不动点与稳定点

高考数学试题研究

不动点：已知函数)(x f y =，I x ∈，若存在I x ∈0，使得00)(x x f =，则称0x 为函数)(x f y =的不动点。

不动点实际上是方程组⎩

⎨⎧==x y x f y )(的解),(00y x 的横坐标，或两者图象的交点的横坐标 当然，这个方程组根据函数)(x f y =的不同，可能有多解。

例如1：⎩

⎨⎧=-=x y x y 12的解只有一个)1,1(，故函数12-=x y 有一个不动点10=x 例如2：⎩⎨⎧=-=x

y x y 122的解为)21,21(-，)1,1(，故函数122-=x y 有两个不动点1,21- 稳定点：已知函数)(x f y =，I x ∈，若存在I x ∈0，使得00))((x x f f =，则称0x 为函数)(x f y =的稳定点。

很显然，若0x 为函数)(x f y =的不动点，则0x 必为函数)(x f y =的稳定点。 证明是非常简单的！因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，

即00))((x x f f =，故0x 也是函数)(x f y =的稳定点。

反之，有没有不是不动点的稳定点呢？答案是肯定的！

例如3：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x

故函数12-=x y 有一个稳定点10=x

例如4：12)(2-=x x f ，令x x =--1)12(222，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,2

1-=x ，由此因式分解，可得0)124)(12)(1(2=-++-x x x x 还有另外两解451±-=

x ，故函数122-=x y 的稳定点有1,21-，451±- 其中

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51±-是稳定点，但不是不动点。

请看下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.

由此，清晰可见，不动点是函数图象与直线x y =的交点的横坐标，而稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标.

根据例1和例3，我们可以给出命题：

若函数)(x f y =单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。 证明：若函数)(x f y =有不动点0x ，显然它也有稳定点0x ；

若函数)(x f y =有稳定点0x ，即00))((x x f f =，设00)(y x f =，则00)(x y f = 即),(00y x 和),(00x y 都在函数)(x f y =的图象上，

假设00y x >，因为)(x f y =是增函数，则)()(00y f x f >，即00x y >，与假设矛盾； 假设00y x <，因为)(x f y =是增函数，则)()(00y f x f <，即00x y <，与假设矛盾； 故00y x =，即00)(x x f =，)(x f y =有不动点0x .

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【2013年• 四川卷 （文科）第10题】

1.设函数a x e x f x -+=)(（R a ∈，e 为自然对数的底数）. 若存在]1,0[∈b 使b b f f =))((成立，则a 的取值范围是（ ）

A. ],1[e

B. ]1,1[+e

C. ]1,[+e e

D.]1,0[

解析: a x e x f x -+=)(，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数 又因为存在]1,0[∈b 使b b f f =))((，即有稳定点b ，

所以它必有不动点]1,0[∈b ，使得b b f =)( 即x a x e x f x =-+=

)(在]1,0[∈x 有解,

整理可得，2x x e a x -+=，在]1,0[∈x 有解

令2)(x x e x g x -+=，]1,0[∈x

∵021121)(=-+>-+='x e x g x ，∴)(x g 在]1,0[∈x 单调递增

1)0(=g ，e g =)1(，],1[e a ∈，故选择A. 【2013年• 四川卷 （理科）第10题】 设函数a x e x f x -+=)(（R a ∈，e 为自然对数的底数）. 若曲线x y sin =上存在点),(00y x 使00))((y y f f =成立，则a 的取值范围是（ ）

A. ],1[e

B. ]1,1[1--e

C. ]1,1[+e

D. ]1,1[1+--e e 解析: a x e x f x -+=)(，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数 又因为存在]1,1[0-∈y 使00))((y y f f =，即有稳定点0y ，

所以它必有不动点]1,1[0-∈y ，使得00)(y y f = 即x a x e x f x =-+=)(在]1,1[-∈x 有解，显然)0,1[-∈x 是无解的.

整理可得，2x x e a x -+=，在]1,0[∈x 有解

令2)(x x e x g x -+=，]1,0[∈x

∵021121)(=-+>-+='x e x g x ，∴)(x g 在]1,0[∈x 单调递增

1)0(=g ，e g =)1(，],1[e a ∈，故选择A.