随机变量的数字特征试题答案
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征第3章随机变量的数字特征1，在下列句⼦中随机地取⼀单词，以X 表⽰取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .“They found Peking greatly changed ”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意⼀个。
它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为5/29)77654(51)(=++++=X E .2，在上述句⼦的29个字母中随机地取⼀个字母，以Y 表⽰取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。
解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。
这时，字母数更多的单词更有可能被取到。
分布律为29/175)147665544(291)(=?+?+?+?=Y E .3，在⼀批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。
解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221312110222==C C C p 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=?+?+?=E 。
4，抛⼀颗骰⼦，若得6点则可抛第⼆次，此时得分为6+（第⼆次所抛的点数），否则得分就是第⼀次所抛的点数，不能再抛。
求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。
解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，⽽且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第⼀次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分⼩于6。
分布律为得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=++++++++++=E 。
5，（1）已知)(~X λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。
（2）设随机变量X 的分布律为Λ,4,3,2,1,6}{22--===k k k X P π，问X 的数学期望是否存在？解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!6!5}5{65=====--X P e e X P λλλλ，因此计算得到6=λ，即)6(~X π。
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。
考研数学三(随机变量的数字特征)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学三（随机变量的数字特征）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若随机变量X与Y满足且D(X)=2，则cob(X，Y)=( )A．1．B．2．C．－1．D．-2．正确答案：C解析：由于注意到cov(X，X)=DX，cov(X，1)=0，从而知识模块：随机变量的数字特征2．设随机变量X和Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)，则E(UV)=( )A．EU·EVB．EX·EYC．EU·EY．D．EX·EV正确答案：B解析：【解法1】应选(B)．如果X>Y，则U=X，V=Y；如果X≤Y，则U=Y，V=X，从而E(UV)=E(XY)．由于X和Y相互独立，所以E(UV)=E(XY)=XE·EY 【解法2】所以知识模块：随机变量的数字特征3．设(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X－Y不相关的充分必要条件是( )A．E(X)=E(Y)．B．E(X2)－[E(X)]2=E(Y2)－[E(Y)]2．C．E(X2)=E(Y2)．D．E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2．正确答案：B解析：ξ=X+Y与η=X－Y不相关的充分必要条件是cov(ξ，η)=0，即cov(X+Y，X—Y)=cov(X，X)－cov(X、Y)+cov(Y，X)－cov(Y，Y)=DX—DY=0，从而DX=DY，又DX=E(X2)－(EX)2，DY=E(Y2)－(EY)2，从而应选(B)．知识模块：随机变量的数字特征填空题4．设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0．5，则根据切比雪夫不等式，有P{|X—Y|≥6}≤____________．正确答案：解析：由已知，E(X)=E(Y)=2，D(X)=1，D(Y)=4，ρXY=0．5，从而由切比雪夫不等式，知识模块：随机变量的数字特征5．在每次试验中，事件A发生的可能性是0．5，则1 000次独立试验中，事件A发生的次数在400次到600次之间的概率≥__________．正确答案：0．975．解析：设X表示事件A发生的次数，则X服从B(1 000，0．5)，E(X)=500，D(X)=250．P{400＜X＜600}=P{－100<X－500＜100} =P{|X－500|＜100}．由切比雪夫不等式，有[*] 知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第3章随机变量的数字特征课后习题答案(高教出版社浙江大学)
第3章 随机变量的数字特征1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。
它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为X4 5 6 7 k p1/5 1/5 1/5 2/55/29)77654(51)(=++++=X E .2，解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。
这时，字母数更多的单词更有可能被取到。
分布律为Y4 5 6 7 k p4/29 5/29 6/29 14/2929/175)147665544(291)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E .3，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221312110222==C C C p 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=⨯+⨯+⨯=E 。
4，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。
分布律为Y1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12k p61 61 61 61 61 361 361 361 361 361 361得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=++++++++++=E 。
5，解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!6!5}5{65=====--X P e e X P λλλλ，因此计算得到6=λ，即)6(~X π。
所以)(X E =6。
（2）根据题意，按照数学期望的公式可得21121221112ln 61)1(66)1(}{)1()(πππ=-=-==-=∑∑∑+∞=-+∞=-+∞=-k k k k k k k k k k X kP X E ， 因此期望存在。
（利用了11,1)1()1ln(0≤<-+-=+∑∞=x n x x n nn）（不符书上答案）6，解：（1）一天的平均耗水量为⎰⎰⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞-+∞-+∞∞--=+=-===03/03/03/203/2)(2320)(39)()(x x x x e xd dx xe e d x dx e x dx x xf X E 62003/=+=⎰+∞-dx e x （百万升）。
1381_高中数学： 随机变量的数字特征 第1课时 离散型随机变量的均值 课后习题(含答案
4.2.4随机变量的数字特征第一课时离散型随机变量的均值必备知识基础练1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P3*******则X的数学期望E(X)等于()A.32B.2C.52D.32.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,用X表示取到次品的个数,则E(X)等于()A.35B.815C.1415D.13.已知随机变量X的分布列是X4a910P0.30.1b0.2若E(X)=7.5,则a等于()A.5B.6C.7D.84.若随机变量X的分布列如下表,则E(X)等于()X012345P2x3x7x2x3x xA.118B.19C.209D.9205.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的数学期望E(X)等于()A.126125B.65C.168125D.756.若从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个数,则这两个数的乘积的数学期望是.7.甲、乙两人对同一目标各射击一次,甲命中的概率为23,乙命中的概率为45,且他们的结果互不影响,若命中目标的人数为ξ,则E(ξ)=.8.设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).若X的数学期望E(X)=3,则a+b=.9.在一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数字0,两个面上标以数字1,一个面上标以数字2,将这个小正方体抛掷2次,则向上一面上的数字之积X的均值是.关键能力提升练10.已知0<a<23,随机变量ξ的分布列如图,则当a增大时,ξ的期望E(ξ)变化情况是()ξ-101P13a bA.E(ξ)增大B.E(ξ)减小C.E(ξ)先增后减D.E(ξ)先减后增11.(2021四川模拟)“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称,又称“四子书”,在世界文化史、思想史上的地位极高,所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值.为弘扬中国优秀传统文化,某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动.某班有4位同学参赛,每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备,且各自选取的书均不相同.比赛时,若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读,则抽到自己准备的书的人数的均值为()A.12B.1C.32D.212.(多选题)某市有A ,B ,C ,D 四个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览A 的概率为23,游览B ,C 和D 的概率都是12,且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数,则下列选项正确的是()A.游客至多游览一个景点的概率为14B.P (X=2)=38C.P (X=4)=124D.E (X )=13613.随机变量X~B 10,12,变量Y=20+4X ,则E (Y )=.14.一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球,其中红球3个、黑球2个,现随机等可能取出小球.当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1,则E (ξ1)=;若第一次取出一个小球后,放入一个红球和一个黑球,再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为ξ2,则E (ξ2)=.15.某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是:前3天均为12,后2天均为34,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.(1)求未来5天至少一天停止课间操的概率;(2)求未来5天组织课间操的天数X 的分布列和数学期望.学科素养创新练16.在某次投篮测试中,有两种投篮方案:方案甲:先在A点投篮一次,以后都在B点投篮;方案乙:始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为34,命中一次记3分,没有命中得0分;在B点命中的概率为45,命中一次记2分,没有命中得0分,用随机变量ξ表示该选手一次投篮测试的累计得分,如果ξ的值不低于3分,则认为其通过测试并停止投篮,否则继续投篮,但一次测试最多投篮3次.(1)若该选手选择方案甲,求测试结束后所得分ξ的分布列和数学期望;(2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大?请说明理由.参考答案4.2.4随机变量的数字特征第一课时离散型随机变量的均值1.A E(X)=1×35+2×310+3×110=1510=32.2.A X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C72C102=715,P(X=1)=C71C31C102=715,P(X=2)=C32C102=115,所以E(X)=1×715+2×115=35.3.C因为E(X)=4×0.3+0.1a+9b+2=7.5,又0.3+0.1+b+0.2=1,所以a=7,b=0.4.4.C由题意,得2x+3x+7x+2x+3x+x=1,解得x=118,所以,E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40×118=209.5.B根据题意可知X的可能取值为0,1,2,3,且P(X=0)=27125,P(X=1)=54125,P(X=2)=36125,P(X=3)=8125,所以E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65.6.8.5从1,2,3,4,5中任取不同的两个数,其乘积X的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,取每个值的概率都是110,所以E(X)=110×(2+3+4+5+6+8+10+12+15+20)=8.5.7.2215ξ的可能取值为0,1,2,则P(ξ=0)=13×15=115,P(ξ=1)=23×15+13×45=25,P(ξ=2)=23×45=815,所以E(ξ)=0×115+1×25+2×815=2215.8.110由题意可得随机变量X的分布列为X1234Pa+b2a+b3a+b4a+b由分布列的性质得(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1.又E(X)=3,所以1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3.联立以上两式解得a=110,b=0.所以a+b=110.9.49P(X=0)=3×3+2×3×2+1×3×236=2736,P(X=1)=2×236=19,P(X=2)=2×236=19,P(X=4)=136,X的分布列为X0124P27361919136所以E(X)=0×2736+1×19+2×19+4×136=49.10.B()=-13+,++=1,即E(ξ)=-13+23-a=13-a,所以当a增大时,ξ的期望E(ξ)减小,故选B.11.B 记抽到自己准备的书的学生数为X ,则X 的可能取值为0,1,2,4,P (X=0)=C 31×3A 44=924,P (X=1)=C 41×2A 44=824,P (X=2)=C 42×1A 44=624,P (X=4)=1A 44=124,所以E (X )=0×924+1×824+2×624+4×124=1.