两角差的余弦公式-教学设计
人教版高中数学两角差的余弦公式教案和教案说明
人教版高中数学两角差的余弦公式教案和教案说明教案内容：一、教学目标：1. 让学生理解两角差的余弦公式的概念和意义。
2. 引导学生掌握两角差的余弦公式的推导过程。
3. 培养学生运用两角差的余弦公式解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点：1. 重点：两角差的余弦公式的推导过程及其应用。
2. 难点：两角差的余弦公式的灵活运用。
三、教学方法与手段：1. 采用讲授法、探究法、练习法等教学方法。
2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。
四、教学过程：1. 导入：回顾上一节课所学的两角和的余弦公式，引导学生思考两角差的余弦公式。
2. 新课讲解：（1）介绍两角差的余弦公式的概念和意义。
（2）引导学生推导两角差的余弦公式。
（3）通过例题讲解两角差的余弦公式的应用。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
4. 总结与拓展：回顾本节课所学内容，引导学生思考两角差的余弦公式的拓展应用。
五、课后作业：1. 抄写并理解两角差的余弦公式。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
教案说明：本教案旨在帮助学生掌握两角差的余弦公式，通过导入、新课讲解、课堂练习、总结与拓展等环节，让学生逐步理解两角差的余弦公式的概念和意义，并能够灵活运用到实际问题中。
在教学过程中，教师应注重引导学生主动探究，培养学生的动手实践能力和思维能力。
课后作业的布置有助于巩固所学知识，提高学生的学习效果。
六、教学评价：1. 评价目标：检查学生对两角差的余弦公式的理解程度和应用能力。
2. 评价方法：（1）课堂问答：通过提问方式检查学生对两角差的余弦公式的概念和推导过程的理解。
（2）课后作业：布置相关的习题，评估学生对两角差的余弦公式的应用能力。
（3）单元测试：进行一次单元测试，全面评估学生对两角差的余弦公式的掌握情况。
七、教学反思：在教学过程中，教师应根据学生的反馈情况及时进行调整教学方法和节奏。
针对学生的薄弱环节，加强针对性训练，提高学生的理解和应用能力。
两角差的余弦公式教学设计
《两角差的余弦公式》教学设计[教材分析]两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。
两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点．[教学目标]1.知识与技能：(1)了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式；(2)理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导；(3)能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。
2..方法与过程：(1)培养学生逆向思维的意识和习惯；(2)培养学生自主探究和解决问题的能力，锻炼学生的思维品质。
3.情感与态度：由实际问题引入问题，通过探究深化了对该知识的理解，借助于多媒体教学手段，给学生提供了思维的直观想象。
通过学生主动参与，激发学生的学习兴趣和求知欲望，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会。
[教学重点] 两角差的余弦公式结构及其应用。
[教学难点]两角差的余弦公式的推导。
[教学准备] 多媒体辅助教学（利用实物投影进行教学）[教学方法] 启发探究式（教师设问引导，学生自主探究，合作解决）[教学过程] 一、导入新课板书课题提出问题：让学生先讨论“cos（450+300）=cos450+cos300是否成立？”。
（学生可能通过计算器、量余弦线的长度、特殊角三角函数值和余弦函数的值域三种途径解决问题）。
得出cos（450+300）≠cos450 +cos300。
进而得出cos（α+β）≠cosα+cosβ这个结论。
此时再次提出那么cos（α+β）又等于什么呢？这就是我们今天要研究的内容。
揭示课题：两角和与差的余弦设计意图：通过创设问题情境，自然流畅地提出问题，揭示课题，引发学生思考。
使学生目标明确、迅速进入角色。
二、探索研究，引导归纳探究公式的推导过程方法一：角α的终边与单位圆相交于点P1,∠POP1＝β，∠xOP＝α－β，PM⊥x轴，PA⊥OP1，AB⊥x轴，PC⊥AB，OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosαcosβ＋sinαsinβ又OM＝cos（α－β），所以，有cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β方法二：α、β的终边分别与单位圆交于点A 、B ，则)sin ,(cos αα=OA ，)sin ,(cos ββ=OB ，)cos()cos(||||βαβα-=-•=•OB OA OB OA)sin ,(cos αα=•OB OA )sin ,(cos ββ•＝cos αcos β＋sin αsin β两角差的余弦公式：cos()=coscos+sinsinC设计意图：探究公式的推导过程，借助多媒体教学手段，给学生提供了思维的直观想象。
《两角差的余弦公式》教学设计2
《两角差的余弦公式》教学设计【教学目标】1．知识与技能：①了解两角差的余弦公式的推导；②掌握两角差的余弦公式并能对公式进行初步的应用。
2．过程与方法：①经历大胆猜想---初步验证---理论证明---应用与拓展的数学化的过程让学生感受到知识的产生和发展；②利用信息技术揭示单角的三角函数值与两角差的余弦值之间的关系，激发学生探究数学的积极性；③鼓励学生多问“？”，培养学生获取数学知识的能力；3．感态度价值观：①使学生体会联想转化、数形结合、分类讨论的数学思想；培养学生分析问题解决问题的能力。
②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度。
【教学重点、难点】重点：两角差余弦公式的探索和初步应用。
难点：探索过程的组织和引导；两角和与差的虚线思路的探索与发现。
【教学手段】用几何画板和powerpoint演示。
【教学流程】创设问题情景，揭示课题感知猜想利用几何画板验证猜想组织和引导学生共同合作探索公式通过例题、练习，加强对公式的理解回顾与反思布置作业，引发其他公式的探究【教学过程】（一）创设情境，引入课题1．展示实例：课本章头给出的问题，2．先让学生分析出实例的关键：如何由sinα=30/67，求tan(45°+α)值。
可引导学生用方程的思想求解该问题，进而启发如何用所学的三角函数知识进行分析解决。
设计目的：由给出的情境素材，使学生感受到实际问题中对研究两角和差公式的需要。
（二）由特殊到一般设疑，引入本节课题。
设疑：cos（α-β）=cosα-cosβ正确吗？可提示举特殊例子说明（要验证一个等式是否成立，可先通过特例进行初步进行验证，有一个不成立，可说结论不成立）如：cos15°=cos（45°-30°）=cos45°-cos30°吗？可引导学生获知：cos（α-β）=cosα-cosβ也是不成立的。
问：如何用单角α、β的正余弦值正确表示cos（α-β）呢？设计意图：由特殊的例子打破学生思维定势的影响，树立不要想想当然，要理性思维的良好习惯。
《两角差的余弦公式》优质课教学设计
高中数学人教A版必修4第三章《3.1.1两角差的余弦公式》（第一学时）教学设计一、教学目标：1. 通过对两角差的余弦公式的猜想和探究过程,培养学生通过交流,探索,发现和获得新知（二）新知探究在平面直角坐标系xOy 中内作单位圆O ,以Ox 为始边作角βα,，它们的终边与单位圆的交 点分别为B A ,，则()(),sin ,cos ,sin ,cos ββαα==OB OA 由向量数量积的坐标表示有：βαβαsin sin cos cos +=⋅OB OA 。
设向量OA 与OB 的夹角为θ，由向量数量积的定义有：θθcos ==⋅OB OA ，所以βαβαθsin sin cos cos cos +=。
