空间向量坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示(上课用)
注意： 1.空间向量的基底可以为零向量吗？
基向量不能为零向量
2.空间向量的基底唯一吗？
任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底。
三、平面向量的坐标表示
y
正交单a位 xi +y j
基底
yj
a 我们把(x,y)叫做向量 a 的
j
(直角)坐标，记作
O
x
i xi
a (x, y)
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标， y叫做 a在y轴上的坐标， (x,y)叫做向量的坐标表示.
记作.P=(x,y,z)
e3
e1
O e2
y
x
三、空间向量的正交分解及其坐标表示
由空间向量基本定理，对
z
于空间任一向量 p 存在唯
一的 有序实数组 (x,y, z)使 p xi yj zk
记作 p =(x,y,z)
PP k
i Oj
y
空间向量 p
i, j, k 为基底
P′
一一对应
x 有序实数组 (x, y, z)
1 2 OA MN
23
O M
1
OA
2
ON
OM
2 3
A
Q
P
C
1
OA
2
ON
1
OA
2 3 2
1
OA
2
1
OB
OC
6 3 2
N B
1
OA
1
OB
1
OC
633
例题：
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分
别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向
量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.
课件1：1.3.2 空间向量运算的坐标表示
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a1＝λb1， 则 a∥b⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
规律方法 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算 的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2 等．
(2)设 Q(x，y，z)，则P→Q＝(x＋1，y－2，z＋3)，M→N＝(1,1,1)，
∴x＋x1＋＝1y2－＋2＝y－z＋232＋，z＋32＝3 12＋12＋12，
x＝－4，
解得y＝－1 z＝－6
x＝2，
，或y＝5， z＝0，
∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
类型二 空间向量的平行与垂直
(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B→1P＝P→D1，若 PQ⊥AE， B→D＝λD→Q，求 λ 的值．
(2)[解] 如图所示，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
空间向量的坐标表示
D1 A1
[思 考2]
若E、F均 为 各 自 棱 上 的 动 点 ，
( x2 , y2 , z2 ) ( x1 , y1 , z1 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
P 一个向量在直角坐标系中的坐
y
标等于表示这个向量的有向线 段的终点坐标减去起点的坐标 .
3、空间两点间的距离和夹角
1.两点之间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
(b1b2b3 0)
空间向量的坐标表示
A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
AB
( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
z
A
O
x
a
B AB OB OA
;
| a || b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
注意：
rr
rr
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向；
rr
rr
（2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
空间向量的坐标表示
e3 Oe 2
分别为x,y,z轴正方向上的单位向量，由空间向量 ( x, y, z) 基本定理，存在唯一的有序实数组
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ，
i、 k j、
A(x,y,z) y
e1
(1)设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
即对应坐标成比例.
4.判断下列各组中的两个向量是否共线.
9 (1)a (2,3, 4, ), b (3, , 6) 2 (2)a (2,0, 4,), b (4,1, 8) (3)a (2,0, 4,), b (4,0, 8)
5.已知m (8,3, a), n (2b, 6,5) ,若m n 则a=_____,b=______.
则:
2、空间向量的直角坐标运算律：
a (a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
1、空间向量的坐标表示：
使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，上式可简记作 p ( x, y, z) z
空间向量的表示与运算技巧
空间向量的表示与运算技巧空间向量在数学和物理学中扮演着重要的角色，它们被广泛地用于描述力、速度、加速度和位移等物理量。
在本文中，我将介绍空间向量的表示方法和一些常用的运算技巧。
一、空间向量的表示方法空间向量可以用多种方式表示，其中最常见的是使用坐标表示。
在笛卡尔坐标系中，一个空间向量可以由其在x、y和z轴上的分量表示。
例如，一个点P的坐标为(x, y, z)，其中x、y和z分别表示P在x、y和z轴上的分量。
这种表示方法简单直观，易于理解和计算。
除了坐标表示外，空间向量还可以使用矢量符号表示。
矢量符号通常在向量上方加一箭头，表示其方向和大小。
