本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数

§3 Euler 积分

本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即)(s Γ和),(q p B . 它们统称为

Euler 积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.

一. Gamma 函数 )(s Γ 考虑无穷限含参积分

⎰+∞

--01 dx e x x s , ) 0 (>s

当1 0<

⎰

⎰

+∞

+1

1

来

讨论其敛散性 .

⎰

1

: 1 ≥s 时为正常积分 .1 0<--x s e x .利用非负函数积的

Cauchy 判别法, 注意到 , 11

, 1) (lim 110⇒<-=---+

→s e x x x

s s

x 1 0<

收敛 . (易见

0=s 时, 仍用Cauchy 判别法判得积分发散 ). 因此, 0 >s 时积分⎰

1

收敛 .

⎰

+∞

1

: ) ( , 0112+∞→→=⋅-+--x e x e x x x s x s 对∈∀s R 成立,.因此积分⎰

+∞

1

对∈∀s R 收敛.

综上 , 0 >s 时积分⎰+∞

--01 dx e x x s 收敛 . 称该积分为Euler 第二型积分.

Euler 第二型积分定义了) , 0 (∞+∈s 内的一个函数, 称该函数为Gamma 函数, 记为)(s Γ, 即

)(s Γ=⎰+∞

--01 dx e x x s , ) 0 (>s .

-Γ函数是一个很有用的特殊函数 .

2. -Γ函数的连续性和可导性:

)(s Γ在区间) , 0 (∞+内非一致收敛 . 这是因为0=s 时积分发散. 这里利用了

下面的结果: 若含参广义积分在] , (b a y ∈内收敛, 但在点a y =发散, 则积分在

] , (b a 内非一致收敛 .

但)(s Γ在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛 .即在任何⊂],[b a ) , 0 (∞+上 , )(s Γ一致收敛 . 因为b a <<0时, 对积分⎰10

, 有x a x s e x e x ----≤11, 而积分⎰--1

1 dx

e x x a 收敛. 对积分⎰

+∞1

, x b x s e x e x ----≤11, 而积分⎰+∞

--1

1 dx e x x b 收敛. 由M —判法, 它们都

一致收敛, ⇒ 积分⎰+∞--0

1 dx e x x s 在区间],[b a 上一致收敛 .

作类似地讨论, 可得积分dx e x s x s )(10'--+∞

⎰也在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛.

于是

可得如下结论:

)(s Γ的连续性: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内连续 . )(s Γ的可导性: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内可导, 且

⎰

⎰∞

+∞+----=∂∂=Γ'0

011ln )()(dx x e x dx e x s

s x s x

s .

同理可得: )(s Γ在区间) , 0 (∞+内任意阶可导, 且 ⎰+∞

--=Γ0

1)

() ln ()(dx x e x s n x s n .

3. )(s Γ函数的凸性与极值:

0) ln ()(201>=Γ''⎰+∞

--dx x e x s x s , ⇒ )(s Γ在区间) , 0 (∞+内严格下凸.

1)2()1(=Γ=Γ ( 参下段 ), ⇒ )(s Γ在区间) , 0 (∞+内唯一的极限小值点

( 亦为

最小值点 ) 介于1与2 之间 .

4. )(s Γ的递推公式 -Γ函数表:

)(s Γ的递推公式 : ) 0 ( ),()1(>Γ=+Γs s s s .

证 ⎰⎰+∞

+∞

--='-==+Γ0

)()1(dx e x dx e x s x s x

s

⎰⎰+∞

+∞

----∞

+-Γ==+-=0

110

)(s s dx e x s dx e x s e

x x s x

s x s

.

⎰⎰+∞

+∞

---===Γ0

111)1(dx e dx e x x x .

于是, 利用递推公式得:

1)1(1)11()2(=Γ=+Γ=Γ , ! 212)2(2)12()3(=⋅=Γ=+Γ=Γ,

! 3! 23)3(3)13()4(=⋅=Γ=+Γ=Γ , …………, , 一般地有 ! )1()1()()1(n n n n n n n ==-Γ-=Γ=+ΓΛ.

可见 , 在+Z 上, )(s Γ正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义 )1(! +Γ=s s , 易见对1->s ,该定义是有意义的. 因此, 可视)1(+Γs 为) , 1 (∞+-内实数的阶乘. 这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了) , 1 (∞+-内的所有实数上, 于是, 自然就有

1)1()10(!0=Γ=+Γ=, 可见在初等数学中规定 1!0=是很合理的.-Γ函数表: 很

多繁杂的积分计算问题可化为-Γ函数来处理. 人们仿三角函数表、对数表等函数表, 制订了-Γ函数表供查. 由-Γ函数的递推公式可见, 有了-Γ函数在

10<∀s , 求得)(s Γ的值. 通常把00.200.1≤≤s 内-Γ函数的某些近似值制成表, 称这样的表为-Γ函数表 .

5. -Γ函数的延拓:

0 >s 时, ),()1(s s s Γ=+Γ⇒ .)

1()(s

s s +Γ=

Γ 该式右端在01<<-s 时也有 意义 . 用其作为01<<-s 时)(s Γ的定义, 即把)(s Γ延拓到了) , 0 () 0 , 1(∞+⋃-内.

12-<<-s 时, 依式 s

s s )

1()(+Γ=

Γ, 利用延拓后的)(s Γ, 又可把)(s Γ延拓到