已知()()Z k k Z k k ∈+=∈++=πθβαπθβα2-2或，所以()Z k k ∈±=-θπβα2，所以()θβαcos cos =-，又因为βαβαθsin sin cos cos cos +=，所以可知对任意角βα,，都有()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-。
（三）巩固理解例1、利用差角余弦公式求o15cos 的值。
分析:本题关键是将o15角分成o45与o30的差或者分解成o60与o45的差,再利用两角差的余弦公式即可求解。
例2、已知,135cos ,,2,54sin -=⎪⎭⎫⎝⎛∈=βππααβ是第三象限角，求()βα-cos 的值。
分析:观察公式()βα-cos 与本题已知条件应先计算出αcos ,βsin ,再代入公式求值。
求βαsin ,cos 的值可借助于同角三角函数的平方关系,并注意βα,的取值范围来求解。
例3、求值（1）oooo35sin 65sin 35cos 65cos + （2）απααπαsin 3sin cos 3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+（3）oooo 40cos 110sin 50cos 110cos + （4）oooo42sin 78cos 42cos 12cos +为o50sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o60cos ；对于(4),可先用诱导公式化o 78cos 为o 12sin ,再逆向使用两角差余弦公,即可将原式化为o 30cos 。
两角差的余弦公式教学设计及点评
《两角差的余弦公式》教学设计重难占八、、重点：两角差的余弦公式的运用.?难点：用两角差余弦公式进行简化、计算及逆用公式等技能.数学教学不仅使学生理解知识的发生过程，更重要是培养学生对知识的应用能力.教学设计教学设计教学设计教学设计以境激情我们已经知道cos45 —, cos30 —2 2由此我们能否得到cos15的值呢？对于cos（） cos cos你们同意这个观点吗？说说理由？通过学生熟知的特殊角余弦值引入问题，引发认知冲突，引出本节课题.使学生明确数学是一门严谨的科学，激励学生探索新知.研探论证研探论证研探论证活动1：（教师活动）提出冋题：究竟该如何计算cos（）?对于求角的余弦值这种问题，我们有哪些方法？（学生活动）回忆三角函数定义、三角函数线以及平面向量数量积运算等相关知识. 活动2:（教师活动）引导学生尝试用向量的方法来探究如何计算cos（）.先复习两个向量数量积的疋乂与坐标运算公式；定义式：a b a cos ；坐标式：a b x1x2y1y2.（学生活动）在平面直角坐标系中作单位圆，以x轴非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆0的交点分别为A、B，贝U Acos , sin ，B cos ,sin ；试用A、B两点的坐标表示AOB的余弦值。
（教师活动）引导学生经历用向量方法探索求cos（），结合图形，明确应选择哪几通过设问，激发学生自觉回顾三角函数和向量的相关知识，为公式的探索提供思路. 通过带有指向性的问题，使学生意识到，向量方法可能是解决问题的工具，引导学生建立向量使用的数学环境，培养学生自主探索和数形结合的能力. 在教师的引导下，通过求两个已知向量的夹角问题以及三角函数定义的应用得出新的结论，使学生体会和认识严格的推导过程是获取数学结论的方法。
由学生得到结论，让学生在数学课上体会成功.由于向量工具已被引入，因此将问题归结为角度问题，选用向量方法推导公式，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，大大cos活动3：[0,], (,2 ],降低了思考难度.另外，在公式的完善过程中，学生用对比、联系、化归的观点去分析问题、处理问题，使他们在建立公式的过程中发展逻辑推理能力和对知识的迁移应用.培养学生用自己的语言描述公式特征的表达能力。
两角差的余弦公式教案
两角差的余弦公式一、教材分析1、教材的地位和作用本节课教学内容是人教版《高中数学》必修４第三章３.１.１《两角和与差的余弦》（要三个课时），这是第一课时。
本节内容是三角函数公式的推广，它还涉及到平面向量的内容。
同时，它又是本节及其后面各节公式的“源头”。
因此，两角和与差的余弦公式起着承上启下的核心作用。
两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。
2、教学目标知识与技能：能够推导两角差的余弦公式，了解单角与复角三角函数间的联系，理解两角差的余弦公式，并且能够运用两角差的余弦公式求非特殊角的余弦。
过程与方法：通过猜想、探索等数学活动，发现并推导“两角差的余弦公式”，体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点，提高分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观：通过创设问题情景，学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，激励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和激发学生的学习兴趣。
3、教学的重点和难点教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式；教学难点：探索过程的组织和恰当引导。
二、教法与学法分析教法：启发引导学生自主学习，调动学生的积极性学法：积极主动探究问题三、教学流程1、提出问题，引入课题如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F 与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F 的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F 作用在物体上的功W ．解：co s(60)W F S F S β=⋅=⋅⋅︒-=30cos(60)β⋅︒-6m Sβ β 8m F提问：1）解决问题需要求什么？2）你能找到哪些与β有关的条件?3）能否利用这些条件求出)60cos(β-︒？2、分析问题，猜想结论要求()β-60cos ︒我们可以转化到求()βα-cos从特殊情况去猜测公式的结构形式令ββπβαπαcos )cos()cos(,-=-=-=则： 令ββπβαπαsin )2cos()cos(,2-=--=--=则：请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想．令︒=︒=30,120βα则：︒=︒-︒=-90cos )30120cos()cos(βα＝0 学生思考、交流、猜想：我们的公式的形式应该与αcos ，βcos ，αsin ，βsin 均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“＋”、“－”、“⨯”、“÷”？3、引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示．我们先来讨论最简单的情况：βα、为锐角，且βα>方法一：（利用三角函数线）证明：在单位圆O 中，作α=∠OXP 1， 交单位圆于点1P ，作1P O P β∠=， y O P 1 βα-B αβc o s xM βs i n C α 1 P β1 A则βα-=∠XOP ．过点P 作PM 垂直x 轴于M ，A OP PA 于点1⊥，过B OM AB A 于点作点⊥ ，过点C AB PC P 于点，作⊥，则：βcos =OA ，βsin =AP ， 且α=∠=∠OX P PAC 1co s sin co s co s sin sin O M O B B M O B C PO A A P ααβαβα=+=+=+=+∴βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-（βα、为锐角，且βα>）提问：当αβ、取任意角的时候，结果又会怎样呢？大家思考一下． 方法二：（利用向量）启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？证明：在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角βα、，它们终边与单位圆O 的交点分别为A 、B ，则：OA =)sin ,(cos αα，OB =)sin ,(cos ββco s()||||(co s ,sin )(co s ,sin )O A O B O A O B αβααββ⋅-===αβαβsin sin cos cos +y-1 -1 1 1B )sin ,(cos ββ )sin ,(cos αα αβx 0∴)cos(βα-=αβαβsin sin cos cos + （0≤βα-≤π）公式称两脚差的余弦公式，简记作()βα-C4、运用结论，多方练习1）解决引例中的问题2）例：利用差角余弦公式求cos15°的值。