例如，一个向量a可以表示为a→。
这种表示方法更加简洁，能够清晰地表达向量的性质，但在计算时需要注意方向和大小的对应关系。
二、空间向量的运算技巧1. 向量相加空间向量的相加运算是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，分别表示为a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁,b₂, b₃)，它们的和向量c可以表示为 c = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)。
这个运算规则适用于三维空间中的所有向量。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是将一个向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。
假设有一个向量a和一个实数k，向量ka可以表示为 ka = (ka₁, ka₂, ka₃)。
这个运算技巧可以用来改变向量的大小或方向。
3. 向量的点积向量的点积（内积）是两个向量相乘后再求和的结果。
假设有两个向量a和b，它们的点积可以表示为 a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
点积运算的结果是一个标量，可以用来计算向量的夹角、判断两个向量是否垂直或平行等。
4. 向量的叉积向量的叉积（外积）是两个向量相乘后得到一个新的向量。
假设有两个向量a和b，它们的叉积可以表示为 a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)。
空间向量的坐标表示
空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示[本周重点]：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算，夹角公式，距离公式。
[本周难点]：向量坐标的确定以及夹角公式，距离公式的应用。
[知识要点]：一、空间直角坐标系中空间向量的直角坐标表示在空间直角坐标系O一xyz中,以为单位正交基底, 对空间任一点A,对应向量,存在唯一一组有序实数组x、y、z，使，则在空间直角坐标系中，点A的坐标为(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标；y叫做点A的纵坐标；z叫做点A的竖坐标. 向量的坐标为(x,y,z)。
（1）空间直角坐标系是在仿平面直角坐标系的基础上，选取空间任意一点O和一个单位正交基底（按右手系排列）建立的坐标系，做题选择坐标系时，应注意点O的任意性，原点O 的选择要便于解决问题，既有利于作图直观性，又要尽可能使各点的坐标为正。
（2）空间任一点P的坐标确定的办法如下：作P在XOY平面上的射影点，求出在XOY平面内的坐标（x，y，0），求出并确定符号即z，得坐标P（x，y，z）。
二、空间向量的直角坐标运算：设则(1) + =(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2) - =(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3) =a1b1+a2b2+a3b3.(4) // 或.(5) a1b1+a2b2+a3b3=0.(6)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则三、夹角和距离公式：1、向量与的夹角：设则.注意：（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中θ的范围是(2)用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意这些角度与θ的关系（相等，互余，互补）。
2、两点距离公式：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间两点，则两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。
3、平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在的直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作.如果,那么向量叫做平面α的法向量四、利用向量的坐标理论完成解题的程序：建立空间直角坐标系O-xyz，对空间图形中的向量进行量化处理，用坐标(x,y,z)进行表示.利用坐标运算与图形的数量关系、位置关系之间的对应，完成解题过程.重点例题讲解：例1．已知空间三点A（—2，0，2），B（—1，1，2），C（—3，0，4）。
空间向量的坐标表示
A B = ( a2 − a1 , b2 − b1 , c2 − c1 )
空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标. 空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.
例1、已知 a = (2, −3, 5), b = ( −3,1, − 4) 求 a + b, a − b, 8a
解:
a + b = (2, −3,5) + (−3,1, −4) = (−1, −2,1) a − b = (2, −3,5) − (−3,1, −4) = (5, −4,9) 8a = 8× (2, −3,5) = (16, −24, 40)
5.已知m = (8,3, a), n = (2b, −6,5) ,若m n 已知 若 则a=_____,b=______.
例题3: 例题 (1)已知 已知A(1,0,2),B(0,1,-2),C(0,0,3),若四边 若四边 已知 是平行四边形,求点 的坐标. 形ABCD是平行四边形 求点 的坐标 是平行四边形 求点D的坐标 (2)已知 已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3), 已知 D(10,14,17),试判断 试判断A,B,C,D四点是否共面 四点是否共面. 试判断 四点是否共面 已知A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10), 变:已知 已知 D(8,4,9),试证明 四边形 试证明:四边形 是梯形. 试证明 四边形ABCD是梯形 是梯形