故选B .12.ABD 记该游客游览i 个景点为事件A i ,i=0,1,则P (A 0)=1-231-121-121-12=124,P (A 1)=23×1-123+1-23C 31×12×1-122=524,所以游客至多游览一个景点的概率为P (A 0)+P (A 1)=124+524=14,故A 正确;随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,P (X=0)=P (A 0)=124,P (X=1)=P (A 1)=524,P (X=2)=23×C 31×12×1-122+1-23×C 32×122×1-12=38,故B 正确;P (X=3)=23×C 32×122×1-12+1-23×C 33×123=724,P (X=4)=23×123=112,故C 错误;数学期望为E (X )=0×124+1×524+2×924+3×724+4×224=136,故D 正确.故选ABD .13.40因为X~B 10,12,所以E (X )=10×12=5,因为Y=20+4X ,所以E (Y )=20+4E (X )=20+20=40.14.6576ξ1可取值为0,1,2,P (ξ1=0)=C 21C 21C 51C51=425,P (ξ1=1)=C 31C 21+C 21C 31C 51C 51=1225,P (ξ1=2)=C 31C 31C 51C51=925,所以E (ξ1)=1×1225+2×925=65.ξ2可取值为0,1,2,P (ξ2=0)=C 21C 21C 51C 61=430,P (ξ2=1)=C 31C 31+C 21C 41C 51C 61=1730,P (ξ2=2)=C 31C 31C 51C 61=930,所以E (ξ2)=1×1730+2×930=76.15.解(1)由题意,可知未来5天每天都组织课间操的概率为P 1=123142=1128,所以未来5天至少一天停止课间操的概率:P=1-P 1=1-1128=127128.(2)未来5天组织课间操的天数X 的可能取值为0,1,2,3,4,5,P (X=0)=123342=9128,P (X=1)=123C 213414+C 3112122×342=33128,P (X=2)=C 3212212342+C 3112×122·C 213414+123142=46128,P (X=3)=C 3112122142+C 3212212×C 211434+123342=30128,P (X=4)=C 3212212142+123×C 211434=9128,P (X=5)=123142=1128,所以X 的分布列为X 012345P912833128461283012891281128数学期望E (X )=0×9128+1×33128+2×46128+3×30128+4×9128+5×1128=2.16.解(1)在A 点投篮命中记作A ,不中记作;在B 点投篮命中记作B ,不中记作,其中P(A)=34,P()=1-34=14,P(B)=45,P()=1-45=15,ξ的所有可能取值为0,2,3,4,则P(ξ=0)=P()=P()P()P()=14×15×15=1100,P(ξ=2)=P()+P(B)=2×14×15×45=225,P(ξ=3)=P(A)=34,P(ξ=4)=P(BB)=P()P(B)P(B)=14×45×45=425.ξ的分布列为P(ξ=0)=1100,P(ξ=2)=225,P(ξ=3)=34,P(ξ=4)=425.所以E(ξ)=0×1100+2×225+3×34+4×425=305100=3.05,所以ξ的数学期望为3.05.=P(ξ≥3)=34+425=91100=0.91,(2)选手选择方案甲通过测试的概率为P1=P(ξ≥3)=2×15×45×45+45×45=112125=0.896,因为P1>P2,所以该选手选择方案乙通过测试的概率为P2选手应选择方案甲通过测试的概率更大.。
第四章 随机变量的数字特征课后习题参考答案
第四章 随机变量的数字特征1． 解：令A 表示一次检验就去调整设备的事件，设其概率为p ，T 表示每次检验发现的次品个数，易知(10,0.1)T B ~，且(4,)X B p ~。
得，00101191010(){1}1{1}1(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.2639p P A P T P T C C ==>=-≤=--=。
因为(4,)X B p ~，得()4 1.0556E X p =⨯=。
2． 解：1500300022201500()()(3000)5001000150015001500x xE X xf x dx dx x dx +∞-∞-==+-=+=⎰⎰⎰。
3． 解：1()(2)0.400.320.30.2kk i E X xp ∞===-⨯+⨯+⨯=-∑；221(35)(35)170.450.3170.313.4k k i E X x p ∞=+=+=⨯+⨯+⨯=∑22(35)3()513.4E X E X +=+=。
4．解：（1）0()(2)2()2()22(|)2xx x E Y E X E X xf x dx x edx xe e dx +∞+∞+∞--+∞--∞==== =-+=⎰⎰⎰.（2）2233001133()()()|Xxx x E Y E eef x dx e dx e +∞+∞----+∞-∞=== =-=⎰⎰.5．解：（1）333111()10.420.230.42i i i ij i i j E X x px p •======⨯+⨯+⨯=∑∑∑.333111()10.300.410.30j j j ij j j i E Y y p y p •======-⨯+⨯+⨯=∑∑∑.（２）7111()10.2(0.50.1)...0.50.10.1315i i i E Z z p ===-⨯+-⨯++⨯+⨯=-∑。
221()40.400.340.3 2.8k k i E X x p ∞===⨯+⨯+⨯=∑（3）51()40.390.4160.010.200.15i i i E Z z p ===⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑。
考研数学一(随机变量的数字特征)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X服从参数为1的指数分布。
记Y=max{X，1}，则E(Y)=( ) A．1B．1+e—1C．1—e—1D．e—1正确答案：B解析：随机变量X的密度函数为f(x)=E(Y)=E[max{X，1}]=∫—∞+∞max{x，1}.f(x)dx=∫0+∞max{x，1}.e—xdx=∫01e—xdx+∫1+∞xe—xdx=1+e—1，故选B。
知识模块：随机变量的数字特征2．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且E[(X—1)(X—2)]=1，则λ=( )A． B． C． D． 正确答案：A解析：因X服从参数为λ的泊松分布，故E(X)=λ，D(X)=λ。
则E[(X—1)(X —2)]=E(X2—3X+2)=E(X2)—3E(X)+2，其中E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2，代入得λ2—2λ+1=0，故λ=1，故选A。
知识模块：随机变量的数字特征3．已知随机变量X与Y的相关系数大于零，则( )A．D(X+Y)≥D(X)+D(Y)。
B．D(X+Y)＜D(X)+D(Y)。
C．D(X—Y)≥D(X)+D(Y)。
D．D(X—Y)＜D(X)+D(Y)。
正确答案：D解析：根据公式D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X，Y)确定正确选项。
由于X 与Y的相关系数ρ=，故ρ＞0Cov(X，Y)＞0所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)＞D(X)+D(Y)。
D(X—Y)=D(X)+D(Y)—2Cov(X，Y)＜D(X)+D(Y)。
故选D。
知识模块：随机变量的数字特征4．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且其方差σ2＞0，令Y=则( )A．Cov(X1，Y)=B．Cov(X1，Y)=σ2C．D(X1+Y)=σ2D．D(X1—Y)=σ2正确答案：A解析：因为Cov(X1，Y)=。
概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征习题解答
习题4-11、设随机变量X 服从参数为p 的01-分布，求()E X 。
解：据题意知，X 的分布律为根据期望的定义，得()0(1)1E X p p p =⋅-+⋅=。
2、袋中有n 张卡片，记有号码1,2,,n 。
现从中有放回地抽出k 张卡片，求号码之和X 的数学期望。
解：设i X 表示第i 次取到的卡片的号码（1,2,,i k =），则12k X X X X =+++。
因为是有放回地抽出卡片，所以i X 之间相互独立。
所以第i 次抽到号码为m 的卡片的概率为1{},(1,2,,;1,2,,)i P X m m n i k n====，即i X 的分布律为1{},(1,2,,)i P X m m n n===， 所以11()(12)2i n E X n n+=+++=， 所以，1(1)()()2k k n E X E X X +=++=。
注：求复杂随机变量期望时可先引入若干个简单的随机变量，再根据期望的性质即可。
3、某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。
每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。
（设诸产品是否是次品是相互独立的。
）解：令Y 表示一次抽检的10件产品的次品数，据题意知，~(10,0.1)Y b ，00101191010{1}1{0}{1}10.10.90.10.90.2639p P Y P Y P Y C C =>=-=-==--=，因此，~(4,0.2639)X b ，从而()40.2639 1.0556E X np ==⋅=。
注：此题必须先求出一天中调整设备的概率。
即p 值。
4、据统计，一位60岁的健康（一般体检未发生病症）者，在5年内仍然活着或自杀身亡的概率为p （01p <<，p 为已知），在五年内非自杀身亡的概率为1p -。
保险公司开办5年人寿保险，条件是参保者需缴纳人寿保费a 元（a 已知），若5年内非自杀死亡，保险公司赔偿b 元（b a >）。
概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征 练习题与答案详解
概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征练习题与答案详解（答案在最后）1.假定每个人生日在各个月份的机会是相同的，求三个人中生日在第一季度的人数的平均．2.100个产品中有5个次品，任取10个，求次品个数的数学期望与方差．3.设随机变量X 的概率密度为)(,e 21)(∞<<-∞=-x x p x试求数学期望EX 及方差DX .4.已知随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<≤=，，，，，，4140400)(x x x x x F 试求X 的数学期望EX 方差DX .5.对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在[]b a ,内，求圆面积的数学期望．6.设随机变量X 概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，，，020cos )(πx x x f X试求随机变量DY X Y 的方差2=.7.设随机变量ξ只取非负整数值，其概率为{}0)1(1>+==+a a a k P k k，ξ是常数， 试求ξE 及ξD .8.设独立试验序列中，首次成功所需要的次数ξ服从的分布列为：其中q =9.若事件A 在第i 次试验中出现的概率为，i p 设μ是事件A 在起初n 次独立试验中的出现次数，试求μE 及μD .10.随机变量n ξξξ,,,21 独立，并服从同一分布，数学期望为,μ方差为2σ，求这些随机变量的算术平均值∑==ni i n 11ξξ的数学期望与方差．11.设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中,)(p A P =再设随机变量η视μ取偶数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD .12.设随机变数ξ之概率分布如下：求: (1) ； ]]1[2[2+ξE (2) ])[(2ξξE E -.13.随机变量，)(~x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤=其它，，，，，，021210)(x x x x x f试计算n EX n (为正整数)．14.随机变量aX Y p n B X e ),,(~=，求随机变量Y 的期望和方差. 15.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有8.0个疵点．规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1不多于4为二等品，价值为8元，4个以上者为废品，求：)1( 产品的废品率；)2( 产品的平均价值．16.一个靶面由五个同心圆组成，半径分别为25,20,15,10,5厘米，假定射击时弹着点的位置为Z Y Z ，),(为弹着点到靶心的距离，且),(Y Z 服从二维正态分布，其密度为200222001),(y x ey x f +-=π，现规定弹着点落入最小的圆域为5分，落入其他各圆域（从小到大）的得分依次为4分，3分，2分，1分，求：)1( 一次射击的平均得分；)2( 弹着点到靶心的平均距离．17.若ξ的密度函数是偶函数，且∞<2ξE ，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立．18.若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立．答案详解1．每个生日在第一季度的概率是41=p ．设X 表示三个人中生日在第一季度的人数，则X 服从二项分布，，⎪⎭⎫⎝⎛B 413从而X 的平均为43413)(=⨯=X E2．5.0=EX ，11045=DX3．x -e 21为偶函数，⋅x x-e 21为奇函数，所以，由积分性质知0d e 21=⋅=-∞∞-⎰x x EX x（奇函数在对称区间上的积分值为零）=DX x x P X E x X d )()]([2⎰∞∞--=⨯=-∞∞-⎰x x xd e 212x x x d e 02-∞⎰)(d )(202x x x x --∞-=-=⎰ x x x d e 200⎰∞-+∞2d e 20==⎰∞-x x x 4．342==DX EX ，5．设圆的直径为随机变量X ，圆的面积为随机变量，Y 则24)(X X f Y π==，随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它，，，，01)(b x a ab x p X ， 于是)(12112 d 14d )()())(()(2232b ab a a b x ab x ab x x x p x f X f E Y E b aX ++=⋅-⋅=-⋅===⎰⎰∞∞-πππ6．2220π-=DY7．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+⋅=∑∑∞=∞=+101)1(11)1(k k k k k a a k a a a k E ξ， 令，且，则10)1(<<=+p p a a ，211)1()1()(p p p p p p p kp k k kk -='-='=∑∑∞=∞= 故a aa a aaE =+-+⋅+=2)11(111ξ．