垂直平分线和角平分线

垂直平分线和角平分线

1、垂直平分线

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线) 中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴。

如下图：

画线段AB的垂直平分线

已知一条线段,以它的一端为圆心,大于它的一半为半径画弧,线段两边都要画.再以另一端为圆心,之前的长度为半径画弧.会与之前画的弧有两个交点,连接就是中垂线

2、角平分线

从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线，类似的还有三等分线。如下图：

在∠AOB中，画角平分线：

方法：.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB两边于点M，N。

2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。

3.作射线OP。

射线OP就是所求作的∠AOB的角平分线。

三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。

例1、如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）

A.18cm

B.22cm

C.24cm

D.26cm

练习1、如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）

A.10cm

B.8cm

C.5cm

D. 2.5cm

练习2、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）

A.3

B.3.5

C.2.5

D.2.8

例2、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）

A.3

B.4

C.6

D.5

练习1、如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）

A.24

B.30

C.32

D.36

练习2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为 _________

1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________

2、在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是 _________

3、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= _________

4、如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长。

5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）

A.1

B.2

C.

33

4

D.3

2

6、如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE= _________ ．

7、如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积

8、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求点D到斜边AB 的距离．

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一、选择题

1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）

A．12 B．15 C．12或15 D．18

2．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）

A．18° B．24° C．30° D．36°

3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C作射线OC．由此做法得△MOC≌△NOC的依据是（）

A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS

4．如图，△AEB、△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论错误的是（）

A．∠EAM=∠FAN B．BE=CF C．△ACN≌△ABM D．CD=DN

5．已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（）

A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为β

B．两个角是β，它们的夹边为4

C．三条边长分别是4，5，5

D．两条边长是5，一个角是β

6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，