两角差的余弦公式详细教案
两角差的余弦公式详细教案第一章：两角差的余弦公式的引入1.1 教学目标理解两角差的余弦公式的概念和意义。
掌握两角差的余弦公式的推导过程。
1.2 教学内容引入两角差的余弦公式的概念，即对于任意实数α和β，两角差的余弦公式可以表示为cos(αβ) = cosαcosβ+ sinαsinβ。
解释两角差的余弦公式的意义，即求两个角的差的余弦值可以通过求两个角的余弦值和正弦值的乘积来计算。
1.3 教学方法通过举例和实际问题引入两角差的余弦公式，让学生感受到公式的实际应用。
通过图形和几何解释两角差的余弦公式的推导过程，让学生直观地理解公式。
1.4 教学活动举例说明两角差的余弦公式的应用，如计算一个角度与参考角度的差的余弦值。
引导学生通过图形和几何推理来推导两角差的余弦公式。
第二章：两角差的余弦公式的推导2.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的推导过程。
理解两角差的余弦公式的几何意义。
2.2 教学内容推导两角差的余弦公式，通过构造一个直角三角形，利用三角形的边长关系和余弦定理。
解释两角差的余弦公式的几何意义，即两个角的差的余弦值等于这两个角的余弦值的乘积加上这两个角的正弦值的乘积。
2.3 教学方法通过图形和几何推理推导两角差的余弦公式，让学生直观地理解公式的推导过程。
通过实际例子和计算，让学生巩固两角差的余弦公式的应用。
2.4 教学活动引导学生通过构造直角三角形，利用三角形的边长关系和余弦定理推导两角差的余弦公式。
让学生通过实际例子和计算，运用两角差的余弦公式计算角度的差的余弦值。
第三章：两角差的余弦公式的应用3.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的应用。
能够灵活运用两角差的余弦公式解决实际问题。
3.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的应用，包括解决三角函数的和差问题、计算向量的夹角余弦值等。
通过实际例子和计算，展示两角差的余弦公式的应用方法和步骤。
3.3 教学方法通过实际例子和计算，让学生掌握两角差的余弦公式的应用方法。
两角差的余弦公式教案
两角差的余弦公式教案教案：余弦公式的两角差1.教学目标：-学生能够理解两角差的概念和性质；-学生能够运用余弦公式求解两角差的值；-学生能够应用余弦公式解决实际问题。
2.教学重点：-余弦公式的概念和性质；-余弦公式的推导和运用；-实际问题的解答方法。
3.教学准备：-教学用书或其他参考资料；-教学投影仪或黑板；-纸板和彩色粉笔。
4.教学流程：步骤一：引入本课-通过举例，引导学生思考什么是两个角的差。
步骤二：讲解两角差的概念-在黑板上绘制一个平面直角坐标系，标出角A和角B。
-通过示意图，解释角A和角B的差是指从角A逆时针旋转到角B所需的旋转角度。
-引导学生观察并总结出两角差的概念。
步骤三：引入余弦公式-提问：“如何计算两个角的差？”-引导学生回顾正弦定理和余弦定理的内容。
-提醒学生可以通过推导余弦公式，来计算两个角的差。
步骤四：推导余弦公式-在黑板上绘制一个平面直角坐标系，标出角A和角B。
-让学生观察并总结出余弦公式的推导过程。
-引导学生将角A和角B的余弦用三角函数表示，并使用三角函数的定义进行推导。
步骤五：运用余弦公式-在黑板上绘制几个示意图，引导学生计算两个角的差。
-指导学生使用余弦公式计算两个角的差，并解释计算步骤。
步骤六：解决实际问题-提供一些实际问题，要求学生运用余弦公式进行求解。
-指导学生分析问题，建立数学模型，并通过计算求解问题。
步骤七：总结与归纳-从概念、推导、运用和实际问题的角度总结两角差的余弦公式。
-引导学生发现两角差的余弦公式的应用领域和重要性。
5.巩固练习：-在课后布置练习题，要求学生独立完成，并在下一堂课上进行讲解和答疑。
6.拓展延伸：-引导学生思考如何应用余弦公式计算多个角的差；-提出一些复杂的实际问题，让学生独立运用余弦公式解决。
7.课堂小结：-回顾本堂课的重点内容和难点；-强调同学们在课后复习并完成练习题。
8.参考资料：-教材或参考书中关于两角差的内容；-有关余弦公式和应用的相关资料和习题。
教学设计2：5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式
5.5.1 第1课时两角差的余弦公式【教学目标】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．【要点梳理】两角差的余弦公式温馨提示：右边是两项的和，第一项是cosα与cosβ的积，第二项是sinα与sinβ的积，口诀为“余余正正号相反”．【思考诊断】1．平面上，已知点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，那么两点间距离如何计算？[答案]利用公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)22．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()(4)求cosα时，有时把角α看成角α＋β与角β的差．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√【课堂探究】题型一给角求值【典例1】计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.[思路导引](1)将－15°用两特殊角之差表示，再正用公式求值；(2)逆用公式．[解](1)解法一：原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝32×22＋12×22＝6＋24.解法二：原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.[名师提醒]利用公式C (α－β)求值的思路方法(1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值．(2)如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称，构造公式的结构形式然后逆用公式求值．[针对训练]1．cos15°cos45°＋cos75°sin45°的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32[解析] 原式＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝cos(15°－45°)＝cos30°＝32，故选B. [答案] B2．化简cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α＝________.[解析] cos(α＋45°)cos α＋sin(α＋45°)sin α＝cos(α＋45°－α)＝22. [答案] 22 题型二 给值求值【典例2】 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值． [思路导引] 考虑到β＝[α－(α－β)]这一关系，所以先求α角的余弦和α－β角的正弦，然后代入两角差的余弦公式．