采用同样的方法并利用a E =ξ得⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∞=k k a a k a E )1(11122ξ[]k k p k k a ∑∞=+-+=11)1(11 ∑∑∞=∞=-+++=11)1(1111k k k k p k k a kp a ，2322122)1(21)1(1)(1a a p a p a p p a p a p a p a k k +=-⋅++="⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=''++=∑∞=故)1()2()(2222a a a a a D +=-+=E -E =ξξξ 8．21pqD pE ==ξξ，9．设,21n μμμμ+++= 其中⎩⎨⎧=出现次试验若第出现次试验若第A i A i i ,0,1μ，则∑∑===E =ni i ni i p E 11μμ，由试验独立得诸i μ相互独立，从而知=μD )1(11i ni i ni i p p D -=∑∑==μ10．nD E 2,σξμξ== 11．事件A 出现奇数次的概率记为b ，出现偶数次的概率记为a ，则．，++=++=---3331122200n n n n n n n n q p C pq C b q p C q p C a 利用，，n n p q b a q p b a )(1)(-=-=+=+可解得事件A 出现奇数次的概率为 n n p p q b )21(2121])(1[21--=--=，顺便得到，事件A 出现偶数次的概率为n p a )21(2121-+=．η服从两点分布，由此得，{}{}===出现奇数次事件A P P 1ηn p )21(2121--， {}{}===出现偶数次事件A P P 0ηn p )21(2121-+， 所以，=ηE n p )21(2121--，=ηD ][)21(2121[n p --])21(2121n p -+n p 2)21(4141--=．12．(1) 117； (2) 46513．x x f x EX n n d )(⎰∞∞-=x x x x x x n n d )2(d 2110-⋅+⋅=⎰⎰12)212(012212+-+⋅++=+++n x n x n x n n n)21122212(2122+++-+-+++=++n n n n n n n )2)(1(222++-=+n n n 14．n a n a n a p q p q DY p q EY 22)e ()e ()e (+-+=+=， 15．(1) 0.0014； (2) 9.616．(1) 007.3； (2) π2517．设)(x f 是ξ的密度函数，则)()(x f x f =-，由)(x xf 是奇函数可得，0=ξE 从而0=ξξE E ．又由于)(x f x x 是奇函数及,2∞<ξE 得ξξξξE E x x f x x E ===⎰∞∞-0d )(，故ξ与ξ不相关．由于ξ的密度函数是偶函数，故可选0>c 使得当{}10<<P <c ξ时，也有{}10<<P <c ξ，从而可得 {}{}{}{}c c P c P c P c P <<=<≠<<ξξξξξ,，其中等式成立是由于{}{}c c <⊂<ξξ，由此得不独立与ξξ．18．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2,1, , 1q p d c p b a q ：，：ηξ．作两个随机变量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=**2211,0, ,0, q p d c d q p b a b ：，：ηηξξ， 由ξ与η不相关即ηξξηE E E ⋅=得)(bd d b E E +--=**ξηξηηξbd dE bE E E +--=ξηηξ**=--=ηξηξE E d E b E ))((，而，，，}{)(}{)(} {))((d c P d c b a P b a E E d c b a P d c b a E -=-⋅-=-=-=-=--=********ηξηξηξηξ由上两式值相等，再由0))((≠--d c b a 得，，}{}{}{d c P b a P d c b a P -=-==-=-=****ηξηξ 即}{}{}{c P a P c a P =⋅====ηξηξ，． 同理可证}{}{}{d P a P d a P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{c P b P c b P =⋅====ηξηξ，， }{}{}{d P b P d b P =⋅====ηξηξ，，从而ξ与η独立．。
第3章随机变量的数字特征_答案_
第3章随机变量的数字特征_答案_第3章随机变量的数字特征⼀.填空题1.(90-1-2)已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布22{},0,1,2...!k P X k e k k ?===则随机变量32Z X =?的数学期望E (Z)= (4)解: ()()()()~(2), 2,32323224X P E X E Z E X E X ==?=?=×?=2.设随机变量X 的密度函数为+=0)(B Ax x f 则且其它,127)(,10=≤≤X E x A =_____,B =______. (1,1/2)解:1()112f x dx A B +∞∞=?+=∫, 7117()123212EX xf x dx A B +∞∞==?+=∫, 11,2A B ∴==3. (92-1-3)已知随机变量X 服从参数为1的指数分布, 则数学期望()2XE X e+= (4/3)解:()()()()222300, 011~(1), 1, , 330, 0x X x x x x e x X E E X f x E e e f x dx e e dx e x ?+∞+∞+∞∞?>=====?=?≤?∫∫ ()211/34/3X E X e ?+=+=4.(95-1-3)设X 表⽰10次独⽴重复射击命中⽬标的次数，每次射中⽬标的概率为0.4，则2x 的数学期望()2E X= (18.4)解:()()()()()()222~(10,0.4),100.44,(1)100.410.4 2.4, 2.4418.4X B E X D X np p E X D X E X =×==?=×?==+=+=5. (99-4-3)设~(),X P λ已知[(1)(2)]1E X X ??=,则λ= (1) 解:()()()()()222~(),,,X P E X D X E XD XE X λλλλλ===+=+,222[(1)(2)][132)]()3()2211E X X E X X E X E X λλλ??=?+=+=?+=?=?6. (95-4-3)设X 是随机变量，其概率密度为1,10()1, 010,x x f x x x +?≤≤??=?<≤,则⽅差DX 为 (1/6)解:()()00110123231100101111(1)(1)02323E X xf x dx x x dx x x dx x x x x +∞∞?==?++??=++?=∫∫∫()()0011012222343411001011111(1)(1)34346E X x f x dx x x dx x x dx x x x x +∞∞?==?++??=++?=∫∫∫()()()221/601/6D X E X E X =?=?=7.(90-4-3)设随机变量X 和Y 独⽴,~(3,1),~(2,1)X N Y N ?,则27, Z ~Z X Y =?+ (0,5)N 解:()()2()732270,()()4()145~(0,5)E Z E X E Y D Z D X D Y Z N =?+=??×+==+=+=∴8.设两个相互独⽴的随机变量X 和Ｙ均服从(1,1/5)N ,若随机变量X aY ?满⾜条件2()[()]D X aY E X aY ?=?，则a = . (1) 解:()0,()()01101E X aY E X aE Y a a ??=??==?=9.(03-3-4) 随机变量 X 与Y 的相关系数为0.9,若0.4Z X =?则Y 与Z 的相关系数为 (0.9) 解:()()0.4,,cov(,)cov(,0.4)cov()cov(),Z X D Z D X Y Z Y X Y X X Y =?==?==,,0.9YZ ρ===10.(03-4-4)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，2202EX EY EX EY ====，，试求2E X Y +（）= (6) 解: 2202EX EY EX EY ====∵，，()()()222,D X E X E X ∴=?= ()()()222D Y E Y E Y =?=0.5,0 ()0.51XY XY EX EY E XY ρρ====?===222222)2()()2226E X Y E X XY Y E X E XY E Y +=++=++=++=（）（）（⼆.选择题1.(91-3-3)若随机变量X 与Y 的协⽅差()()()E XY E X E Y =，则下列结论必正确的是( ). 解B (A ) ()()()D XY D X D Y =; (B ) ()D X Y DX DY +=+; (C ) X 与Y 独⽴; (D ) X 与Y 不独⽴2.若随机变量X 与Y 的协⽅差(,)0Cov x y =，则下列结论必正确的是( ). 解C (A ) X 与Y 独⽴; (B )()()()D XY D X D Y =; (C )()D X Y DX DY +=+; (D )()D X Y DX DY ?=?.3.(90-4-3)已知()()~(,), 2.4, 1.44X B n p E X D X ==则,n p 的值( ). 解B (A )4,0.6n p ==; (B ) 6,0.4n p ==; (C ) 8,0.3n p ==; (D ) 24,0.1n p ==. 解:()()1.44, 2.4,1 1.44/2.40.60.4,6D X npq E X np q p p n =====?==?==4.(97-1-3)设两个相互独⽴的随机变量X 和Y 的⽅差为4和2,则随机变量32X Y ?的⽅差是( ) 解D (A) 8; (B)16; (C)28; (D)44 分析: ()329()4()944244D X Y D X D Y ?=+=×+×=5.(95-3-3)设随机变量X,Y 独⽴同分布,记,U X Y V X Y =?=+,则U 和V 必然( ) 解D (A )独⽴; (B)不独⽴; (C ) 相关系数不为0; (D )相关系数为0. 分析: X,Y 独⽴同分布,()(),D X D Y =cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)()()00U V X Y X Y X X X Y Y X Y Y D X D Y ρ=?+=+??=?=?=6.(08-1,3,4-4) (0,1),(1,4),1XY X N Y N ρ=～～，则（）. 解D (A)(21)1P Y X =??=. (B)(21)1P Y X =?=. (C)(21)1P Y X =?+=.(D)(21)1P Y X =+=. 分析:,1,0XY Y aX b a ρ=+=∴>,排除A,C,()0,()1,()101E X E Y EY aE X b a b b ===+?=?+?=∵,选D三.计算题 1. 设随机变量X 的分布函数()0, 10.2, 100.5, 011, 1x x F x x x，求EX ，DX （0.3，0.61）解：分析，由()F x 是离散型的分布函数，先求分布律（直接计算分段点的跳跃度（值差）即可）()10.210.50.3EX =?×+×=，()22210.210.50.7EX =?×+×=，2220.70.30.61DX EX E X =?=?=2. 若已知是分布函数()0, 10, 011, 1x F x x x x ?≤=≤，求EX ，DX （1/2，1/12）(思考：如何判别分布函数()F x 是离散型还是连续型？)解：分析，由()F x 是连续型的分布函数，先求导数，()1, 01'()0, x F x f x ≤其他，1120 011122EX x dx x =?==∫， 112230 011133EX x dx x =?==∫，2221113212DX EX E X ??=?=?=3.(89-4-3)设随机变量2123~(0,6),~(0,2),~(3)X U X N X P 相互独⽴，令32132X X X X +?=,求EX ,DX (12, 46) 解:12306 ()()2()3()2033122E X E X E X E X +=?+=×+×= 22123(60)()()4()9()42934612D X D X D X D X ?=++=+×+×=4、设[]~2,6X U ，对X 进⾏20次独⽴观测，Y 表⽰20次观测值中事件{}5X >发⽣的次数，求()2 YE （115/4）.解：[]~2,6X U ，()1, [2,6]40, x f x ?∈?=其他，{} 6 511544P X dx >==∫.，据题意 (,)Y B n p ～，120,4n p == 1315205,5444EY np DY npq ==×===×=，()222153528E Y DY E Y =+=+= 5.(02-4-3) 已知随机向量(X ,Y )的联合分布律为,求,,(,),EX DX Cov X Y xy ρ (0.6,0.24,0,0)X -1 0 11/3 0.2 0.3 0.5解:0.6,EX =20.6,EX =220.60.360.24DX EX E X =?=?=,()10.1510.350.2EY =?×+×=(1,1)(1,1)()0.080.20.12E XY xy xy ?=×+×=, (,)0,0xy Cov X Y ρ=∴= 6、已知随机变量),(Y X 服从区域()}{,01,D x y x x y x =<解：依题意，()11, (,),0, x y Df x y d ?=∈?=其他（注意，函数区间利⽤⼆重积分计算）2222(,((,EX xf x EX x f DX EX E X EY yf x y +∞+∞∞∞+∞+∞∞∞+∞∞===?==∫∫∫∫∫()(,EXY xyf Cov X Y EXY +∞+∞∞∞==?∫∫∫7. (05-1,3,4-9)设⼆维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()1,01,02,0,x y xf x y <<<其他 1)求边缘概率密度()X f x ,()Y f y . 2)判断X,Y 的独⽴性(补). 3)判断X,Y 的相关性(补解: 1) 01 x <<，()()20,12xX f x f x y dy dy x +∞∞===∫∫2, 01()0, X x x f x <02y <<,()()1/2,112Y y y f y f x y dx dx +∞∞===?∫∫,1, 02()20, Y yy f y ??<2) 显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠?,X Y ∴，不独⽴.3) 121122002()(,)23E X xf x y dxdy xdxdy x y dx x dx +∞+∞∞∞=====∫∫∫∫∫∫, 1211222000012()(,)223xx E Y yf x y dxdy ydxdy y dx x dx +∞+∞∞∞=====∫∫∫∫∫∫1211223000011()(,)222xx E XY xyf x y dxdy xydxdy x y dx x dx +∞+∞∞∞=====∫∫∫∫∫∫显然(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =?≠∴Y X ,相关.8. (07-1,3,4-11)设⼆维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()2,01,01,0,x y x y f x y ??<<<其他1) 求{2}P X Y >, 2)判断X,Y 的独⽴性(补), 3)判断X,Y 的相关性(补) (7/24, 不独⽴.相关) 解1) ()1/220001{2}2(2)2x x P X Y x y dxdy y xy y dx >==∫∫∫1205157()822424x x dx =?=?=∫ 2)112001301()(,)(2)(2)22X x f x f x y dy x y dy y xy y x +∞∞≤≤==??=??=?∫∫，,3/2, 01()0, X x x f x ?≤≤?∴=??其他112001301,()(,)(2)(2)22Y y f y f x y dx x y dx x x xy y +∞∞≤≤==??=??=?∫∫3/2, 01()Y y y f y ?≤≤?∴=?显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠?, X Y ∴，不独⽴3)1123003315()()()()24312X E X xf x dx x x dx x x +∞?∞==?=?=∫∫,1123003315()()()()24312Y E Y yf y dy y y dy y y +∞?∞==?=?=∫∫11111222320000011211()(,)(2)()()23326E XY xyf x y dxdy xy x y dxdy xy x y xy dx x x dx +∞+∞∞∞==??=??=?=∫∫∫∫∫∫ (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =?≠X Y ∴，相关. 9.(94-1-6)设22~(1,3),~(0,4),X N Y N 且1,2XY ρ=?设32X YZ =+，1)求(),().E Z D Z 2)求XZ ρ,3)问X,Z 是否相互独⽴?为什么? (1/3, 0, 独⽴) 解:1) 22~(1,3),~(0,4),X N Y N 1,2XY ρ=?32X Y Z =+111()()()323E Z E X E Y ?=+= 1(,)3462Cov X Y ρ==?××=?,111111()(,)916(6)3943943D Z DX DY Cov X Y ∴=++=×+×+?=2)111111(,)(,)(,)()(,)9(6)032323232X Y Cov X Cov X X Cov X Y D X Cov X Y +=+=+=?+?=cov ,0XZ X Z ρ∴==3) X,Z 相互独⽴0XZ ρ?=(⼆维正态独⽴的充要条件)10.飞机场送客汽车载有20位乘客，离开机场后共有10个车站可以下车，若某个车站⽆⼈下车则该车站不停车。