空间向量的坐标表示
1、空间向量基本定理： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a、、不共面， 那么对空间任一 b c 不共面， 向量 p ， 存在唯一的有序实数组{x,y,z} {x,y,z}， 存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使得
p = x a + yb + z c
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
数学习作 空间向量的坐标表示法
空间矢量的坐标表示法一、中点公式坐标空间中，P （x 1 , y 1 , z 1），Q （x 2 , y 2 , z 2）两点连线段的中点M 的坐标为121212,,222x x y y z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＋。
二、距离公式坐标空间中，P （x 1 , y 1 , z 1），Q （x 2 , y 2 , z 2）两点的距离为PQ三、空间矢量的坐标表示法 1. 对于坐标空间中的任意一个矢量v v ，将始点放在原点，若其终点坐标为（a , b , c ），则 v v ＝（a , b , c ），称为v v 的坐标表示。
其中a 、b 、c 分别称为矢量v v 的x 分量、y 分量、z 分量。
2. 若A 、B 两点的坐标分别为A （x 1 , y 1 , z 1），B （x 2 , y 2 , z 2），则： AB uu u v ＝（x 2－x 1 , y 2－y 1 , z 2－z 1）。
四、空间矢量的加、减法与系数乘法 设a v ＝（x 1 , y 1 , z 1），b v ＝（x 2 , y 2 , z 2）为坐标空间中的两矢量，则： 1. a v ＋b v ＝（x 1＋x 2 , y 1＋y 2 , z 1＋z 2）。
2. a v －b v ＝（x 1－x 2 , y 1－y 2 , z 1－z 2）。
3. r a v ＝（rx 1 , ry 1 , rz 1），其中r 为实数。
五、分点公式设A （x 1 , y 1 , z 1），B （x 2 , y 2 , z 2）是坐标空间中的相异两点，若P 点在线段AB 上，且PA ：PB ＝m ：n ，则P 点坐标为121212,,nx mx ny my nz mz m nm n m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＋＋＋＋。
六、线性组合 1. 当O ，A ，B 三点不共线时，则对同平面上的任一点P ，OP uuv 都可写成OA uu v 和OB uuv 的线性 组合，而且表示法是唯一的，即存在唯一一组实数x ，y 使得OP uuv ＝x OA uu v ＋y OB uuv 。
空间向量的坐标表示
【微思考】 (1)当a≠0时,λ a是否可以为0?
(2)空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算有什么不同?
【微思考】 (1)当a≠0时,λ a是否可以为0? 提示:不可以.当λ=0时,λa=(0,0,0)=0,并不是0. (2)空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算有什么不同?
【微思考】 (1)当a≠0时,λ a是否可以为0? 提示:不可以.当λ=0时,λa=(0,0,0)=0,并不是0. (2)空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算有什么不同? 提示:空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算,算法是 相同的,但空间向量比平面向量多一竖坐标,竖坐标的处理方式 与横坐标、纵坐标是一样的.
§3.1.5 空间向量运算的坐标表示
主讲人：唐清华
1.空间向量的和、差、数乘、数量积的坐标运算公式是
问题 引航 什么? 2.利用向量坐标运算推导的空间两向量的平行、垂直的 关系式是什么?
空间向量运算的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)空间向量的坐标运算: 向量运算 加法 减法 数乘 数量积 向量表示 a+ b a- b λ a a· b 坐标表示 (a1+b1,a2+b2,a3+b3) __________________
a 1= λ b 1 ， __________ ①平行:a∥b(b≠0)⇔a=λ b⇔ a 2= λ b 2 ， __________ __________ a 3= λ b 3 ， 当b的坐标b1,b2,b3全不为0时,
a∥b⇔a1 ＝ a 2 ＝ a 3 ；
b1 b2 b3
(2)空间向量平行和垂直的条件:
a 1= λ b 1 ， __________ a 2= λ b 2 ， ①平行:a∥b(b≠0)⇔a=λ b⇔ __________ __________ a =λ b3 ， 3 当b的坐标b1,b2,b3全不为0时,
空间向量运算的坐标表示 课件
2．对空间两向量夹角与距离的四点说明： (1)范围：空间两条直线夹角的范围与向量夹角的范 围不同，当所求两向量夹角为钝角时，两直线夹角是与此 钝角互补的锐角． (2)夹角公式的一致性：无论在平面还是空间，两向
量的夹角余弦值都是 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|，只是坐标运算
时空间向量多了一个竖坐标． (3)长度公式的类似性：空间向量的长度公式与平面
向量的长度公式形式一致，坐标运算时空间向量多了一个 竖坐标．
(4)空间两点间的距离公式是长度公式的推广，首先根 据向量的减法推出向量A→B(空间任意两点)的坐标表示，然 后再用长度公式推出 A、B 两点间的距离．
3．a∥b(b≠0)⇔aaa123＝ ＝＝λλλbb12b， ，3，这一形式不能等价于ab11＝ab22
在解题过程中，把向量的坐标相等转化为方程组，注 意对应坐标相等，此步是解题的基本功，是考试中不能失 分的步骤．
归纳升华 1．解题时注意进行等价转化． 2．对于公式中的一些特殊情形要记清，不要漏掉， 如 a，b 夹角为 180°时． 3．注意解答题的规范性，不要漏掉必要的步骤，保 证解答的完整，不失分．
a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b12＋b22＋b23
.