[解] ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12，∴0<α<π6， 又∵α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32， ∴－π2<α－β<－π6， ∴cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫21292＝－2029， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. [名师提醒]给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．[针对训练]3．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为( ) A.3365 B ．－3365 C.5465 D ．－5465[解析] 因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513， 所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213， 所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A. [答案] A4．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，则cos α的值为________． [解析] 因为sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，所以π3＋α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－513. 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3＋α－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋αcos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫π3＋αsin π3＝－513×12＋1213×32＝123－526. [答案] 123－526题型三 给值求角【典例3】 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. [思路导引] 将β用(α＋β)－α表示，先求β的余弦值，再求角β.[解析] ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3. [答案] π3[变式] 若本例变为：已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值． [解] 由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2. 又因为cos(α－β)＝1314， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫13142＝3 314.由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12， 因为0<β<π2，所以β＝π3. [名师提醒]解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值．(2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．[针对训练]5．已知0<α<π2，－π2<β<0，且α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α－β. [解] 因为0<α<π2，－π2<β<0， 且sin α＝55，cos β＝31010， 故cos α＝1－sin 2α＝ 1－15＝255， sin β＝－1－cos 2β＝－1－910＝－1010， 故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×31010＋55×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 由0<α<π2，－π2<β<0得，0<α－β<π， 又cos(α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝π4. 【课堂小结】1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.【随堂验收】1．cos165°等于( )A.12B.32C ．－6＋24 D ．－6－24[解析] cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°) ＝－⎝⎛⎭⎫22·32＋22·12＝－6＋24.[答案] C2．cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6的值是( )A ．0 B.12 C.22 D.32[解析] cos 5π12cos π6＋cos π12sin π6 ＝cos 5π12cos π6＋sin 5π12sin π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝cos π4＝22.[答案] C3．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32[解析] 原式＝cos(45°－α＋α＋15°)＝cos60°＝12.故选A.[答案] A4．若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为()A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6[解析] ∵0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0,0<2α<π.由cos(α－β)＝55，得sin(α－β)＝－255. 由cos2α＝1010，得sin2α＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22. 又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. [答案] C5．已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. [解析] 由cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，得 sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝45×22＋⎝⎛⎭⎫－35×22＝210. [答案]210。
两角差的余弦公式详细教案
两角差的余弦公式详细教案一、教学目标1.理解余弦公式的基本概念和原理；2.掌握利用余弦公式解决两角差问题的方法；3.能够灵活运用余弦公式解决实际问题；4.培养学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点1.余弦公式的概念和原理；2.掌握利用余弦公式解决两角差问题的方法。
三、教学难点1.理解余弦公式的原理和推导过程；2.能够灵活运用余弦公式解决实际问题。
四、教学过程步骤一：导入新知识1.引入：通过一个例子引入余弦公式的概念和应用，例如：已知三角形的两边长度和它们夹角的余弦值，求第三边的长度。
2.提问：学过正弦定理的同学，你们能说说余弦公式和正弦定理有什么区别吗？步骤二：讲解余弦公式的原理和推导过程1.从图形的角度解释余弦公式的原理：已知三角形的三个边长度a、b、c，求它们对应的角A、B、C的余弦值。
2.利用余弦定理，推导出两角差的余弦公式。
步骤三：讲解应用举例1.通过具体的例子和计算过程，讲解如何利用余弦公式解决两角差问题。