【高等数学】概率论与数理统计-随机变量的数字特征专项试卷及答案解析
CA)P{Y=-2X-1} = 1.
+ (C)P{Y =-ZX 1} = 1.
(B)P{Y = 2X-1} = 1. (D)P{Y = 2X+l} = 1.
(5）将长度为lm的木棒随机地截成两段，则两；段长度的相关系数为
CA)l.
ω÷
(C） 一 ÷
CD) -1.
ω 已知随机变量 X,Y 均服从分布BCl,f），且仰 ＝ ÷，则P{X+Y ζl｝等于
P(B) + P(AB)
= 4P(AB) -2P(A) -2P(B）十1.
因此 E(XY) - EXEY = 4P(AB) -2P(A) - 2PCB) + 1 一 ［2P(A) -1][2PCB) - l]
= 4P(AB) - 4P(A)P(B),
所以X与Y不相关等价子 P(AB) = P(A)P(B） ，即 A,B 相互独立．
专 =1-d＝
（旧，Y均服从B(2，÷）分布
Cov(X,Y) E(XY)-EX • EY
ρXl' = ft5X" ./f5V =
� ./f5V
。XY
1
试验只重复2次， XY 的分布为 p
7 9
2 9
f f EX= EY= ,DX=DY= t,E(XY)= ,1.!iJ.pxy ＝ 一 ÷
【 i平注】 本题也可用对称性求解：
I I (3)£Y =
E[max(I
X
1,1)]
=
J IXl>l
Ix I
f(x)dx+ J
1
IXI运l
•
f(x)dx
＞. 士 = 2f
dx+
[1 1
考研数学一(随机变量的数字特征)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若离散型随机变量X的概率分布为P{X=(一1)n2n}=，n=1，2，…，则E(X)=( )A．2。
B．0。
C．ln2。
D．不存在。
正确答案：D解析：依定义，E(X)=(一1)n2n(一1)n，而级数∣(一1)n∣=+∞，(一1)n不绝对收敛，故E(X)不存在。
故选D。
知识模块：随机变量的数字特征2．设随机变量X～E(1)，记Y=max{X，1}，则E(Y)=( )A．1。
B．1+e-1。
C．1一e-1。
D．e-1。
正确答案：B解析：根据随机变量函数的数学期望的定义，有E(Y)=E[max{X，1}]=∫-∞+∞max{x，1}f(x)dx，其中f(x)为指数分布X的密度函数，即f(x)=所以E(Y)=∫-∞+∞max{x，1}f(x)dx=∫-∞0max{x，1}.Odx+∫0+∞max{x，1}e-xdx =∫01e-xdx+∫1+∞xe-xdx=1一e-1+2e-1=1+e-1。
故选(B)。
知识模块：随机变量的数字特征3．一台仪器由5只不太可靠的元件组成，已知各元件是否出故障是独立的，且第k只元件出故障的概率为Pk=，则出故障的元件数的方差是( ) A．1．3。
B．1．2。
C．1．1。
D．1．0。
正确答案：C解析：由于每个元件出故障概率不同，故采用(0—1)分布，即Xk=k=1,2,…,5于是D(X1)=故有D(X)=1．1。
故选(C)。
知识模块：随机变量的数字特征4．已知随机变量X服从二项分布，E(X)=2．4，D(X)=1．44，则二项分布的参数n,p的值为( )A．n=4，P=0．6。
B．n=6，P=0．4。
C．n=8，P=0．3。
D．n=24，P=0．1。
正确答案：B解析：由已知，则E(X)=np，D(X)=np(1一p)，即2．4×(1一p)=1．44=p=0．4，n=6。
随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=0.5，D （X ）=0.5? B. E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=22、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D（Z ）=? （??C?） A. 1 ?B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. 0.04? C. 0.4? D. 44、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X -C ）=D （X ）5、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=4,142,122,0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ）A ．31 ?B ． 21 C ．23?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)31,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ）A ． 34 ?B ． 37C ． 323 ?D ． 3267、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ． -13 ?B ． 15C ． 19 ?D ． 238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ． 31 ?B ． 1C ． 310 ?D ． 1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A. E （X ）=1?B. D （X ）=3?C. P （X=1）=0?D. P （X<1）=0.5 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ）A ．)(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y DC ．)(XD +)(Y D -2),cov(Y X ?D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)21,10(~B X，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（D ）A ． -0.8 ?B ． -0.16C ． 0.16 ?D ． 0.8 13、已知随机变量X 的分布律为25.025.012p P xX i-，且E （X ）=1?，则常数x =( B)A ． 2 ?B ． 4C ． 6 ?D ． 814、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. -0.5 B. 0 C. 0.5 D. 215、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--otherx e x12，则X 的均值和方差分别为（?D ） A ．4)(,2)(==X D X E ?B ． 2)(,4)(==X D X E C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16则)(XY E =（B ） A ．91- ?B ． 0 C ． 91 ?D ． 31 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A ． 2- ?B ． 0 C ．0.5 ?D 218、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B(6，0.5)，则E(X-Y)=( A)A ．5.2- ?B ． 0.5 C ． 2 ?D ． 519、设二维随机变量(X ，Y)的协方差cov(X ，Y)=61，且D(X)=4，D(Y)=9，则X 与Y 的相关系数XYρ为（?B ） A ．2161 ?B ． 361 C ． 61 ?D ． 1 20、设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N?(0，9)，Y ～N?(0，1)，令Z=X-2Y ， 则D?(Z)=（D ） A ． 5 ?B ． 7 C ． 11 ?D 13 21、设(X ，Y)为二维随机变量，且D?(X)>0，D?(Y)>0，则下列等式成立的是（B ） A ． )()()(Y E X E XY E = ? B ．)()(),cov(Y D X D Y X XY ⋅=ρC ． )()()(YD X D Y X D +=+ ?D ． ),cov(2)2,2cov(Y X Y X =22、设n X X X ,,,21Λ是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ）A ． {}22εσεμn n X P ≥<- ?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ． {}221εσεμn X P -≤≥- ?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 98?D ． 1 24、设随机变量 X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 94 ?D 21 25、已知随机变量X ～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为（D ） A ． 1 ?B ．2 C ．3 ?D4 二、填空（每小题2分） 1、设X~)21,4(B ，则)(2X E =5 2、设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则cov （X ，Y ）=1 3、已知随机变量X 满足1)(-=X E ，2)(2=X E ，则)(X D =1 4、设随机变量X ，Y 的分布列分别为 且X ，Y 相互独立，则E （XY ）=2413-5、随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且3.0}0{==X P ，1)(=X E ，则x =710 6、设随机变量X 的分布律为4.03.02.01.02101iP X -，则)(X D =17、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =94 8、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=09、设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，Λ,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ-10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2, 则E?(?Y?)=-0.5 12、已知随机变量X 的分布律为2.03.05.0501iP X -，则)}({X E X P <=0.813、已知E （X ）= -1?，D （X ）=3,则)23(2-X E =1014、设1X ，2X ，Y 均为随机变量，已知1),cov(1-=Y X ，3),cov(2=Y X ，则),2cov(21Y X X +=515、设)1,0(~N X ，)21,16(~B Y，且X ，Y 相互独立，则)2(Y X D +=816、将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为0.0228 （附：Φ（2）=0.9772）17、设随机变量X?~?B （100，0.2），应用中心极限定理计算P{16?X ?24}=0.6826 附：Φ（1）=0.841318、设随机变量X ，Y 的期望和方差分别为E(X)=0.5，E(Y)=-0.5，D(X)=D(Y)=0.75，E(XY)=0，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 19、设随机变量X 的期望E?(X?)=2，方差D?(X?)=4，随机变量Y 的期望E?(Y)=4, D?(Y?)=9, 又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布)31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y 。
7.3 离散型随机变量的数字特征(解析版)人教版高中数学精讲精练选择性必修三
