河南省通许县丽星中学高中数学课件：211合情推理-归纳推理选修2-2
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河南省通许县丽星中学高中数学课件：212演绎推理选修2-2
小前提
∴函数f (x)=－x2＋2 x在(-∞,1)是增函数.
结论
第十三页，编辑于星期日：十五点 七分。
合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理
类比推理
演绎推理
推理 由部分到整体,个 由特殊到特殊的
形式 别到一般的推理 区
推理
别 推理 结论不一定正确，有待进一
结论 步证明
由一般到特殊的 推理
在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确
……
由上述具体事实能得到 怎样的结论？
（2）在平面内，若 a⊥c，b⊥c，则a//b.
类比地推广到空间， 你会得到什么结论？并 判断正误.
第四页，编辑于星期日：十五点 七分。
2、类比下列平面图形的性质，写出空间图形的性质：
平面图形的性质 1．一条直线把平面分成两个部分
空间图形的性质
一个平面把空间分成两个部分
所以2007不能被2整除.
一般性的原理 特殊情况 结论
第六页，编辑于星期日：十五点 七分。
案例分析2：
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结
论，这种推理称为演绎推理．
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
一般性的原理 特殊情况
结论
大前提 小前提 结论
2.一切奇数都不能被2整除,
大前提
任取x1 , x2 (,1),且x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) ( x12 2 x1 ) ( x22 2 x2 )
( x2 x1 )( x2 x1 2) x1 x2 , 所以x2 x1 0; x1 , x2 1, 所以x2 x1 2 0. f ( x1 ) f ( x2 ) 0, f ( x1 ) f ( x2 ).
人教A版高中数学选修2-2课件：第二章 2.1.1合情推理与演绎推理 (共69张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
(教师参考)高中数学 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修2-2
n＝1时，a 1 ＝1 第1个圆环从1到
3.
2
1
3
精选ppt
12
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次n＝2时，a 2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.
2
1
3
精选ppt
13
设 a n 为把n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时, a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时, a2＝3 前1个圆环从1到2; 猜想:a64=264-1
第2个圆环从1到3;
n＝3时，a3=7
前1个圆环从2到3. 前2个圆环从1到2;
猜想:an=2n-1
n=4时，a4=15
第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.
2
1精选ppt
3
14
2 21 1 5 ,
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 64 个圆环从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次?把n个圆环从1号针移到3号针最少需要移动多少次 ？
2
1精选ppt
3
11
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚
属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观
察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分
析的基础上.提出带有规律性的结论. 精选ppt
需证明 4
归纳推理的一般步骤：
3.
2
1
3
精选ppt
12
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次n＝2时，a 2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.
2
1
3
精选ppt
13
设 a n 为把n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时, a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时, a2＝3 前1个圆环从1到2; 猜想:a64=264-1
第2个圆环从1到3;
n＝3时，a3=7
前1个圆环从2到3. 前2个圆环从1到2;
猜想:an=2n-1
n=4时，a4=15
第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.
2
1精选ppt
3
14
2 21 1 5 ,
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 64 个圆环从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次?把n个圆环从1号针移到3号针最少需要移动多少次 ？
2
1精选ppt
3
11
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚
属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观
察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分
析的基础上.提出带有规律性的结论. 精选ppt
需证明 4
归纳推理的一般步骤：
(选修2-2)2.1.1合情推理课件2.24
偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验, 从6开始,没有出现反例.
任何一个不小于6 的偶数都等于两个 奇质数的和.
2n p1 p2 (n N , n 3)
大胆猜想:
成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶的凋落，知道秋
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由个别推知一般.
谚语“瑞雪兆丰年” 物理学中牛顿发现万有引力
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳 推理(简称归纳).
即是由部分到整体,由个别到一般的推理.
你能举出归纳推理 的例子吗?
观察下列等式
6＝3+3， 12=5+7,
8＝3+5, 14=3+11，
10＝3+7, 16=5+11 归纳出一个规律：
蛇类是用肺呼吸的
鳄鱼是用肺呼吸的 海龟是用肺呼吸的
爬行动 物都是 用肺呼
整 体 蜥蜴是用肺呼吸的
吸的
一般
共 第一个数为2
第二个数为4 第三个数为6
性
第n个 数为2n.