温馨提示 1．空间向量坐标的本质：
a＝(x，y，z)的本质是 a＝xi＋yj＋zk，其中(i，j，k)
3．空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算 法则类似，可类比记忆．计算(2a)·(－b)，既可以利用运 算律把它化成－2(a·b)，也可先求出 2a，－b 后，再求数 量积．
空间向量的坐标表示
空间向量的坐标表示本次课课堂教学内容要点一、空间向量的基本定理1.空间向量的基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x、y、z，使p=x a+y b+z c．2.基底、基向量概念：由空间向量的基本定理知，若三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=x a+y b+z c，x、y、z∈R}，这个集合可看做是由向量a、b、c生成的，所以我们把{a、b、c}称为空间的一个基底．a、b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．要点诠释:1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；2.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；3.一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．要点二、空间向量的坐标表示1.单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，常用{,,}i j k 表示；2.空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；3.空间直角坐标系中的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a ，其坐标向量为i ，j ，k ，若a =a 1i+a 2j+a 3k ，则有序数组（a 1，a 2，a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a =（a 1，a 2，a 3）．在空间直角坐标系Oxyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若OA xi yj zk =++ ，则有序数组（x ，y ，z ）叫点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A （x ，y ，z ），其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫点A 的纵坐标，z 叫点A 的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．要点诠释：1.空间任一点P 的坐标的确定．过P 作面xOy 的垂线，垂足为P ＇，在面xOy 中，过P ＇分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、C ，则x=|P ＇C|，y=|AP ＇|，z=|PP ＇|．如图．2.空间相等向量的坐标是唯一的；另外，零向量记作0(0,0,0)= 。
空间向量运算的坐标表示数学选修
2)求点A到直线EF的距离。 D1
(用向量方法）
F A1
C1 B1
E
D A
C B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1B1C1, 底面ABC中，
CA＝CB＝1，BCA＝9 0o， 棱A A1＝2，M、
N分别为A1B1、AA1的中点，
C1
1)求BN的长；
A1
B1
M
2)求 cos BA1, CB1 的值； N
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)则 a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3) ; a b (a1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a3 / b3 .
三、应用举例
例1 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：A （1）线段 AB 的中点坐标和长度；
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则
M
B
OM
1 (OA OB) 2
1 2
(3 ,
3 ,1)
1, 0 ,
5
2
,
3 2
, 3 ,
O
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
,
3
.
dA,B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
DF1
0
0
1 4
1 4
11
15 16
,
D
O
A
x
C
空间向量及其运算的坐标表示(15张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
空间向量的数量积与坐标
空间向量的数量积与坐标1. 引言空间向量数量积是线性代数中的一个重要概念，它可以用来描述向量之间的夹角和长度关系。
在空间几何中，向量的坐标表示了向量在各个坐标轴上的投影，通过数量积可以得到向量的模长、夹角以及向量的正交性等重要信息。
2. 空间向量的坐标表示在三维空间中，一个向量可以由它在坐标轴上的投影表示。
假设有一个向量a，它可以表示为a = ai + bj + ck，其中i、j、k分别表示x、y、z轴的单位向量，而a、b、c则分别是a在x、y、z轴上的投影，也就是坐标。
3. 空间向量的数量积定义空间向量的数量积，也被称为点积或内积，定义如下：a ·b = |a||b|cosθ其中，a和b是向量，|a|和|b|分别是向量a和b的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
4. 空间向量的数量积计算空间向量的数量积计算可以利用坐标表示进行。
设向量a的坐标为(a1, a2, a3)，向量b的坐标为(b1, b2, b3)，则向量a与向量b的数量积可以计算为：a ·b = a1b1 + a2b2 + a3b35. 空间向量数量积的性质5.1 对称性：a · b = b · a5.2 分配律：(a + b) · c = a · c + b · c5.3 数乘结合律：(k · a) · b = k · (a · b)，其中k为实数5.4 零向量性质：a · 0 = 0，其中0表示零向量6. 空间向量数量积与夹角关系假设有向量a和向量b之间的夹角为θ，则根据数量积的定义可得：a ·b = |a||b|cosθ通过上述公式，可以推导出夹角θ的余弦值：cosθ = (a · b) / (|a||b|)由此可见，两个向量的数量积与它们夹角的余弦值有密切关系。
7. 空间向量数量积与正交性若两个向量的数量积为0，则它们称为正交向量或垂直向量。
空间向量运算的坐标表示精选全文完整版
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i , j, k } 以点O为原
点，分别以 i , j, k 的正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，
这样就建立了一个空间直角坐标系O —xyz . x 轴、y 轴、z 轴，都叫
做叫做坐标轴,点O 叫做原点，向量i , j, k都叫做坐标向量.通过
每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.