7.3离散型随机变量的数字特征考法一离散型随机变量的均值【例1-1】（2023·山东济宁）若随机变量X 的分布列为X012P 13a b且()1E X =，则b 的值为（）A ．13B ．0C ．12D ．23【答案】A【解析】根据所给的分布列，可得113a b ++=，由()1E X =，可得()101213E X a b =⨯+⨯+⨯=，解得13a b ==.故选:A.【例1-2】（2023下·高二课时练习）随机变量X 的概率分布为X124P 0.40.30.3则(54)E X +等于（）A ．11B ．15C ．35D ．39【答案】B【解析】由题意得()10.420.340.3 2.2E X =⨯+⨯+⨯=，所以(54)5()45 2.2415E X E X +=+=⨯+=,故选：B【一隅三反】1．（2023下·湖南长沙·高二统考期末）随机变量X 的分布列如表，则()23E X +的值为（）X 123P 0.2A 0.4A ．4.4B ．7.4C ．21.2D ．22.2【答案】B【解析】由0.20.41A ++=得0.4A =，所以()10.220.430.4 2.2E X =⨯+⨯+⨯=，所以()232()32 2.237.4E X E X +=+=⨯+=.故选：B2（2023上·全国·高三专题练习）已知随机变量X 的分布列为X12345P 0.10.30.40.10.1则()E X =；()32E X +=.【答案】2.810.4【解析】()10.120.330.440.150.1 2.8E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,()()32323 2.8210.4E X E X +=+=⨯+=.故答案为：2.8；10.4.3．（2023上·天津河东）设随机变量X 的概率分布列为：X1234P 112m 712n已知()176E X =，则2m n +=.【答案】12/0.5【解析】依题意有17112121717123412126m n m n ⎧+++=⎪⎪⎨⎪⨯++⨯+=⎪⎩，解得16m n ==，则11166222m n ++==⨯.故答案为：12.考法二离散型随机变量的方差【例2-1】（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）随机变量ξ有3个不同的取值，且其分布列如下：ξ1-01P 1414则2()D ξ的值为．【答案】316/0.1875【解析】依题意，2ξ的取值为0，1，且21(0)4P ξ==，23(1)4P ξ==，则2ξ的期望2133()01444E ξ=⨯+⨯=，所以2ξ的方差22231333)(0(1)444416(D ξ=-⨯+-⨯=.故答案为：316【例2-2】（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）已知η的分布列如下表所示，设32ξη=-，则()D ξ的值为（）η1-01P 121316A ．5B ．53C ．59D ．3-【答案】A 【解析】由分布列可得()11111012363E η=-⨯+⨯+⨯=-，所以，()22211111151013233369D η⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为32ξη=-，则()()()5329959D D D ξηη=-==⨯=.故选：A.【例2-3】（2023下·福建厦门·高二厦门一中校考期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得A 等级相互独立，记X 为“该学生取得A 等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则()D X 的最大值是（）X012P a b 19A ．3281B ．49C ．1736D ．4781【答案】B【解析】由题意可得2X 、X 的分布列如下表所示：X0122X 014P a b19由分布列的性质可得18199a b +=-=，所以，89a b =-，所以，()120299E X b b =++⨯=+，()2140499E X b b =++⨯=+，所以，()()()22224253299981D X E X E X b b b b ⎛⎫=-=+-+=-++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，设该生物理、历史学考获得等级A 的概率分别为1p 、2p ，则有1219p p =，则()()12211212122241122999b p p p p p p p p p p =-+-=+-=+-≥=，当且仅当1213p p ==时取等号，所以，4899b ≤<，因为函数()2532981f b b b =-++在48,99⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以，()22532454324981999819D X b b ⎛⎫=-++≤-+⨯+= ⎪⎝⎭．故选：B.【一隅三反】1．（2024·浙江温州·统考一模）已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示.Xa 1a +2a +P 0.40.20.4则()D X =（）A ．0.4a+B ．0.8a +C ．0.4D ．0.8【答案】D 【解析】由分布列可得()()()0.40.210.421E X a a a a =++++=+，()()()()2220.410.2110.4210.8D X a a a a a a =--++--++--=，故选：D2．（2023下·山西晋中·高二校考阶段练习）（多选）已知随机变量ξ的分布列如下表所示，且满足()0E ξ=，则下列选项正确的是（）ξ1-02P a 12bA ．()1D ξ=B ．()1D ξ=C ．()214D ξ+=D ．()326D ξ-=【答案】AC【解析】依题意112110202a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得1316a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以ξ的分布列为：ξ－102P 131216则()()()()2221111000201326D ξ=⨯--+⨯-+⨯-=，故A 正确；则()()22124D D ξξ+==，故C 正确；所以ξ的分布列为：ξ102P 131216则()11212363E ξ=⨯+⨯=，()22212121251023323639D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误；所以()()23235D D ξξ-==，故D 错误.故选：AC.3．（2024上·河南·高三校联考期末）已知离散型随机变量X 的分布列如下，则()D X 的最大值为（）X 012P a a b +a b -A ．13B ．23C ．89D ．1【答案】C【解析】()()()01231P X P X P X a =+=+===，故13a =，易得12033b ≤+≤，12033b ≤-≤，则1133b -≤≤，故()221E X a b a b b =++-=-，()22221112(1)(1)3333D X b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫=-+++-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为11,33b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以28(),99D X ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：C ．考法三离散型随机变量的均值与方差综合运用【例3-1】（2024上·江西）（多选）设离散型随机变量X 的分布列为：X 0123P a 0.40.30.2若离散型随机变量Y 满足31Y X =+，则（）A ． 1.6EX =B ． 5.8EY =C ． 1.84DX =D ．7.56DY =【答案】ABD【解析】由分布列的性质知0.40.30.21a +++=，则0.1a =，故00.110.420.330.2 1.6EX =⨯+⨯+⨯+⨯=，故A 正确；22220.11.60.40.60.30.40.2 1.40.84DX =⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 错误；则(31)3131.61 5.8EY E X EX =+=+=⨯+=，故B 正确；所以(31)990.847.56DY D X DX =+==⨯=，故D 正确．故选：ABD ．【例3-2】（2023上·天津武清）有两个随机变量X 和Y ，它们的分布列分别如下表：Y12345p 0.030.30.50.160.01X12345p 0.10.20.30.20.2则关于它们的期望()E X ，()E Y 和它们的方差()D X 和()D Y ，下列关系正确的是（）A ．()()E X E Y >，且()()D X D Y >B ．()()E X E Y >，且()()D X D Y <C ．()()E X E Y <，且()()D X D Y >D ．()()E X E Y <，且()()D X D Y <【答案】A【解析】()0.10.40.90.8 1.0 3.2,()0.030.6 1.50.640.05 2.82E X E Y =++++==++++=,()()()()()22222()1 3.20.12 3.20.23 3.20.34 3.20.25 3.20.2 1.56D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=()()()()()22222()1 2.820.032 2.820.33 2.820.54 2.820.165 2.820.010.5876D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=,所以()()E X E Y >且()()D X D Y >，故选：A【一隅三反】1．（2023下·浙江绍兴·高二统考期末）若数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1252,52,,52n x x x +++ 的平均数和方差分别为（）A ．2,x s B ．252,x s +C ．252,25x s +D ．225x s 【答案】C【解析】由期望、方差的性质知：(52)5()252E X E X x +=+=+，2(52)25()25D X D X s +==.故选：C 2．（2024浙江温州）已知随机变量X ，Y 的分布列如下：X 10Y 21-P 0.50.5P 0.50.5则（）A ．()3()D X D Y =B ．()3()D Y D X =C ．()9()D X D Y =D ．()9()D Y D X =【答案】D【解析】1()2E X =，()212E X =，()221()()4D X E X E X =-=，1()2E Y =，()252E Y =，()229()()4D Y E Y E Y =-=.故选：D.3．（2023下·河北邢台·高二统考阶段练习）（多选）设离散型随机变量X 的分布列如下表：X 12345P m 0.10.2n 0.3若离散型随机变量31Y X =-+，且()3E X =，则（）A ．0.2m =B ．0.1n =C ．()8E Y =-D ．()11.2D Y =【答案】BC【解析】AB 选项，有题意得()20.130.2450.33E X m n =+⨯+⨯++⨯=，且0.10.20.31m n ++++=，解得0.3,0.1m n ==，A 错误，B 正确；C 选项，因为31Y X =-+，所以()()31918E Y E X =-+=-+=-，C 正确；D 选项，()()()()()()22222130.3230.1330.2430.1530.3 2.6D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，因为31Y X =-+，所以()()()239 2.623.4D Y D X =-=⨯=，D 错误.故选：BC4．（2023下·河北石家庄）（多选）设随机变量X 的分布列为其中0ab ≠．则下列说法正确的是（）X 012P a 2b 2bA ．1a b +=B ．()26E X =C ．随着b 的从小到大变化，()D X 先增大后减小D ．()D X 有最小值【答案】AC【解析】()()()0121,1,122b b P X P X P X a a b =+=+==∴++=+= ，A 选项正确；()()()()30011222b E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯==，B 选项错误；()()()()22223233399950011222224422b b b b D X P X P X P X ab b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+-==+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，又()2951,42a b D X b b +=∴=-+，()D X 是关于b 的二次函数，对称轴为()50,19b =∈，所以，当b 从小到大变化的时候，()D X 是先增后减，当59b =时取得最大值，没有最小值，C 选项正确，D 选项错误；故选：AC.考法四均值与方差在实际生活简单应用【例4-1】（2023·北京）设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X ，Y 的分布如表1、表2所示．表1X252423222120P 0.10.20.30.10.10.2表2Y252423222120P 0.050.20.250.30.10.1试问：这两批原棉的质量哪一批较好？【答案】乙地原棉比甲地原棉的质量要好一些【解析】两批原棉纤维长度的均值分别为()250.1240.2230.3220.1210.1200.222.5E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()250.05240.2230.25220.3210.1200.222.5E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．这两批原棉的纤维平均长度相等．两批原棉纤维长度的方差分别为()()()()2222522.50.12422.50.22322.50.3V X =-⨯+-⨯+-⨯()()()2222222.50.12122.50.12022.50.2 2.65+-⨯+-⨯+-⨯=，()()()()2222522.50.052422.50.22322.50.25V Y =-⨯+-⨯+-⨯()()()2222222.50.32122.50.12022.50.1 1.75+-⨯+-⨯+-⨯=．这说明乙地原棉纤维更加齐整，故乙地原棉比甲地原棉的质量要好一些【一隅三反】1（2023上·安徽）（多选）投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示．表1股票甲收益的分布列收益X （元）1-02概率0.10.30.6表2股票乙收益的分布列收益Y （元）012概率0.30.40.3关于两种股票，下列结论正确的是（）A ．()21 3.2E X +=B ．()21 2.2D Y +=C ．投资股票甲的期望收益较大D ．投资股票甲比投资股票乙风险高【答案】ACD【解析】()0.1 1.2 1.1E X =-+=，()0.40.61E Y =+=，()()E X E Y >()()()()22211.10.10 1.10.32 1.10.6 1.29D X =--⨯+-⨯+-⨯=，()()()()222010.3110.4210.30.6D Y =-⨯+-⨯+-⨯=，()()D X Y D >则投资股票甲的期望收益较大，投资股票甲比投资股票乙风险高.()()2121 3.2E X E X +=+=，()()214 2.4D Y D Y +==．故选：ACD2.（2024湖北）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：ξ123Pa 0.10.6η123P 0.3b0.3（1）求a ，b 的值；（2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．【答案】（1）a ＝0.3；b ＝0.4；（2）2.3；2；0.81；0.6；甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．【解析】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3.同理0.3＋b ＋0.3＝1，b ＝0.4.(2)E (ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E (η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D (ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D (η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E (ξ)＞E (η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (ξ)>D (η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．3（2024下·全国·高二专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X 分别为0元，20万元，40万元，且()200.3P X ==，期望()30E X =．方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y 分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为0.3,0.4,0.3．(1)请写出方案一的分布列，并求方差()D X ；(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．