第四个数为8
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳 推理(简称归纳).
化学中的门捷列夫元素周期表Fra bibliotek天文学中开普勒行星运动定律
歌德巴赫猜想 四色定理 牛顿发现万有引力 门捷列夫发现元素周期律等等
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
归纳推理的过程： 归纳推理的特点:
实验观察
在同一类事物中 (1)从特殊到一般；
通过更多特例的检验, 从6开始,没有出现反例.
任何一个不小于6 的偶数都等于两个 奇质数的和.
2n p1 p2 (n N , n 3)
大胆猜想:
成语“一叶知秋” 意思是从一片树叶的凋落，知道秋
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由个别推知一般.
谚语“瑞雪兆丰年” 物理学中牛顿发现万有引力
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳 推理(简称归纳).
即是由部分到整体,由个别到一般的推理.
你能举出归纳推理 的例子吗?
观察下列等式
6＝3+3， 12=5+7,
8＝3+5, 14=3+11，
10＝3+7, 16=5+11 归纳出一个规律：
蛇类是用肺呼吸的
鳄鱼是用肺呼吸的 海龟是用肺呼吸的
爬行动 物都是 用肺呼
整 体 蜥蜴是用肺呼吸的
吸的
一般
共 第一个数为2
第二个数为4 第三个数为6
性
第n个 数为2n.
第四个数为8
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳 推理(简称归纳).
化学中的门捷列夫元素周期表Fra bibliotek天文学中开普勒行星运动定律
歌德巴赫猜想 四色定理 牛顿发现万有引力 门捷列夫发现元素周期律等等
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
归纳推理的过程： 归纳推理的特点:
实验观察
在同一类事物中 (1)从特殊到一般；
高中数学人教课标版选修2-2《合情推理》课件
43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数. 结论：当n取任何正整数时， 因为当n=40时， 面的归纳推理得到的猜想不正确. 点拨：由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，需要 进行严格的证明或通过举反例推翻其一般性. 的值都是质数. 所以 是合数.因此，上
知识回顾
地球
行星、围绕太阳运行、绕轴自转 有大气层 一年中有四季的变更 温度适合生物的生存 有生命存在
火星
行星、围绕太阳运行、绕轴自转 有大气层 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存 可能有生命存在
问题2：用以上方法，类比圆的特征，填写下表球的特征，说说推理 的过程.并回答下面两个问题： 1. 为什么圆可以和球类比？ 2. 圆和球类比的规律是什么
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
●活动二 梳理小结，掌握类比推理的逻辑含义 类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知 特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，简称类比.
类比推理的特点： 1. 类比推理是由特殊到特殊的推理. 2. 由于类比的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征， 所以进行类比推理的关键是明确的指出两类对象在某些方面的类似特征. 3. 类比推理是以旧的知识做基础，推测新的结果，具有发现的功能.
合情推理
名师：罗毅
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
由等差数列的定义推导其通项公式是怎么实现的．
平面向量的运算与空间向量的运算有什么共性．
椭圆和圆的哪些几何性质是相似的．
检测下预习效果：
点击“随堂训练” 选择“《合情推理》预习自测”
知识回顾
【高中数学选修2-2】2.1.1合情推理 PPT 课件
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4 π R 3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3，
1000＝29+971，
8＝3+5，
1002=139+863,
10＝5+5,
…
12＝5+7， 14＝7+7，
综上述他得出一个规律：
16＝5+11, 18 =7+11,
偶数＝奇质数＋奇质数
…，
歌德巴赫猜想:“任何一个不小于6的偶数都等 于两个奇质数之和”
(3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？ 不一定正确，需要证明。
观察下面推理问题
火星上是否有生命？
火星
地球
相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。
地球上有生命 猜想 火星上可能有生命
属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观
察、经验和实验的基础之上,提出带有规律性的结
论。
需证明
我们见过的归纳推理，你想起来了吗？
1，3，5，7，…，由此你猜想出第n 个数是__2_n__1__.
高中数学选修2《合情推理与演绎推理》课件
【推理】
推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程. 合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解 决问题的思路和方向的作用; 演绎推理则具有证明结 论, 整理和建构知识体系的作用.
合情推理又分归纳推理与类比推理.