例如：已知两角和一条边的长度，求另一条边的长度。
2.提供更多的练习题，让学生通过练习提高运用余弦公式的能力。
步骤四：梳理归纳知识点1.整理余弦公式的公式表达；2.归纳余弦公式的适用条件和注意事项。
步骤五：拓展延伸1.提供更多的实际问题让学生运用余弦公式解决；2.引导学生思考如何利用余弦公式解决更复杂的问题。
步骤六：小结概括1.总结余弦公式的基本原理和应用方法；2.强调学生在实际问题中的应用能力和解决问题的思维方式。
五、教学反思通过引入例子、讲解原理、举例解题等多种教学方法，能够帮助学生更好地理解和应用余弦公式。
同时，在教学中提供大量的练习题和实际问题，可以提高学生运用余弦公式解决问题的能力。
在讲解过程中，要注重对学生的巩固和拓展，引导学生提高解决问题的思维方式和能力。
高中数学_3.1.1两角差的余弦公式教学设计学情分析教材分析课后反思
《两角差的余弦公式》教学设计277200课型：新授课一、学情分析（1）授课对象：高一年级的学生（2）学情分析：学生的数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展阶段，有主动探索新知识的意识，对新知识充满探求的渴望。
在学习本课前，学生已学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。
二、教学内容分析这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重要考点，历年高考必考内容。
教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。
三、教学模式、教学支持条件教学模式：诱导—学习---讨论---练习---评价教学支持条件：由于本节内容在公式的证明过程中要用到图形，而多媒体能直观、快捷地展示图形和内空的生成，故在讲授的过程中借助多媒体手段是一个不错的选择。
四、教学目标1、知识目标通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。
2、能力目标通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力3、情感目标使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。
五、教学重点、难点重点：通过探索得到两角差的余弦公式。
难点：探索过程的组织和适当引导。
基于数学核心素养的两角差的余弦公式
基于数学核心素养的两角差的余弦公式教学设计案例分析1摘要：两角差的余弦公式是继平面向量之后的一个三角函数的内容，在教材中起到承上启下的作用。
本案例通过某老师公开课的一个教学设计，展示了两角差的余弦公式的证明以及运用教学设计与实施的过程，分析了该教学设计中渗透的数学学科核心素养，为理解中学教学设计与组织提供范例。
本案例的分析与讨论，可以为高中数学教育设计提供有价值的思考路径与实施策略，帮助教师在教学设计中合理渗透数学学科核心素养。
关键词：两角差的余弦公式；三角函数；数学学科核心素养Teaching Design and Case Study of Cosine formula oftwo-angle difference based on Math Core LiteracyAbstract:The cosine formula of two Angle difference is a trigonometric function after plane vector. This case shows the proof of cosine formula oftwo-angledifference and the process of applying teaching design and implementation through a teaching design of an open class of a teacher, and analyzes the core quality of mathematics subject permeated in the teaching design, providing an example for understanding the teaching design and organization of middle school. The analysis and discussion of this case can provide valuable thinking paths and implementation strategies for high school mathematics education design, and help teachers reasonably penetrate the core quality of mathematics in teaching design.Key words:The cosine formula for the difference of two angles；Trigonometric functions；Core accomplishment of mathematics背景信息《普通高中数学课程标准（2017版）》（以下简称《课标标准》）指出，数学学科是基础教育阶段最为重要的学科之一，通过基础教育阶段的数学教育，无论接受教育的人将来从事的工作是否与数学有关，终极培养目标都可以描述为：会用数学的眼光观察世界；会用数学思维思考世界；会用数学语言表达世界。
两角差的余弦公式教案
两角差的余弦公式数应二班潘小强09290228一、教材分析本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了第一章三角函数和第二章平面向量后的内容,其的中心任务是通过以知的向量和三角恒等变换知识,探索建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构.功能及其运用，同时本节内容也是第三章其他十个公式的推导基础。
二、教学目标1. 掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问题。
通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。
2. 通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。
3. 通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。
三、教学重难点重点：通过探索得到两角差的余弦公式，公式的灵活应用。
难点：两角差的余弦公式探索与证明。
四、教学过程1.创设情境提出问题前面我们学习了三角函数的诱导公式，同学们还记得吗（1） cos( π—β)＝?（2） cos( 2π—β)＝?那么再思考这样一个问题呢，当特殊角π和2π被一般角α取代，即（3） cos( α－β )＝?2.探寻特例提出猜想大家猜想了多种可能，其中有同学猜想cos(α－β)＝cosα－cosβcos(α－β)＝sinα－sinβcos(α－β)＝sinα－cosβcos(α－β)＝cosα－sinβ那么这些结论是否成立？3.用多媒体验证猜想我们一起来用计算器验证(几何画板课件) ，在这里我们做与单位圆相交的两个角α，β，现在我们来一起模拟计算下大家猜想的几组结论。
首先任意取一组α，β角，模拟计算出 cos(α－β) cosα－cosβsinα- sinβ cosα－sinβ由结果推翻假设（反证法），那么cos(α－β)到底等于什么呢？现在我们来借助计算机的强大计算功能，由cos(α－β)的结果模拟可能的答案。
两角差的余弦公式教学设计及点评
两⾓差的余弦公式教学设计及点评《两⾓差的余弦公式》教学设计板书设计：教学设计说明⼀、教材地位及其作⽤恒等变换在数学中扮演着重要的⾓⾊，它的主要作⽤是化简.在数学中通过恒等变换，可以把复杂的关系⽤简单的形式表⽰出来.三⾓恒等变换在后续学习中具有重要的作⽤.⽽以本节课为起始课的第三章内容需要学习三⾓函数运算中蕴涵的恒等关系.由于和、差、倍之间存在的联系，和⾓、差⾓、倍⾓的三⾓函数之间必然存在紧密的内在联系，因⽽需要推出⼀个公式作为基础。