练习 3⑵.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，
O 是 B1D1 的中点，求证：B1C∥面 ODC1.
证明：设 OD OD1
C1B1 c
a，C1D1 1（b a） 2
b，C1C c ,则 c ,若存在实数 x,
B1C c y ,使得
a ，C1O B1C xOD
1（a b）, 2 yOC1成立，
Eb p A
对向量 p 进行分解,
作 AB // b, BD // a, BC // c
O
D c p OB BA OC OD OE
C
B
xa yb zc
a
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
间的一个基底.如： a, b, c 3
例1 课本94页例4
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则 对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、 y、z使OP xOA yOB zOC
22
学习小结:
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。
23
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1，
分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底
第一章 空间向量运算的坐标表示
问题 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公 式吗？
提示 如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， P—1→P2＝O→P2－O→P1＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是|P—1→P2|＝
—→ —→ P1P2·P1P2
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明 因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相
互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.
则 C(0,0,0)，A(
2， 2，0)，B(0， 2，0)，D(
2，0,0)，E(0,0,1)，F
22，
22，1.
所以C→F＝
x1－6＝3， 所以y1＋4＝－2，
z1－5＝5，
x1＝9， 解得y1＝－6，
z1＝10，
所以点C的坐标为(9，－6,10).
②求C→A·B→C； 解 因为C→A＝(－7,1，－7)，B→C＝(3，－2,5)， 所以C→A·B→C＝－21－2－35＝－58.
③若点 P 在 AC 上，且A→P＝12P→C，求点 P 的坐标.
且GH∥BD1，
所以m－－112＝－n1＝－112， 解得 m＝1，n＝12. 所以点 H 的坐标为1，12，0，
所以点H为线段AB的中点.
反思感悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直 的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的 充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐 标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
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三、空间向量运算的坐标表示
设 a(a1,a2,a3)b,(b1,b2,b3)则
ab(a1b1,a2b2,a3b3); ab(a1b1,a2b2,a3b3);
例2
如图，在正方体
A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
求 B E 1 与 D F 1 所成的角的余弦值。
z
D1 A1
D
O
A
x
F1
C1
E1 B1
C B
解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系 O xyz ，则
B(1,1,0) , E11,34,1,
y
D(0,0,0) , F10,14，1.
点O叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量.通 过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
二、空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系O – x y z 中，对空
间任一点A,对应一个向量 一的有序实数组 x, y, z,使
O
A
,于是存在唯
za
A(x,y,z)
O Axiyjzk
k i Oj
y
x
在单位正交基底 i , j , k中与向量 O A
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用来 i , j , k 表示
空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点， 分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、 y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了 一个空间直角坐标系O--xyz
B E 1 1,3 4,1 (1,1,0) 0,1 4,1 ,
例2
如图，在正方体
A B C DA 1B 1C 1D 1中，B1 E1
D1F1
A1B1 4
，求 B E 1 与 D F 1 所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
D F 1 0, 1 4， 1 (0,0,0 ) 0, 1 4， 1 .
a(a1,a2,a3)(R);
a•ba1b1a2b2a3b3;
a /b / a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R )
a b a1b 1a2a1b1a2b2 a3b3
a12 a22 a32 b12 b22 b32
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
A1
E1 B1
B1• ED1 F001 41 4111 16 5
D
O
C
y
|BE1|
147,|DF1|
17. 4
A
x
B
cosB1E ,D1F B1E•D1F B1ED1F
1/5161 171717
44
因此，BE1与DF1所成角的余弦值为
1 1
5 7
练习:在正方体
ABCD—A1B1 C1D1 中 E、F 分别是 BB1 、 CD 的中点 ， 求证： D1F 平面ADE
Z D1
A1
C1 B1
D
A X
E
F
C Y
B
七 、作业：
课本P107页习题3.1:7,8,9题
AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
x2x 12 y2y 12 z2z12
四、例题
例2 如图,在正方体ABCD-A 1B1C1D1
中,
B1E1=D1F1=
A1B1 4
,求BE1与DF1所
成角的余弦值.
D1
A1
F1
C1
E1 B1
D A
C B