【答案】(1)分布列见解析，方差为180(2)答案见解析，理由见解析【解析】（1）设()0P X a ==，()40P X b ==，依题意得0.31a b ++=①，又()0200.34030E X a b =⨯+⨯+=②，由①②解得：0.1a =，0.6b =．∴X 的分布列为X02040P 0.10.30.6则()()()()2220300.120300.340300.6180D X =-⨯+-⨯+-⨯=．（2）由题得Y 的分布列为Y102030P 0.30.40.3则()100.3200.4300.320E Y =⨯+⨯+⨯=，()()()()22210200.320200.430200.360D Y =-⨯+-⨯+-⨯=．由()()E X E Y >可知采用平台广告投放期望收益较大，又()()D X D Y >，说明平台广告投放的风险较高．综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告．一．单选题1．（2024河北）设随机变量X 的方差()1D X =，则()21D X +的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】()()2144D X D X +==.故选：C.2．（2024湖北）已知随机变量X 的分布列为X 024P 0.40.30.3则()54E X +等于（）A ．13B ．11C ．2.2D ．2.3【答案】A【解析】因为()00.420.340.3 1.8E X =⨯+⨯+⨯=，所以()()54545 1.8413E X E X +=+=⨯+=.故选：A.3．（2023江西）已知随机变量X 的分布列为X123P 121316且3Y aX =+，若()2E Y =-，则a 等于（）A ．3-B ．2-C ．53D ．3【答案】A 【解析】结合题意：()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，因为3Y aX =+，所以()()53323E Y aE X a =+=+=-，解得：3a =-，故选：A.4．（2024上·河南南阳·高二校联考期末）已知X 的分布列为X-101P 1214m则下列不正确的是（）A ．()114P X ==B ．()14=-E X C ．()34D X =D ．()2314P X ==【答案】C【解析】对于A ，由分布列的性质可得11124m ++=，解得14m =，则()114P X ==，A 正确；对于B ，()11111012444E X =-⨯+⨯+⨯=-，B 正确；对于C ，()2221111111110142444416D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；对于D ，当1X =-或1X =时，21X =，所以，()()()2113111244P X P X P X ===-+==+=，D 正确.故选：C5（2024广西）随机变量X 的概率分布为()()()1,2,31aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则()E aX =（）A．3881B．139C．152243D．5227【答案】D【解析】()()11a a aP X n n n n n ===-++(1)(2)(3)1P X P X P X =+=+== 122334aaa a a a ∴-+-+-=，解得43a =则221(1),(2),(3)2369129aaa P X P X P X =========62113()1239999E X ∴=⨯+⨯⨯=452()()392137E aX aE X ∴==⨯=故选：D6（2024·全国高二课时练习）设01a <<，则随机变量X 的分布列是：X 0a 1p 131313则当a 在()0,1内增大时（）A．()D X 增大B．()D X 减小C．()D X 先增大后减小D．()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】由分布列得1()3aE X +=，则2222111111211()01333333926a aa D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.故选：D.7．（2024·辽宁沈阳·统考一模）下图是离散型随机变量X 的概率分布直观图，其中35,23a b b c ==，则错误的是（）A ．0.5a =B ．() 2.3E X =C ．()0.61D X =D ．()2 1.22D X =【答案】D 【解析】由题知1,35,23,a b c a b b c ++=⎧⎪=⎨⎪=⎩解得0.5,0.3,0.2a b c ===，A 选项正确；所以()10.220.330.5 2.3E X =⨯+⨯+⨯=，B 选项正确；()222(1 2.3)0.2(2 2.3)0.3(3 2.3)0.50.61D X =-⨯+-⨯+-⨯=，C 选项正确；()()222 2.44D X D x =⋅=，D 选项错误.故选：D8．（2024·广东广州）设123451050x x x x x ≤<<<<≤，随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值2334455112,,,,22222x x x x x x x x x x +++++的概率也均为0.2，若记()()12,D D ξξ分别为12,ξξ的方差，则（）A ．()()12D D ξξ<B ．()()12D D ξξ=C ．()()12D D ξξ>D ．()1D ξ与()2D ξ的大小关系与12345,,,,x x x x x 的取值有关【答案】C【解析】由题意得()()1123450.2E x x x x x ξ=++++，()()23344551122123450.2)0.222(222x x x x x x x x x x E x x x x x ξ+++++=⨯++++=++++，故()()12E E ξξ=，记()()21x E E ξξ==则()()()()22211250.2D x x xx x x ξ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ()2225125123450.2[(52)]x x x x x x x x x x =++++-++++ ()22221250.25x x x x =+++- 同理()22223511220.25222x x x x x x D x ξ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为123451050x x x x x ≤<<<<≤，则222121222x x x x ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，L ，222515122x x x x ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故222235112222x x x x x x <+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222125x x x +++ ，即得()()12D D ξξ>，()1D ξ与()2D ξ的大小关系与12345,,,,x x x x x 的取值无关，故选：C二．多选题9．（2023上·高二课时练习）随机变量X 和Y ，其中127Y X =+，且()34E Y =，若X 的分布列如表：X1234P 14m n 112则下列正确的是（）A ．()12E X =B ．()94E X =C ．13m =D ．13n =【答案】BCD【解析】根据分布列可知11214123m n +=--=①，因为127Y X =+，所以()()12734E Y E X =+=，解得()94E X =，又由分布列可得11912344124m n ⨯+⨯+⨯+⨯=，整理得5233m n +=②，①②联立解得13m =，13n =，故选：BCD10．（2024·全国·高三专题练习）已知X 的分布列为X 1-01P 121316则下列结论正确的是（）．A ．()13E X =-B ．()2327D X =C ．()23E X =D ．()127D X =【答案】AC【解析】对A ：由()()11111012363E X =-⨯+⨯+⨯=-，知A 正确；对B ：由()22211111151013233369D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知B 错误；对C 、D ：因为X 的分布列为X 01P 1323所以()12201333E X =⨯+⨯=，故C 正确；()22212220133339D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误．故选：AC.11．（2023·广东东莞）已知m ，n 均为正数，随机变量X 的分布列如下表；则下列结论一定成立的是（）X 012P m n mA ．(1)(1)P X P X =<≠B ．()1E X =C ．18mn ≤D ．()211D X +<【答案】BC【解析】由题意，21m n +=且,0m n >，而(1)P X n ==，(1)2P X m ≠=大小不确定，A 错误；()(0)1(1)2(102)2E P X P X X n m X P =+⨯=+⨯==+==⨯，B 正确；21m n +=≥18mn ≤，当且仅当122m n ==时等号成立，C 正确；由222(0)1(1)()2(240)P X P X P X n m E X =+⨯=+⨯==+=⨯，所以22(21)4()4[()()]4(41)8D X D X E X E X n m m +==-=+-=，不一定小于1，D 错误；故选：BC12．（2022·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知1p ，()20,1p ∈，随机变量X ，Y 的分布列如下表所示：X1-01Y 1-01P 12p 12112p -P 212p -1222p 下列说法中正确的是（）A ．若112p <且212p <，则()()E X E Y >B ．若121p p <<，则()()E X E Y >C ．若2112p p <<，则()()D X Y D >D ．若1212p p <<，则()()D X Y D >【答案】AC【解析】依题意()11111211012222p p p E X --=-⨯+⨯+⨯=，()22221111122202E p p Y p -=-⨯+⨯+⨯-=，则()()()21212112212p E p p X E Y p --=--=-+，又()()222111*********p p E X -=-⨯+⨯+⨯=，()()222221110122122E p Y p =-⨯+⨯+⨯=-，所以()()()222112122p D X E X E X -⎛⎫=-=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，()()()222211222D p Y E Y E Y -⎛⎫=-=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以()()2221211222p D X D Y p --⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()211221211121121222222p p p p p p p p +-----⎛⎫⎛⎫==-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ：因为112p <且212p <，所以121p p +<，所以()()0E X E Y ->，所以()()E X E Y >，故A 正确；对于B ：因为121p p <<，由于无法确定12p p +与1的大小关系，即无法判断()121p p -+的正负，故无法确定()E X 与()E Y 的大小关系，故B 错误；对于C ：因为2112p p <<，所以210p p -<，211p p +<，所以()()221110p p p p -+->，即()()0D X D Y ->，即()()D X Y D >，故C 正确；对于D ：因为1212p p <<，所以210p p ->，但是无法确定12p p +与1的大小关系，即无法判断211p p +-的正负，故无法确定()D X 与()D Y 的大小关系，故D 错误；故选：AC三．填空题13．（2023下·贵州毕节·高二校考阶段练习）已知随机变量X 的分布列为X012P 0.1m n且() 1.2E X =，则m n -=．【答案】0.3/310【解析】由题可得0.1100.112 1.2m n m n ++=⎧⎨⨯+⨯+⨯=⎩，解得0.60.3m n =⎧⎨=⎩所以0.3m n -=.故答案为：0.3.14．（2023下·浙江温州·高二校联考期中）已知随机变量X 的分布列如表：X1-012P1216mn若()0E X =，则(31)D X -=．【答案】12【解析】()0E X = ，111()101220262E X m n m n ∴=-⨯+⨯+⨯+⨯=-++=①，又 11126n m +++=②，联立①②得1616m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以222211114()(10)(00)(10)(20)26663D X =--⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，则2(31)3()12D X D X -=⨯=．故答案为：12．15．（2023下·北京大兴·高二统考期末）已知随机变量1X 和2X 的分布列分别是：X 101p11p -1p 2X 01p21p -2p 能说明12()()D X D X ≤不成立的一组12,p p 的值可以是1p =；2p =．【答案】0.30.2（答案不唯一）【解析】依题意，随机变量1X 和2X 的期望分别为1122(),()E X p E X p ==，则22211111()()(())D X E X E X p p =-=-，同理2222()D X p p =-，由12()()D X D X ≤，得221122p p p p -≤-，整理得1212()[1()]0p p p p --+≤，因此12p p ≥且121p p +≥或者12p p ≤且121p p +≤，所以12()()D X D X ≤不成立的一组12,p p 的值可以为10.3p =，20.2p =.故答案为：0.3；0.216．（2023·安徽）一离散型随机变量X 的分布列为：X0123P0.1abc其中,a b 为变数，c 为正常数，且当0a b =≠时方差()D X 有最大值，则c 的值为．【答案】0.1/110【解析】由题意得，()0.9,230.92++==++=++a b c E X a b c b c ()2490.938=++=++E X a b c b c ，()()()()2220.9380.92⎡⎤=-=++-++⎣⎦D X E X E X b c b c ()221.240.09 4.44=-+-++-b c b c c ，∴当0.62b c =-时有最大值，此时1.240.9c c -+=，解得0.1c =．故答案为：0.1．四．解答题17．（2023上·高二课时练习）已知随机变量X 的分布列为X2-1-012P141315m120(1)求m 的值；(2)求()E X ；(3)若23Y X =-，求()E Y .【答案】(1)16(2)1730-(3)6215-【解析】（1）依题意，由分布列得1111143520m ++++=，解得16m =，所以m 的值为16.（2）由（1）得()11111172101243562030E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯=-.（3）法一：因为23Y X =-，所以()()176223233015E Y E X ⎛⎫=-=⨯--=-⎪⎝⎭.法二：因为23Y X =-，所以Y 的分布列如下：Y7-5-3-1-1P14131516120所以()11111627531143562015E Y =-⨯-⨯-⨯-⨯+⨯=-18（2023江苏）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：ξ123P a0.10.6η123P0.3b0.3（1）求a ，b 的值；（2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．