x

故假设不成立，

x m 且 x n 成立 .

例 2、证明2是无理数.

q

证明：假设 2 是有理数，则2=（p、q互质的整数）,

p

2p2q2 ,

q2是偶数，

q是偶数，

可设 q=2 （k k 为整数） ,

2p 24k 2 ,

p22k 2 ,

p2是偶数，

p也是偶数，

与p、 q 互质矛盾，则假设不成立，

2 是无理数 .

五、数学归纳法

*

步骤：①：（归纳奠基）证明当n 取第一个值an 0 (n 0N ) 时命题成立.例1、

例2、