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勒让德（legendre ）多项式及其性质
一． 勒让德多项式
勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：
2'''(1)2(1)0x y xy n n y --++= 其中n 为非负实数 （1.1）
它的幂级数解如下：
12y y y =+ （1.2）
其中：
224
1200
(1)(2)(1)(
3)
[1]2!4!
k
k k n n n n n n y a x a x x ∞
=+-+
+==-+
⋅⋅⋅∑
（1.3）
21
35
22110
(1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5!
k k k n n n n n n y a x
a x x x ∞
++=-+--++==-++⋅⋅⋅∑ （1.4）
由达朗贝尔判别法可知，当0n ≥不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内1y 和
2y 都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。

上面（1.3）和（1.4）幂级数当||1x <时级数收敛，此外级数是发散的。

并且，我们发现，当
n 取非负整数时，1y 和2y 中有一个便退化为n 次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有
界解。

此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数n a ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第
一类勒让德函数，记作()n P x ，下面我们来推导勒让德多项式()n
P x 的表达式。

① 当n 为正偶数时
1y 退化为n 次多项式。

为求得()n P x 的表达式，在1y 中我们通过n a 来表示其它各项的系数。

为此，将系数递推关系式改写成下列形式：
2(2)(1)()(1)
k k k k a a k n k n +++=-++ （1.5）
在（1.5）式中取2k
n =-，得：
2(1)
2(21)
n n n n a a n --=-
- （1.6）
习惯上取n a 为 2(2)2(!)n n
n a n = （1.7）
于是有：
2(1)2(21)(22)!2(21)2(1)!(1)(2!)n n n n n n n a n n n n n n ----=-
----
(22)!
2(1)!(2)!n
n n n -=--- （1.8）
在（1.5）式中取4k
n =-，并利用2n a -之值得：
4
2(2)(3)4(23)
n n n n a a n ----=--
2
(2)(3)(22)!
(1)
4(23)2(1)!(2)!
n n n n n n n ---=---- 2
(24)!
(1)2(2!)(2)!(4)!n
n n n -=--- （1.9）
一般地，我们有
()
()222!
12!()!(2)!m
n m n n m a m n m n m --=--- （0,1,,2
n
m =⋅⋅⋅⋅⋅⋅） （1.10）
我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的1y 记作()n P x ，可得：
2
20
(22)!
()(1)2!()!(2)!n
m
n m n n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.11）
这就是当n 为正偶数时勒让德多项式。

② 当n 为正奇数时
2y 退化为n 次多项式，我们把2y 记作()n P x ，同理可得：
1
2
20
(22)!
()(1)2!()!(2)!n m
n m n n m n m p x x m n m n m --=-=---∑ （1.12）
把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得
[]2
20
(22)!
()(1)2!()!(2)!n
m
n m n n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.13）
其中[]2n 表示2
n
的整数部分
由上述讨论可知，当n 为非负整数时，1y 和2y 中有一个是n 阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记作()n Q x ，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：
12()()n n y c P x c Q x =+ （1.14）
特别当0,1,2,3,4,5n =时，由（1.11）和（1.12）式得：
0()1P x = 1()P x x = 2
2
1()(31)2
P x x =- 331()(53)2P x x x =- 42
41()(35303)8
P x x x =-+ 5351()(637015)8P x x x x =-+
它们的图形如下：
二． 勒让德多项式的性质
首先介绍一下勒让德多项式的母函数： 试将函数
1
2
2
(,)(12)
x z xz z -∅=-+ （1.15）
展开成z 的幂级数
(,)n n n x z A z ∞
=∅=∑ （1.16）
可以证明(,)x z ∅级数展开式中n z 的系数恰好是勒让德多项式，最终得到
1
2
2
(,)(12)
()n n n x z xz z P x z ∞
-=∅=-+=∑ （1.17）
因此称(,)x z ∅为勒让德多项式的母函数。

1．()(1)()n
n n P x P x -=- （1.18）
将式（1.17）中的x 以x -代入，z 以z -代入，立即得到此结果。

此式说明()n P x 的奇偶性由n 而定，当n 为偶数时，()n P x 为偶函数，当n 为奇数时，()n P x 为奇函数。

2．(1)1,(1)(1)n
n n
P P =-=- （1.19） 将1x =代入式（1.17），得到
1
(1)(1)n n n z P z ∞
-=-=∑
而
1
(1)n n z z ∞
-=-=∑
所以
(1)1n P =
由上式和（1.18）立即得到
(1)(1)(1)n n n P P -=-
3．勒让德多项式的递推公式：
11(1)()(21)()()0n n n n P x n xP x nP x +-+-++= （1.20）
'''11()()2()()n n n n P x P x xP x P x +-=-+ （1.21）
''1()()(1)()n n n P x xP x n P x +=++ （1.22）
''1()()()n n n xP x P x nP x --= （1.23） ''11()()(21)()n n n P x P x n P x +--=+ （1.24）
现在我们来证明（1.20）及其它的导数公式，将母函数(,)x z ∅分别对,x z 微分，得到
32
22
(12)12z z xz z x xz z -∂∅∅=+-+=∂-+ 32
22()(12)12x z x z xz z z xz z
-∂∅-=--+=∂-+ 得到下列两个恒等式
2(12)
0xz z z x
∂∅
-+-∅=∂ （1.25） 2
(12)()0xz z z x z
∂∅
-++-∅=∂ （1.26）
又从式（1.25）和（1.26）得到
()0z
z x z x
∂∅∂∅
+-=∂∂ （1.27） 将（1.17）两端分别对,x z 微分，得到
'
()n n n P x z x ∞=∂∅=∂∑ （1.28）
11
()n n n nP x z z ∞
-=∂∅=∂∑ （1.29）
然后将它们带入（1.27），得到
'
'1
1
1
()[()()]n
n
n
n n n n xP x z nP x P x z ∞
∞
-===+∑∑
于是得到()n P x 与导数之间的关系式
''1()()()n n n xP x P x nP x --=
其它的导数公式这里不在一一证明。

将式（1.17）和（1.29）代入式（1.26）中，得到
1
10
[(1)()(21)()()]0
n n n n n P
x n xP x nP x ∞
+-=+-++=∑
上面级数的各项系数都等于零，因此，最终得到
11(1)()(21)()()0n n n n P x n xP x nP x +-+-++=
这就是递推公式，由0()P x ，1()P x 可以推出2()P x ，由1()P x ，2()P x 可以推出3()P x ，…..
4．勒让德多项式的正交性：
勒让德多项式在[-1,1]上正交，即
1
1
2
()()21
n m P x P x dx n -=
+⎰
当n m =时 （1.30） 1
1
()()0n m P x P x dx -=⎰
当n m ≠时 （1.31）
勒让德多项式正交性的证明比较繁琐，这里不再证明。