【答案】（1）a ＝0.3；b ＝0.4；（2）2.3；2；0.81；0.6；甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．【解析】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3.同理0.3＋b ＋0.3＝1，b ＝0.4.(2)E (ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E (η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D (ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D (η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E (ξ)＞E (η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (ξ)>D (η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．19．（2024·黑龙江鹤岗市）甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数51010205若将频率视为概率，回答下列两个问题：（1）记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望；（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.【解析】（1）设乙公司送餐员送餐单数为a ，当38a =时，386228X =⨯=，515010p ==；当39a =时，396234X =⨯=，101505p ==；当40a =时，406240X =⨯=，101505p ==；当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，202505p ==；当42a =时，40627254X =⨯+⨯=，515010p ==，故X 的所有可能取值为228、234、240、247、254，故X 的分布列为：X228234240247254P110151525110故11121()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，则甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8+⨯=元，因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8241.8<，所以推荐小王去乙公司应聘.20．（2024·全国·高二专题练习）为了解客户对A ，B 两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A ，B 两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下：快递公司A 快递公司B 快递公司项目份数评价分数配送时效服务满意度配送时效服务满意度8595x ≤≤292416127585x ≤<475640486575x ≤<44402420假设客户对A ，B 两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率.(1)从该地区选择A 快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A 快递公可配送时效的评价不低于75分的概率：(2)分别从该地区A 和B 快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X 为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X 的分布列和数学期望：(3)记评价分数85x ≥为“优秀”等级，7585x ≤<为“良好”等级，6575x ≤<为“一般”等级､已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A ，B 两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择A ，B 哪家快递公司合适？说明理由，【答案】(1)1930(2)分布列见解析，()7121E X =(3)我认为小王应该选择B 快递公司，因为B 快递公司中“优秀”或“良好”等级占比比A 公司大.（言之有理即可）【解析】（1）调查问卷中共有120份，其中不低于75分的份数为29+47=76，则7619=12030P =，故可估计该客户对A 快递公可配送时效的评价不低于75分的概率为1930；（2）A 快递公司的样本调查问卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75分的概率为：1245621203p +==，B 快递公司的样本调查问卷中抽取的1份服务满意度评价不低于75分的概率为：212483804p +==，X 的可能取值为0，1，2，()2310113412P X ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()23235111343412P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3212432P X ==⨯=，故其分布列为：X 012P11251212其期望()51171212212E X =⨯+⨯=；（3）A 快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为29120，“良好”等级占比为47120，“一般”等级占比为44120；B 快递公司的样本调查问卷中“优秀”等级占比为161805=，“良好”等级占比为401802=，“一般”等级占比为2438010=；其中A 快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为761912030=，B 快递公司的样本调查问卷中“优秀”或“良好”等级占比为56719801030=>，我认为小王应该选择B 快递公司，因为B 快递公司中“优秀”或“良好”等级占比比A 公司大.21（2023湖南）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．如果你是工地的负责人，你会采用哪种方案？说明理由．【答案】采用方案2，利用见详解.【解析】用123,,X X X 分别表示方案1,2,3的损失，采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元，即13800X =，采用方案2，遇到大洪水时，损失20006000062000+=（元），没有大洪水时，损失2000元，即262000,2000X ⎧=⎨⎩有大洪水，无大洪水，采用方案3，遇到大洪水时，损失60000元，有小洪水时，损失10000元，没有洪水时，损失0元，即360000,100000X ⎧⎪=⎨⎪⎩有大洪水，有小洪水，无洪水，于是()13800E X =（元）()()()222620006200020002000E X P X P X =⨯=+⨯=()620000.01200010.012600=⨯+⨯-=.()()()()33336000060000100001000000E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=600000.01100000.253100=⨯+⨯=.采用方案2的平均损失最小，所以采用方案2.。
《概率论与数理统计》习题四参考答案 随机变量的数字特征(熊万民、杨波版)
所以Y X N 1, 42 ，从而 Y X 1 N 0,1 4
于是
Px
y
Py
x
0
P
y
x 4
1
1 4
1 4
1
1 4
0.4013
19.解：
设 X Bn, p, Y n,q,q 1 p ，则
EX np, DX npq, EY nq, DY nqp npq
XY
E X
E X Y E Y
为求 P{X=1}，考虑 {X=1} 的对立事件：{1 号盒中没有球}，其概率为
33 ，因此 43
PX
=1
1
33 43
4 3 3 43
3
{X=2} 表示 {1 号盒中没有球，而 2 号盒中至少有一个球}，类似地得到：
PX =2
33
23 43
于是
PX
=3
23 13 43
PX
=
4
13 43
E（X）=1
0
1
0 (ax b)dx 1 1.2,b 0.4
EX 2 1 x2 (ax b)dx 13
0
30
DX EX 2 (EX )2 13 0.62 11
30
150
14.
E[(X Y )2 ] E( X 2 2XY Y 2 ) EX 2 2E( XY ) E(Y )2 DX (EX )2 DY (EY )2 2EXEY 10
XY
Cov X, Y
DX DY
0
因此 X 与 Y 不相关
2）fX x
f x, ydy
x 1, fX x 0
x 1, fX
1 x2
1 1 x2
1
离散型随机变量的数字特征有答案
高二数学离散型随机变量的数字特征1.随机变量X 的分布列为 则X 的均值为（ ） A.2 B.2.1C. 2.3D.随m 的变化而变化 答案：B2.已知离散型随机变量X 的概率分布列为 则其方差D (X )＝ A ．1 B ．0.6C ．2.44D ．2.4【答案】C【详解】解：∵分布列中出现的所有的概率之和等于1， ∴0.5＋m ＋0.2＝1解得m ＝0.3所以E （x ）＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4， 所以222D(x)(1 2.4)0.5(3 2.4)0.3(5 2.4)0.2 2.44=-⨯+-⨯+-⨯=． 故选：C ．3.已知随机变量,X Y 满足Y aX b =+，且,a b 为正数，若()2,()8D X D Y ==，则（ ）A ．2b =B ．4a =C ．2a =D ．4b =【答案】C【分析】根据题中条件，由方差的性质列出方程求解，即可得出结果. 【详解】由方差的性质可得，2()()()D Y D X b X a a D +==， 因为()2,()8D X D Y ==，所以282a =， 又a 为正数，所以2a =． 故选：C.A ．6B ．9C ．3D ．47.袋中有10个大小相同得小球，其中记为0号的有4个，记为n 号的有n 个（321，，=n ），现从袋中任取一球，X 表示所取到的球的标号，则)(X E 等于( ) A. 2 B.23 C. 54 D. 57答案：D解析：X 所有可能的取值是：0，1，2，352)0(==X P ,101)1(==X P ,51)2(==X P ,103)3(==X P 5710335121011520)(=⨯+⨯+⨯+⨯=∴X E8.已知随机变量X 的分布列如表所示，且．(1)求的值；(2)若，求的值； (3)若，求的值．【解题思路】（1）利用离散型随机变量的分布列的性质以及期望和方差的计算公式即可求解； （2）利用方差的性质求解即可； （3）利用方差的性质求解即可. 【解答过程】（1）由题意可知，解得，又∵，解得．∴． （2）∵， ∴． （3）∵，∴． 9．在课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，每投进一次得2分，否则得0分．已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没有投进，则该次投进的概率为．X 0 1 x Pp(1)求甲3次投篮得4分的概率；(2)若乙3次投篮得分为，求的分布列和数学期望．【解题思路】（1）甲3次投篮得4分即2次中1次不中，根据每次中的概率即可求解；（2）由题意得，的所有可能取值为依次求出每种取值的概率，然后写出分布列，求出期望.【解答过程】（1）由题意得，甲3次投篮得4分即2次中1次不中，其概率．（2）由题意得，的所有可能取值为则，，，的分布列为0 2 4 6.。
天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详解.doc
第 4 章随机变量的数字特征一、填空题1、设X为北方人的身高，Y 为南方人的身高，则“北方人比南方人高”相当于E( X ) E(Y)2、设X为今年任一时刻天津的气温，Y 为今年任一时刻北京的气温，则今年天津的气温变化比北京的大，相当于D(X) D(Y) .3、已知随机变量X 服从二项分布，且E(X ) 2.4, D(X) 1.44 ，则二项分布的参数n= 6 , p= .4、已知X服从(x ) 1 e x2 2x 1，则 . E(X)=1 , D(X)=1/2.5、设X的分布律为X 1 0 1 2P 1 1 1 1 8 4 2 8则 E(2X 1) 9/4 .6、设X ,Y相互独立，则协方差cov( X ,Y ) 0 .这时， X ,Y 之间的相关系数XY 0 .7 、若XY是随机变量 (X,Y)的相关系数，则 | XY| 1的充要条件是P Y aX b 1 .8、XY是随机变量 ( X ,Y ) 的相关系数，当XY 0时，X与Y 不相关，当| XY | 1 时，X 与 Y 几乎线性相关 .9、若D(X) 8, D(Y ) 4 ，且X ,Y相互独立，则 D (2X Y ) 36 .10、若a, b为常数，则D (aX b) a2 D ( X ) .11、若X ,Y相互独立，E( X ) 0, E(Y) 2 ，则 E(XY ) 0 .12、若随机变量X 服从[0,2 ]上的均匀分布，则E( X )π.13、若D(X) 25, D(Y ) 36, XY 0.4 ，则 cov( X ,Y ) 12 ， D(X Y) 85，D ( X Y ) 37 .14、已知E( X ) 3，D(X) 5，则E(X 2)2 30 .15、若随机变量X 的概率密度为e x x 0，(x)x，则 E(2X ) 20 0E (e 2 X ) 1/3 .二、计算题1、五个零件中有 1 个次品，进行不放回地检查，每次取 1 个，直到查到次品为止。
第3章 随机变量的数字特征课后习题答案(高教出版社,浙江大学)
第3章 随机变量的数字特征1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。
它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为5/29)77654(51)(=++++=X E .2，解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。
这时，字母数更多的单词更有可能被取到。
分布律为29/175)147665544(291)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E .3，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221312110222==C C C p 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=⨯+⨯+⨯=E 。
4，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。
分布律为得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=++++++++++=E 。
5，解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!6!5}5{65=====--X P e e X P λλλλ，因此计算得到6=λ，即)6(~X π。
所以)(X E =6。
（2）根据题意，按照数学期望的公式可得21121221112ln 61)1(66)1(}{)1()(πππ=-=-==-=∑∑∑+∞=-+∞=-+∞=-k k k k k k k k k k X kP X E ， 因此期望存在。
（利用了11,1)1()1ln(0≤<-+-=+∑∞=x n x x n nn）（不符书上答案）6，解：（1）一天的平均耗水量为⎰⎰⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞-+∞-+∞∞--=+=-===03/03/03/203/2)(2320)(39)()(x x x x e xd dx xe e d x dx e x dx x xf X E 62003/=+=⎰+∞-dx e x （百万升）。
第四章随机变量的数字特征(有答案)