由于三⾓恒等变换的内容与三⾓函数没有直接的关系，因此现⾏的课改教材（⼈教A版）安排学⽣学完三⾓函数后，先学习了平⾯向量，因此选择了运⽤向量⽅法推导公式βαsinαββα=-作为建⽴其它公式的基础，使得公式的得出成为)cos(+sincoscos⼀个纯粹的代数运算过程，降低了思考难度。
本节课的作⽤承前启后,⾮常重要。
⼆、学情分析与教学⽬标学⽣在前两章已经学习了同⾓三⾓函数的基本关系、诱导公式及平⾯向量，为探究两⾓差的余弦公式建⽴了良好的基础。
但学⽣的逻辑推理能⼒有限，要发现并证明公式C(α-β)有⼀定的难度，教师可引导学⽣通过合作交流，体会向量法的作⽤，探索两⾓差的余弦公式。
由于学⽣初次使⽤恒等变换去推理解答问题，分析问题的能⼒和逻辑推理的能⼒都有所⽋缺，并且⾯对新问题如何运⽤已学知识和⽅法去解决存有困惑.但同时学⽣在学习新的⼀章知识时⼜都会充满好奇⼼，这对教学是⾮常有利的。
根据学⽣的认知结构和⼼理特点，我制定了本课的学习⽬标如下：1．知识与技能（1）通过对两⾓差的余弦公式的推导，使学⽣体会应⽤向量解决数学问题的技能。
（2）通过公式的灵活应⽤，使学⽣掌握两⾓差的余弦公式的作⽤。
2．过程与⽅法（1）利⽤两⾓差的余弦公式推导过程，使学⽣体会向量在代数⼏何⽅⾯运⽤的⽅式⽅法。
（2）在公式的灵活运⽤过程中进⼀步培养学⽣分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想。
3．情感态度与价值观通过引导学⽣主动参与、⼤胆猜想独⽴探索、激发学⽣学习兴趣，形成探究、证明、应⽤的获取知识的⽅式。
两角差的余弦公式教学设计
教师进一步的引导学生并提出问题：
猜想一下cos（α－β）=？
学生自然猜想到它们之间有一定的等量关系，给出猜想cos（α－β）=cosα—cosβ
1。使学生明确常犯的直觉性错误为什么是错误的。
2。统一对探究目标中“恒等”方面要求的意义。
☆教学过程
教学环节
教师活动
预设学生行为
设计意图
1。教材中由章头图给出的问题
1。使学生经历把实际问题转化成数学问题的过程。
2。引导学生用方程的思想分析求解过程。
3。师生共同得出本节课题。
学生在情景的理解上可能会出现理解偏差，教师及时加以引导。
由给出的情景素材，是学生感受实际问题中对研究和（差）角公式的需要。
通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、增强学生之间的团结合作意识。
☆教学重点和难点
重点：引导学生通过独立探究和讨论交流，导出两角差的余弦公式，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础。
难点：两角差的余弦公式的探究与证明。
☆教学流程示意
从实例引入～用平面几何证明结论～向量证明结论～例题讲解～归纳总结
问题1
问题2
问题3
2。两角和差的余弦公式
例题
练习
作业
☆教材分析
1。《两角差的余弦公式》是将两个角的函数联系到了一起，其证明过程比较困难，不容易操作。
2。后面《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》的推导也是以两角差的余弦公式作为基础的。
3。三角函数也是高中十分重要的概念。建立两角差的余弦公式，通过简单运用，才能对本节内容有了解，才能为以后其他和（差）角公式打好基础。
两角和与差的余弦公式及其推导教学设计
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两角差的余弦公式详细教案
两角差的余弦公式详细教案第一章：两角差的余弦公式的引入1.1 教学目标理解两角差的余弦公式的概念掌握两角差的余弦公式的推导过程1.2 教学内容回顾角度的概念和单位引入两角差的概念引导学生思考如何表示两角差的余弦值1.3 教学方法使用图形和实例来引导学生理解两角差的余弦公式的概念通过推导过程培养学生的逻辑思维能力1.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的理解程度第二章：两角差的余弦公式的推导2.1 教学目标掌握两角差的余弦公式的推导过程能够应用两角差的余弦公式进行计算2.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的推导过程引导学生通过图形和实例理解两角差的余弦公式的推导过程2.3 教学方法使用图形和实例引导学生理解两角差的余弦公式的推导过程通过练习题培养学生的计算能力2.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的推导过程的理解程度通过练习题评估学生的计算能力第三章：两角差的余弦公式的应用3.1 教学目标能够应用两角差的余弦公式解决实际问题能够应用两角差的余弦公式进行角度计算3.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的应用方法引导学生通过实例理解两角差的余弦公式的应用方法3.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式的应用方法通过练习题培养学生的应用能力3.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的应用方法的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第四章：两角差的余弦公式的拓展4.1 教学目标理解两角差的余弦公式的拓展内容能够应用两角差的余弦公式的拓展内容解决实际问题介绍两角差的余弦公式的拓展内容引导学生通过实例理解两角差的余弦公式的拓展内容4.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式的拓展内容通过练习题培养学生的应用能力4.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的拓展内容的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第五章：总结与复习5.1 教学目标总结两角差的余弦公式的知识点巩固学生对两角差的余弦公式的理解和应用能力5.2 教学内容回顾两角差的余弦公式的概念、推导过程和应用方法通过练习题巩固学生的理解和应用能力5.3 教学方法使用练习题和讨论的方式巩固学生的理解和应用能力5.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第六章：两角差的余弦公式的图形解释理解两角差的余弦公式可以通过图形来解释学会使用图形来帮助记忆和理解两角差的余弦公式6.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的图形解释方法通过图形展示两角差的余弦公式的推导过程6.3 教学方法使用图形和实例引导学生理解两角差的余弦公式的图形解释方法通过观察和分析图形，加深学生对两角差的余弦公式的理解6.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的图形解释方法的理解程度第七章：两角差的余弦公式在不同角度下的应用7.1 教学目标学会在不同角度下应用两角差的余弦公式进行计算理解在不同角度下应用两角差的余弦公式时的注意事项7.2 教学内容介绍在不同角度下应用两角差的余弦公式的方法通过实例展示在不同角度下应用两角差的余弦公式进行计算的步骤7.3 教学方法使用实例引导学生理解在不同角度下应用两角差的余弦公式的方法通过练习题培养学生的计算能力通过提问和讨论的方式检查学生对在不同角度下应用两角差的余弦公式的理解程度通过练习题评估学生的计算能力第八章：两角差的余弦公式在实际问题中的应用8.1 教学目标学会将两角差的余弦公式应用于实际问题中培养学生的实际问题解决能力8.2 教学内容介绍两角差的余弦公式在实际问题中的应用方法通过实例展示两角差的余弦公式在实际问题中的解题步骤8.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式在实际问题中的应用方法通过练习题培养学生的实际问题解决能力8.