问题1. 观察以下几个一元二次方程的根与常数 项, 你有什么发现? 5x2+2x+3=0, 5x2+2x-3=0, x2+x+1=0, x2+x-1=0, 2x2-3x+4=0, 2x2-3x-4=0. 问题2. 观察下面几个偶数的分解, 你有什么发现? 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11. 方程 5x2+2x+3=0, x2+x+1=0, 2x2-3x+4=0 无实根; 方程 5x2+2x-3=0, x2+x-1=0, 2x2-3x-4=0 有二不 等实根. 由问题 1 猜测: 一元二次方程中, 常数项为正时, 方程无实根; 常数项为负时, 方程有两不等实根.
归纳推理可以发现新事实, 获得新结论.
【课时小结】
2. 归纳推理的基本思路
(1) 在部分对象中寻找相同点. 如问题 1, 2. (2) 在部分对象中分析运行结果的相同点. 如例1, 例4. (3) 在部分对象中寻找相关关系. 如练习第2题.
习题 2.1 A组 第 1、2、3 题.
习题 2.1 A 组 2an 1. 在数列{an}中, a1=1, an+1 = (nN*), 试 2 + an 猜想这个数列的通项公式. 解: a1=1. 2a1 21 2 = = . a2 = 2 + a1 2 + 1 3 2 2 2a2 1 3 = . = a3 = ∴猜想: 2 2 2 + a2 2 + 3 an = 2 . n+1 1 2 2a3 2 2 = . = a4 = 2 + a3 2 + 1 5 2 2 2 1 2 2 观察前 4 项: a1 = 1 = , a2 = , a3 = = , a4 = . 2 3 2 4 5
高中数学 2.1.1合情推理课件 新人教A版选修2-2
首页 探究 一 探究 二 探究 三 探究 四
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
典型例题 1
由下列各式: 13=12, 13+23=32, 13+23+33=62, 13+23+33+43=102, 请你归纳出一般结论. 思路分析:观察式子的结构特征及左右底数的变化得出结论.
此ppt下载后可自行编辑
高中数学课件
第二章
推理与证明
-
2.1
合情推理与演绎推理
-
2.1.1
合情推理
-
首页
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
学习目标 1.了解合情推理的含义,能利用归纳 推理和类比推理等进行简单的推 理. 2.了解合情推理在数学发现中的作 用.
f(n )=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n),通过计算 f(1),f(2),f(3)的值,推测出 f(n )的表达式. 1 解 :∵a n= 2,
(������+1 ) 1 1 1 ∴a 1= ,a 2= ,a 3= . 4 9 16 3 ∴f(1)=1-a 1= , 4 1 1 4
f(2)= 13 4
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XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
典型例题 2
(1)图①,②,③,④为四个平面图形,数一数,每个平面图形各有多少个顶 点?多少条边?它们将平面各分成了多少个区域?
(2)观察(1)题中的四个平面图形,推断一个平面图形的顶点数、边数、 区域数之间的关系. 解 :(1)各平面图形的顶点数,边数,将平面分成的区域数分别为:①3,3,2; ②8,12,6;③6,9,5;④10,15,7. (2)观察 :3+2-3=2;8+6-12=2;6+5-9=2;10+7-15=2. 通过观察发现,平面图形的顶点数 V、 边数 E 和将平面分成的区域数 F 之间的关系为:V+F-E=2.
高中数学 2.1.1《合情推理与演绎推理》课件 新人教选修2-2
A
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2
s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
第十二页，共20页。
例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与② x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆 的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆 的情况下加以推广,即要求得到一个更一般 的命题,而已知命题应成为所推广命题的一 个特例,推广的命题为----设--圆---的---方--程---为---①-------(b-x≠---a-d-)-)2-+,-(则-y---由-b-)①-2-=-r式-2-与减---②去--(②-x---式-c-)可-2-+-得(--y上---d述-)-2-两=-r-圆-2-（-的-a-≠对---称c-或-轴-----
第十九页，共20页。
谢谢大家
2023/5/16
生产计划部
第二十页，共20页。
统称为合情推理。
合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向
第十四页，共20页。
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下
列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
1.每次只能移动1个金属片;
2.较
大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属
片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析
的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
第三页，共20页。
练:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V
和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间 的关系.