第四章随机变量的数字特征1. (2016)设随机变量X 的概率密度函数2,01(),0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他 则2()E X =0.5 .2. (2016)设随机变量X 与Y 满足()1,()2,()4,()9,0.5XY E X E Y D X D Y ρ=====, 则()E XY = 5 .3. (2016)设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为(1) 求,X Y 的边缘分布律; (2) 求,X Y 的相关系数XY ρ; (3) 判断,X Y 是否相关、是否独立？ 解答: （1）X 与Y分分（2）2()()3E X E Y ==, 4()()9D X D Y ==, 2()9E XY =, 因此 故 1.2XY ρ===- …...................................4分（3）X 与Y 相关, 不独立. ...............................................................................2分4.(2016)设A 与B 是两个随机事件, 随机变量1,,0,A X A ⎧=⎨⎩出现不出现 1,,0,B Y B ⎧=⎨⎩出现不出现证明: 随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立.证明: X故 ()()E X P A =, 同理, ()()E Y P B =.XY故 ()()E XY P AB =. ...........................................................................................3分XY ρ==因此 X 与Y 不相关0XY ρ⇔=()()()E XY E X E Y ⇔=()()()P AB P A P B ⇔= 即 X 与Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立. ..................................2分 5. (2015)设随机变量X 服从参数为2的泊松分布, 则期望2[(1)]E X +=11 . 6. (2015)设随机变量X 服从正态分布2(1,3)N , Y 服从正态分布2(0,4)N , X 与Y的相关系数12XY ρ=-, 设32X YZ =+, 求:(1) Z 数学期望()E Z 及方差()D Z ;(2) X 与Z 的协方差cov(,)X Z 及相关系数XZ ρ. 解答：（1）111()()()323E Z E X E Y =+=;()()32X YD Z D =+1111()()29432XY D X D Y ρ=++⋅⋅2211111342()34394322=⋅+⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅=. …...................................…6分（2）cov(,)cov(,)32X YX Z X =+ 11cov(,)cov(,)32X X X Y =+11()32XY D X ρ=+21113(0322=⋅+-=. 故 0XZ ρ=. ............................................................................................……...4分 7. (2014)对球的半径做近似测量, 设测量值均匀分布在区间(2,3)上, 则球的体积的数学期望为653π . 8. (2014)设随机变量X 与Y 的方差均为4, 相关系数12XY ρ=, 2Z X Y =+, 则协方差cov(,)X Z = 8 .9. (2014)设X ,Y 为随机变量, 下列选项中, 不是()()()E XY E X E Y =的充要条件的是 D . (A) cov(,)0X Y = (B) ()D X Y DX DY -=+ (C) X 与Y 不相关(D) X 与Y 独立10. (2014)设连续型随机变量X 的概率密度函数为,01()0,Ax x f x <<⎧=⎨⎩，其他. （1）求常数A ;（2）设随机变量2Y X =, 求Y 的概率密度函数()Y f y ;（3）设随机变量11,,210,.2X Z X ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩, 求()E Z .解答：（1）+-()d 1f x x ∞∞=⎰，即+d 1Ax x ∞-∞=⎰，得2A =. ……………………3分（2）法1：2y x =的反函数为x =(01,()0,X XYf f yf y⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它.0,01,0,y⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它.1,01,0,y<<⎧=⎨⎩其它.…………………4分法2：2(){}{}YF y P Y y P X y=≤=≤当0y≤时：()0YF y=，当01y<<时：(){dYF y P X x x y=≤≤==⎰，当1y≥时：()1YF y=.因此1,01,()()0,Y Yyf y F y<<⎧'==⎨⎩其它.……………………………………4分（3）11213{1}{}2d24P Z P X x x==≥==⎰，故3()4E Z=. ………………………3分11.(2014)设某厂生产的某种设备的寿命（单位: 年）X服从指数分布, 其概率密度函数为141e, 0,()40,0.xxf xx-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩工厂规定: 若出售的设备在一年内损坏, 则可予以调换. 工厂售出一台设备后, 若在一年内未损坏, 厂方可获利100元, 若在一年内损坏, 厂方则亏损200元.试求厂方售出一台设备的平均利润.解答：设Y为厂方售出一台设备的利润，有114411{1}e d1e4xP X x--<==-⎰，……………………3分则Y平均利润111444()100e200(1e)300e200E Y---=--=-. (3)分。
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第四章 随机变量的数字特征试题答案一、选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）=C. E （X ）=2，D （X ）=4D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ）A. 1B. 3C. 5D. 6 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 44、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X-C ）=D （X ）5、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=4,142,122,0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ）A ．31 B ． 21 C ．23D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)31,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ）A ． 34B ． 37C ． 323D ． 3267、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ． -13B ． 15C ． 19D ． 238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)31,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31 B ． 1 C ． 310 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A. E （X ）=1B. D （X ）=3C. P （X=1）=0D. P （X<1）=11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y DC ．)(XD +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X12、设随机变量)21,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为25.025.012p P xX i-，且E （X ）=1，则常数x =( B)A ． 2B ． 4C ． 6D ． 814、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 215、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--otherx e x12，则X 的均值和方差分别为（D ） A ．4)(,2)(==X D X E B ． 2)(,4)(==X D X E C ．21)(,41)(==X D X E D ．41)(,21)(==X D X E 16则)(XY E =（B ） A ． 91-B ． 0C ． 91D ． 31 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ）A ． 2-B ． 0C ．D 218、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B(6，，则E(X-Y)=( A) A ． 5.2- B ． 0.5 C ． 2 D ． 5 19、设二维随机变量(X ，Y)的协方差cov(X ，Y)=61，且D(X)=4，D(Y)=9，则X 与Y 的相关系数XY ρ为（B ） A ．2161 B ． 361 C ． 61 D ． 1 20、设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N(0，9)，Y ～N(0，1)，令Z=X-2Y ， 则D(Z)=（D ） A ． 5 B ． 7 C ． 11 D 13 21、设(X ，Y)为二维随机变量，且D(X)>0，D(Y)>0，则下列等式成立的是（B ） A ． )()()(Y E X E XY E = B ． )()(),cov(Y D X D Y X XY ⋅=ρC ． )()()(YD X D Y X D +=+ D ． ),cov(2)2,2cov(Y X Y X =22、设n X X X ,,,21Λ是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ． {}22εσεμn n X P ≥<- B ． {}221εσεμn X P -≥<- C ． {}221εσεμn X P -≤≥- D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91 B ． 31 C ． 98D ． 1 24、设随机变量 X 服从参数为的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ） A ．91 B ． 31 C ． 94 D 21 25、已知随机变量X ～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为（D ） A ． 1 B ．2 C ．3 D4 二、填空（每小题2分） 1、设X~)21,4(B ，则)(2X E =52、设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则cov （X ，Y ）=13、已知随机变量X 满足1)(-=X E ，2)(2=X E ，则)(X D =1 4、设随机变量X ，Y 的分布列分别为216131321iP X414121101iP Y - 且X ，Y 相互独立，则E （XY ）= 2413-5、随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且3.0}0{==X P ，1)(=X E ，则x =710 6、设随机变量X 的分布律为4.03.02.01.02101iP X -，则)(X D =17、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，Λ,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ-10、设随机变量X 具有分布51}{==k X P ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X-2, 则E(Y)= 12、已知随机变量X 的分布律为2.03.05.0501iP X -，则)}({X E X P <=13、已知E （X ）= -1，D （X ）=3,则)23(2-X E =1014、设1X ，2X ，Y 均为随机变量，已知1),cov(1-=Y X ，3),cov(2=Y X ，则),2cov(21Y X X +=515、设)1,0(~N X ，)21,16(~B Y ，且X ，Y 相互独立，则)2(Y X D +=816、将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为 （附：Φ（2）=） 17、设随机变量X~B （100，），应用中心极限定理计算P{16X24}= 附：Φ（1）=18、设随机变量X ，Y 的期望和方差分别为E(X)=，E(Y)=，D(X)=D(Y)=，E(XY)=0，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 19、设随机变量X 的期望E(X)=2，方差D(X)=4，随机变量Y 的期望E(Y)=4, D(Y)=9, 又E(XY)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布)31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y 。
试求：（1）参数λ的值。
（2）一小时内至少有一个顾客光临的概率 （3）该柜台每小时的平均销售情况E （Y ） 解：（1）因为 X 服从泊松分布，则 !}{k e k X P k λλ-==，0;,2,1,0>=λΛk ，又因为 }2{}1{===X P X P所以!2!121λλλλ--=e e ，2=λ所以 !2}{2k e k X P k -==，0;,2,1,0>=λΛk（2）2201!021}0{1}1{---=-==-=≥e e X P X P 所以 一小时内至少有一个顾客光临的概率为21--e 。
（3）因为 X 服从泊松分布，则2)(==λX E ，2)(==λX D ， 所以 622)]([)()(222=+=+=X E X D X E2)(21)221()(22+=+=X E X E Y E =52621=+⨯所以该柜台每小时的平均销售情况E （Y ）=52、设),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧<<<<--=othery x y x y x f ,010,10,2),(求：)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，),cov(Y X ，),(Y X ρ解：)(X E =⎰⎰=--1010125)2(dy y x x dx ， )(Y E =⎰⎰=--1010125)2(dy y x y dx)(XY E =⎰⎰=--101061)2(dy y x xy dx ， )(2X E =⎰⎰=--10102123)2(dy y x x dx)(2Y E =⎰⎰=--10102123)2(dy y x y dx ，)(X D =14411)125(123))(()(222=-=-X E X E )(Y D =14411)125(123))(()(222=-=-Y E Y E),cov(Y X =144112512561)()()(-=⨯-=-Y E X E XY E ),(Y X ρ=)()(),cov(Y D X D Y X =1111441114411441-=-。