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式在实际问题中的应用程度通过练习题评估学生的实际问题解决能力第九章：两角差的余弦公式的推广9.1 教学目标理解两角差的余弦公式可以进行推广学会应用推广后的两角差的余弦公式解决问题9.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的推广形式通过实例展示如何应用推广后的两角差的余弦公式解决问题9.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式的推广形式通过练习题培养学生的应用能力9.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的推广形式的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第十章：总结与复习10.1 教学目标总结本节课所学的主要知识点巩固学生对两角差的余弦公式的理解和应用能力10.2 教学内容回顾本节课所学的两角差的余弦公式的概念、推导过程、应用和推广通过练习题巩固学生的理解和应用能力10.3 教学方法使用练习题和讨论的方式巩固学生的理解和应用能力10.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第十一章：两角差的余弦公式的综合应用11.1 教学目标能够综合运用两角差的余弦公式解决复杂角度问题培养学生的综合分析和解决问题的能力11.2 教学内容介绍两角差的余弦公式在解决复杂角度问题时的综合应用通过实例展示如何综合运用两角差的余弦公式解决实际问题11.3 教学方法使用实例引导学生综合运用两角差的余弦公式解决复杂角度问题通过练习题培养学生的综合应用能力11.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式综合应用的理解程度通过练习题评估学生的综合应用能力第十二章：两角差的余弦公式的逆用12.1 教学目标理解两角差的余弦公式可以进行逆用学会应用逆用后的两角差的余弦公式解决问题12.2 教学内容介绍两角差的余弦公式的逆用方法通过实例展示如何应用逆用后的两角差的余弦公式解决问题12.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式的逆用方法通过练习题培养学生的应用能力12.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的逆用方法的理解程度通过练习题评估学生的应用能力第十三章：两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用13.1 教学目标理解两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用学会应用两角差的余弦公式进行三角函数的变换13.2 教学内容介绍两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用方法通过实例展示如何应用两角差的余弦公式进行三角函数的变换13.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用方法通过练习题培养学生的应用能力13.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式在三角函数变换中的应用程度通过练习题评估学生的应用能力第十四章：两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用14.1 教学目标理解两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用学会应用两角差的余弦公式解决工程和科学计算问题14.2 教学内容介绍两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用方法通过实例展示如何应用两角差的余弦公式解决工程和科学计算问题14.3 教学方法使用实例引导学生理解两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用方法通过练习题培养学生的应用能力14.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式在工程和科学计算中的应用程度通过练习题评估学生的应用能力第十五章：总结与复习15.1 教学目标总结本节课所学的主要知识点巩固学生对两角差的余弦公式的理解和应用能力15.2 教学内容回顾本节课所学的两角差的余弦公式的概念、推导过程、应用和拓展通过练习题巩固学生的理解和应用能力15.3 教学方法使用练习题和讨论的方式巩固学生的理解和应用能力15.4 教学评估通过提问和讨论的方式检查学生对两角差的余弦公式的理解程度通过练习题评估学生的应用能力重点和难点解析重点：掌握两角差的余弦公式的概念、推导过程、应用方法和拓展内容。
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两角差的余弦公式一、设计理念1、教学内容分析：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（人教A 版）第三章《三角恒等变换》，两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第一课时，是在高一学生学习了三角、向量等知识之后，两角差的余弦公式是对三角和向量数量积知识的一个应用；同时，对于得到两角和差的正弦、正切公式起着重要作用，对于在计算中的化简和实际中的运用也十分必要；因而公式本身的应用十分广泛。
作为一名没有上过本节内容的新教师，根据教学的设想，两角差的余弦公式这部分内容共分为三个层次：第一层次教师根据所学的特殊的三角函数值提出问题，设置悬念，激起学生对于??)cos(=-βα的兴趣；第二层次学生带着质疑和好奇心，在老师的指引下，探索并利用“三角函数线”、“向量法”、“三角形全等法”证明得到两角差的余弦公式：βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-；第三层次运用或逆用公式解决课本的例题和相应的练习，体会公式的实用性。
学生通过对两角差的余弦公式的探索和证明过程，感受“提出问题、质疑——探索得到结果的方法——得到结果——进行应用” 这一思维方法，养成善于思考的品质和勇于求真的精神。
2、学情分析：对与高一的学生来说，已学了三角函数、向量等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，对于两角和差的余弦、正弦和正切公式有着浓厚的兴趣；但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。
根据以上特点，教师通过设置悬念激起学生的兴趣并进行恰当引导，提高学生学习主动性，多加以前后知识间的联系，带领学生参与分析问题、解决问题并对得到的结果进行应用。
3、设计思想：建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境和悬念，以“??)cos(=-βα”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，通过生生互动、师生互动等形式，学生通过3种途径得到βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。
使得学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力。
二、教学目标1、知识与技能：(1)经历两角差的余弦公式的探索证明过程，掌握得到βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-的方法，为建立其它和（差）公式打好基础；(2)熟练掌握两角差的余弦公式的结构形式，并能运用公式进行简单的求值、化简。
2、过程与方法：(1)通过两角差的余弦公式的学习和应用，掌握在应用中如何把要求三角函数值的角转化为已知三角函数值的两个角的和或差的方法，体会化归、转化这一基本数学思想在发解决问题过程中的作用；(2)使学生进一步掌握用联系变化的观点看问题的方法，在解决问题过程中，要注意前后知识的联系。
