联结词完备集PPT精品文档

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0
0
111
1
1
.
3
同一真值函数
(p∧q)→r和 p→(q→r)对应同一个真值函 数
¬p∨¬q∨r
.
4
标准型(范式)
——同一真值函数所对应的所有命题公 式具有相同的标准型
析取范式 合取范式 主析取范式(极小项) 主合取范式(极大项)
.
29
联结词完备集举例
{∧，∨，¬，→，↔}是完备集 {∧，∨，¬ }是完备集
pq (p→q)∧(q→p) p→q┐p∨q
{┐，∨}和{┐，∧} 是否是完备集?
p∨q┐(┐p∧┐q) p∧q┐(┐p∨┐q)
.
30
联结词完备集举例续1
{¬，→}是否是完备集 ？
p∨q ┐ p→q
{┐，↔}是否是完备集？
.
23
不可兼或联结词
pq
00 01 10 11
pq
0 1 1 0
.
24
蕴涵否定联结词
pq
00 01 10 11
p c q
0 0 1 0
.
25
与非联结词
pq
00 01 10 11
p q
1 1 1 0
.
26
或非联结词
pq
00 01 10 11
p q
1 0 0 0
.
27
问题
常用五个联结词┐， ∧， ∨， ，↔ 是否有冗余呢？
.
14
甲、乙、丙预测比赛 (C1∧┐B2)∨(┐C1∧B2)不可兼或
设Ai, Bi, Ci, Di 分别表示A，B，C，D第i 名 i=1,2,3,4; 则有 ① (C1∧┐B2)∨(┐C1∧B2) 1 ② (C2∧┐D3)∨(┐C2∧D3) 1 ③ (A2∧┐D4)∨(┐A2∧D4) 1 三式同时成立
上节内容回顾
.
1
等值演算
(p∧q)→r p→(q→r)
解： (p∧q)→r
¬(p∧q)∨r （蕴涵等值式）
(¬p∨¬q)∨r （德●摩根律）
¬p∨¬q∨r
（结合律）
p→(q→r) ¬p ∨ (¬q∨r) （蕴涵等值式） ¬p∨¬q∨r （结合律）
.
2
真值表
p q r (p∧q)→r p → (q → r)
.
15
不可兼或
新的联结词 pq (p∧┐q)∨(┐p∧q)
p q pq
00 0
01 1
10 1
11 0
.
16
不可兼或
是否还可能有其他联结词？
若有，可以有多少种不同的二元联结词？
.
17
真值函数
定义: {0, 1}上的n元函数 f: { 0, 1}n { 0, 1}
就称为一个n元真值函数（布尔函数） 自变量有2n组不同的取值，真值函数取
例：(1)┐(p→q)∧q
永假
(2)((p→q)∧p) →q
∑(0,1,2,3)永真
(3)(p→q)∧q
∑(1,3)
3) 求真值表
.
7
真值表和范式的相互构造
范式真值表
极小项对应成真赋值 极大项对应成假赋值
真值表范式
.
8
α=(p∧q) → (¬(q∨r))的真值表
.
9
通过真值表构造析取范式
值只有两种：1 0
共有2 2 n种不同的真值函数
.
18
真值函数与联结词
每个（二元）联结词确定了一个（二元） 真值函数。
每个（二元）真值函数也确定了一个 （二元）联结词。
二元联结词总共可以有24＝16个
.
19
真值函数确定联结词
.
20
所有可能的联结词
二元联结词总共可以有24＝16个
来自百度文库
p
q
永 假
p ∧
?
p
?
q
p p ? p ¬q ¬p ?
∨ ↔q →p →
永 真
q
qq
qp
q
000000000011111111
010000111100001111
100011001100110011
110101010101010101
.
21
其他联结词
不可兼或,蕴涵否定c ,与非,或非
p
q
永 假
p ∧
→cp
1
10
1
1
1
.
11
真值表确定公式
pq r
A
B
000
0
1
001
0
1
010
0
1
011
0
1
100
0
0
101
1
1
110
0
1
111
0
0
.
12
通过真值表构造公式
A=p∧¬q ∧ r
1 01
B= （┐p ∨ ┐q ∨ r） ∧ （┐p ∨ ┐q ∨ ┐ r）
1
10
1
1
1
.
13
举例(等值式S23)
A, B, C, D 4人做百米竞赛,观众甲、乙、 丙预测比赛名次为： 甲：C第一，B第二； 乙：C第二，D第三； 丙：A第二，D第四； 结果甲，乙，丙各对一半，试问实际名 次(无并列)
.
5
范式示例
┐(((p∨q) →r) →p) ┐p∧(┐ q ∨ r) (┐p∧┐ q) ∨(┐p∧ r) (┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q ∧┐r) ∨(┐p∧┐q∧r) ∨(┐p∧q∧r) m0∨m1∨m3 ∑(0,1,3)
.
6
范式应用：
1) 判断两公式是否等值；
2) 判断公式类型(永真、永假，可满足)
p
q→c q
ppp ∨
p ¬q ¬p p ↔q →p →
永 真
qq p
qqq q p
qq
000000000011111111
010000111100001111
100011001100110011
110101010101010101
.
22
其他联结词
不可兼或: pq ┐(p↔q ) 蕴涵否定c : pc q ┐(pq ) 与非: pq ┐(p∧q ) 或非: pq ┐(p∨q )
可以证明任何一个仅含“”和“┐”的二 元命题合式公式真值中有1和0 的个数都是偶 数的。
不是
.
31
联结词完备集举例续2
{∧ ， ∨ ，→ ，↔}不是完备集
（只需证明┐p无法由仅含此联结词集中的联结词的 公式表示即可 ）
=(p∧q) → (¬(q∨r))
（┐p ∧ ┐q ∧ ┐r） ∨ （┐p ∧ ┐q ∧ r） ∨
0
00
0 01
（┐p ∧ q ∧ ┐r） ∨ （┐p ∧ q ∧ r） ∨
0 10
0 11
（p ∧ ┐q ∧ ┐r） ∨ （p ∧ ┐q ∧ r）
10
0
10 1
.
10
通过真值表构造合取范式
=(p∧q) → (¬(q∨r)) （┐p ∨ ┐q ∨ r） ∧ （┐p ∨ ┐q ∨ ┐ r）
A→B¬A∨B A↔B( A→B) ∧ (B → A)
.
28
联结词完备集
（Functionally Complete）
设S是联结词的一个集合，称C为联结词的一 个完备集，如果任一个命题公式都能够逻辑等值 于仅包含S中联结词的公式。 最（极）小完备联结词集：
——若一个完备集的任何真子集都不是完备 集(最小联结词组)。