点到直线的距离公式

则 m 等于
（D）
A. 3
B. 3
C. 3 3
D. 3或 3 3
2.若P 点 （ x， y）在 x直 y4 线 0上O ， 是原
则 O的 P 最小值是
（B ）
A. 10
B.2 2
C. 6
D.2
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3.若点 4， a（ ）到4x直 3y线 1的距离3， 不
则 a的取值范围
A.0,10
B.0,10
y
O
l1:2x-7y+8=0
l2: P(3,0)
2x-7y-6=0 x
两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
23708 14 1453
d
22(7)2
53 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
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Байду номын сангаас
yP
O
l1 思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
Q l2
x
任意两条平行直线都可以写 成如下形式：
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
在 直 线 l 1 上 任 取 一 点 P x 0 , y 0 , 过 点 P 作 直 线 l 2 的 垂 线 , 垂 足 为 Q
则 点 P 到 直 线 l2 的 距 离 为 : P QA x 0 A 2 B y 0 B 2 C 2
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离： d C2 C1 ， A2 B2
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
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l2
l
P
(提示：由 MN 3 2 及两平行线
间的距离 M T = 3 知，l 与 l1的夹
角为450，利用夹角公式求得l 的
l1
M 斜率，进一步得 l 的方程。)
T
Ө N
(KEY:7x+y-17=0 或x-7y+19=0.)
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反馈练习：
1.点3， （ m ）到l： 直 x3 线 y40的距1 离 ，
然后用两点间的距离公式求得 PQ .
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法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
AB0, 这 时 l与 x轴 ,y轴 都 相 交 , l
y
过 p作 x轴 的 平 行 线 ,交 l与 点 Rx1,y0; R
P
作 y 轴 的 平 行 线 ,交 l 与 点 S x 0 ,y 2
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例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
211210
d
25
2212
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2) O
d 2(1) 5
3
3
x l:3x=2
用公式验证，结果怎样？
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例2： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
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由三角形面积公式可得：
d RSPR PS
y
l R
d
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
Q
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
O
A
B
d Ax0 By0 C A2 B2
P d
x
S
注： 在使用该公式前，须将 ❖ A=0或B=0，此公式也成立， 直线方程化为一般式． 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
点 P 在 直 线 l 1 上 ， A x 0 B y 0 C 1 0
Ax0By0C1PQ C2 C1
A2 B2
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
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例3：一直线经过点P(2,3),且和两平行线3x+4y+8=0与 3x+4y-7=0都相交,且交点间距离为3 2 ,求直线方程.
(提示：Ｍ(
9 4
3
,0),N(0, 2
),
MN
3 13 4
x-4y+6=0 N
o
P
直线MN方程：4x+6y-9=0,
P(2,2)到直线MN的距离d= 1 1 ,
M
2 13
x ∴Ｓ四边形OMPN ＝ Ｓ△OMN+Ｓ△PMN
＝15 . 4
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小结：
（1）点到直线距离公式： d Ax0 By0 C ， A2 B2
A x 1 B y 0 C 0 ,A x 0 B y 2 C 0
d Q
x 1 B y A 0C ,y2 A x B 0C O
Sx
P R x 0 x 1 A x 0 B A y 0 C ,P S y 0 y 2 A x 0 B B y 0 C
R SP R 2P S2A A 2 B B 2 A x0B y0C
点到直线的距离
大庆石油高级中学 教师：翟明星
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点到直线的距离
l
.P
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点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
Q
. P(x0,y0)
o
x
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问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
y
P
l
Q
P（x0，y0）
l:Ax+By+C=0 x O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标，
C
.
1 3
,3 13
D . ,0 1, 0
（A）
4.已知两 3x直 2y线 30与 6xm y10互相
平行，则它离 们等 之于 间的（距 D）
A.4
B.2 3
C.5 3
D . 7 13
13
26
26
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5、求直线x-4y+6=0和8x+y-18=0与两坐 标轴围成的四边形的面积．
y
8x+y-18=0