3、情感态度、价值观：(1)通过对βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-的探索，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力，同时树立数形结合的思想；(2)通过三角函数线、向量的数量积、三角形全等等知识来获得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，体现事物之间普遍联系与辩证统一。
三、教学重、难点1、重点：两角差的余弦公式得到、公式结构的形式及其应用。
2、难点：两角差的余弦公式得到的过程及如何说明公式对于任意角也成立。
3、重、难点突破：本节主要运用启发、引导法突破重、难点，在公式的探究过程中充分发挥学生的主观能动性，并提供三种思路让学生自主讨论、探究，最后得到两角差的余弦公式，并通过针对性的例题、练习巩固得到的公式。
四、教法学法1、教法指导：(1)启发、引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。
(2)生生、师生讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。
(3)讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2、学法指导： （1）通过所学的特殊三角函数值设置问题，激起学生对于??)cos(=-βα的兴趣。
（2）通过讨论、提示，引导学生探索βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-，在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。
（3）通过例题、练习巩固公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，为学生提供动手的机会，充分体现课堂上以学生为主体基本原则。
五、教学准备制作多媒体课件，学生准备计算器。
六、教学过程1、设置问题，导入新课： 师：我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到??)3045cos(15cos 000=-=，请同学们拿起计算器算算，是不是等于0030cos 45cos -呢？那么是否有βαβαcos cos )cos(-=-？生：通过计算，讨论、举反例，得出βαβαcos cos )cos(-=-不成立。
师：提出问题: ??)cos(=-βα,这节课我们就一起探讨两角差的余弦公式??)cos(=-βα【设计意图】从最简单（课本例1）出发，设置问题，激起学生对于??)cos(=-βα兴趣和强烈的求知欲，从而轻易地把学生带进所要探索的内容中。
2、带着疑问，探索??)cos(=-βα： 方法一：（三角函数线）师：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与三角函数线联系起来.） 生：讨论、交流以及通过预习明确如何在单位圆中作图。
师：展示多媒体动画课件,引导学生如何作图并板书过程。
师：根据上图，提出问题??)cos(=-βα。
生：在OPM ∆中，OM OPOM==-)cos(βα。
师：那么OM 可以怎样表示出来？ 生：OM=OB+BM 。
师：那么OB,BM 又可以怎么表示？生：选取直角三角形，利用三角函数知识得到：βααβαcos cos cos cos cos ===OP OA OB βααβαsin sin cos sin sin ===OP AP BM故：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-师：请同学们计算??)3045cos(15cos 000=-=。
生：计算426...)3045cos(15cos 000+==-= 【设计意图】利用学生熟悉的三角函数的知识启发和引导学生得到βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，培养学生的观察、动手能力。
方法二：（向量法）师：思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？ 生：讨论、动手画图，选取向量并演算。
师：展示多媒体动画课件,引导学生得到βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。
【设计意图】利用向量法得到βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-，体现了向量知识的应用及在应用过程中的简便，提醒学生要注意前后知识的联系。
师：思考（1）对于任意的βα,，公式成不成立？为什么？ 生：思考，讨论。
师：解析为什么。
(1)当βα-是任意角时，总可以找到]2,0[πθ∈，使得)cos(cos βαθ-=；(2)当),0[πθ∈时，则)cos(cos .βαθ-==→→OBOA ；(3)当)2,[ππθ∈时，则),0[2πθπ∈-，)cos(cos )2cos(.βαθθπ-==-=→→OBOA 。
故：对于任意的角βα,，有βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-思考（2）??)cos(=+βα生：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+。
师：这两个公式有什么特点？ 生：讨论并提出自己的见解。
师：归纳特点：同名相乘，符号相反！方法三：（三角形全等）师：我们已经用了两种方法得到βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，那么同学们还有没有其他的方法呢？ 生：思考。
师：提示：利用三角形全等（如下图），请同学们课后完成。
（利用BOD AOC ∆≅∆得：AC=BD,再利用两点公式即可得到：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+，再用β-代替β得到：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-）。
【设计意图】为学生提供多一种方法，而且第三种方法比较简单，使得学生在课后加深对两角和、差的余弦公式的理解，鼓励学生勇于探索、创新。
X3、例题讲解：例1利用和、差角余弦公式求cos 75值. 解：分析：把75构造成两个特殊角的和、差。
()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-= 4262223222145sin 120sin 45cos 120cos )45120cos(75cos 0000000-=⨯+⨯-=+=-=例2已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【设计意图】使学生直观地感受公式的应用，并注意三角函数值的符号及书写格式。
4、课堂练习： 快速求值：(1)000020sin 80sin 20cos 80cos +； (2)0015sin 2315cos 21+； (3)02215sin 15cos +； (4)055cos 10cos 35cos 80cos +。
课本练习：127P 练习：1，2，3【设计意图】用练习去巩固所学知识，使学生逐步形成良好的知识结构，加强数学知识应用能力的培养。
5、课堂小结：本节我们学习了两角差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程；熟知由此衍变的两角和的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用. 6、课后作业： （1）127P 练习4； （2）137P A 组2，3【设计意图】作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究，让学生在更大的深度与广度之间进行思考。