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2
s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
第十二页，共20页。
例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与② x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆 的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆 的情况下加以推广,即要求得到一个更一般 的命题,而已知命题应成为所推广命题的一 个特例,推广的命题为----设--圆---的---方--程---为---①-------(b-x≠---a-d-)-)2-+,-(则-y---由-b-)①-2-=-r式-2-与减---②去--(②-x---式-c-)可-2-+-得(--y上---d述-)-2-两=-r-圆-2-（-的-a-≠对---称c-或-轴-----
第十九页，共20页。
谢谢大家
2023/5/16
生产计划部
第二十页，共20页。
统称为合情推理。
合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向
第十四页，共20页。
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下
列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
1.每次只能移动1个金属片;
2.较
大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属
片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析
的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
第三页，共20页。
练:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V
和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间 的关系.
河南省通许县丽星中学高中数学课件：221直接证明与间接证明综合分析法选修2-2
练一练：
已知 1 tan a 1,求证：3sin 2a 4 cos 2a 2 tan a
第十三页，立，所以
3 7 2 5成立
第十页，编辑于星期日：十五点 七分。
练一练：
1、求证：6 7 2 2 5
2、求证：a a 1 a 2 a 3(a 3)
第十一页，编辑于星期日：十五点 七分。
例.
已知α,β≠
kπ+π(k 2
Z),且
sinθ+ cosθ= 2sinα
只需证：21 5
只需证：21 25
因为21 25显然成立，所以
3 7 2 5成立
第九页，编辑于星期日：十五点 七分。
例题，求证：3 7 2 5
证明：因为 3 7和2 5都是正数，所以要证
3 72 5
（ 3 7）2 （2 5）2 10 2 21 20 21 5 21 25
第四页，编辑于星期日：十五点 七分。
二、综合法定义：
从已知条件出发，以已知定义、公理、定理等为 依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止， 这种证明方法叫做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
第八页，编辑于星期日：十五点 七分。
例题，求证：3 7 2 5
证明：因为 3 7和2 5都是正数，所以要证
3 72 5
只需证，（ 3 7）2 （2 5）2
只需证：10 2 21 20
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这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.
1.已知数列｛an｝的第一项 a1 =1, 且请归an纳1 出 1这a个nan数( 列n ＝的1通，项2公，式3，为··_·_)a，_n___1n__.
2.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按 下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
an+1
=
an 1 + an
例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推
理得出它们之间的关系.
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
推理与证明
推理 证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
(3) a＞ba2＞b2;等等。
类比推理的结论不一定成立.
例2：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想．A
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2 s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
总结：1.进行类比推理的步骤：
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
佛教《百喻经》中有这样一则故事。 从前有一 位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉 他:"要甜的,好吃的,你才买."仆人拿好钱就去了.到了 果园,园主说:"我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝 一个看."仆人说:"我尝一个怎能知道全体呢 我应当个 个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠."仆人于是自己 动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去, 富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.
n＝1时，
a＝1 1
n＝2时，
a＝2 3
第1个圆环从1到 前3. 1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时，
a＝1 1
n＝2时，
a＝2 3
第1个圆环从1到 前3. 1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
n＝3时，
(1)每次只能移动1个金属片；
(2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面；
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移 动多少次？
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时，
a＝1 1
第1个圆环从1到
3.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果.
2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性.
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发 现的功能.
我们已经学习过“等差数列”与“等比数 列”.
你是否想过“等和数列”、“等积数列” ？
想一想：
第一个芒果是甜的
故事中仆人的做法实际吗？ 第二个芒果是甜的
换作你，你会怎么做？ 第三个芒果是甜的
这个果园 的芒果都 是甜的
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
例1:已知数列{an}的第1项a1=1且
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
பைடு நூலகம்
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
猜想 F+V-E=2
欧拉公式
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
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三棱柱
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五棱锥
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立方体
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正八面体
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五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
9
9
16
1，3，5，7，…，由此你猜想出第n 个数是__2_n__1__.
从第二项起，每一项与其前一项的 差等于一个常数的数列是等差数列.
类 推
从第二项起，每一项与其前一项的 和等于一个常数的数列是等和数列.
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=ba2=b2;等等。
猜想不等式的性质： (1) a＞ba+c＞b+c; (2) a＞b ac＞bc;
大胆猜想 小心求证
归纳推理
由部分到整体、 个别到一般的推理
归纳推理的基础
观察、分析
归纳推理的作用 注意
发现新事实、获得新结 论
归纳推理的结论不一定成立
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合生物的生存
有生命存在
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
归哥纳德巴推赫理猜想的的过过程程：：
具体的材料 观察分析
猜想出一般性的结论
由某类事物的
具有某部些分特对征象,
推出该类事物的 的推理,或者由
都具有这些特征 概括全出部对象
的推理,称为归纳推理(简称归纳). 个别事实
一般结论
a＝3 7
第1个圆环从2到3. 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.
猜想 an=
2n -1
2
1
3
观察到都是质数,进而猜想:
任何形如
的数都是质数
这就是著名的"费马猜想"
半个世纪后,
费马
• 宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作 为一个求质数的公式.以后,人们又陆续发 现
不是质数.至今这样的反例共找到了46个, 却还没有找到第6个正面的例子,也就是说 目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是 质数.
1.已知数列｛an｝的第一项 a1 =1, 且请归an纳1 出 1这a个nan数( 列n ＝的1通，项2公，式3，为··_·_)a，_n___1n__.
2.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按 下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
an+1
=
an 1 + an
例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推
理得出它们之间的关系.
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
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8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
推理与证明
推理 证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
(3) a＞ba2＞b2;等等。
类比推理的结论不一定成立.
例2：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想．A
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2 s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
总结：1.进行类比推理的步骤：
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
佛教《百喻经》中有这样一则故事。 从前有一 位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉 他:"要甜的,好吃的,你才买."仆人拿好钱就去了.到了 果园,园主说:"我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝 一个看."仆人说:"我尝一个怎能知道全体呢 我应当个 个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠."仆人于是自己 动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去.带回家去, 富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了.
n＝1时，
a＝1 1
n＝2时，
a＝2 3
第1个圆环从1到 前3. 1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时，
a＝1 1
n＝2时，
a＝2 3
第1个圆环从1到 前3. 1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
n＝3时，
(1)每次只能移动1个金属片；
(2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面；
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移 动多少次？
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时，
a＝1 1
第1个圆环从1到
3.
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果.
2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性.
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发 现的功能.
我们已经学习过“等差数列”与“等比数 列”.
你是否想过“等和数列”、“等积数列” ？
想一想：
第一个芒果是甜的
故事中仆人的做法实际吗？ 第二个芒果是甜的
换作你，你会怎么做？ 第三个芒果是甜的
这个果园 的芒果都 是甜的
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
例1:已知数列{an}的第1项a1=1且
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
6
四棱锥
5
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8
三棱柱
5
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五棱锥
6
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10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
பைடு நூலகம்
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
猜想 F+V-E=2
欧拉公式
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
9
9
16
1，3，5，7，…，由此你猜想出第n 个数是__2_n__1__.
从第二项起，每一项与其前一项的 差等于一个常数的数列是等差数列.
类 推
从第二项起，每一项与其前一项的 和等于一个常数的数列是等和数列.
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=ba2=b2;等等。
猜想不等式的性质： (1) a＞ba+c＞b+c; (2) a＞b ac＞bc;
大胆猜想 小心求证
归纳推理
由部分到整体、 个别到一般的推理
归纳推理的基础
观察、分析
归纳推理的作用 注意
发现新事实、获得新结 论
归纳推理的结论不一定成立
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕
轴自转
轴自转
有大气层
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合生物的生存
有生命存在
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
归哥纳德巴推赫理猜想的的过过程程：：
具体的材料 观察分析
猜想出一般性的结论
由某类事物的
具有某部些分特对征象,
推出该类事物的 的推理,或者由
都具有这些特征 概括全出部对象
的推理,称为归纳推理(简称归纳). 个别事实
一般结论
a＝3 7
第1个圆环从2到3. 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.
猜想 an=
2n -1
2
1
3
观察到都是质数,进而猜想:
任何形如
的数都是质数
这就是著名的"费马猜想"
半个世纪后,
费马
• 宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作 为一个求质数的公式.以后,人们又陆续发 现
不是质数.至今这样的反例共找到了46个, 却还没有找到第6个正面的例子,也就是说 目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是 质数.