第二章-实数理论

数系理论
• 欧几里德的《几何原本》中的比例理论以及 讨论了现在有理数中的相关结果,但是在比 例线段的术语下讨论的.
• Muller 1855《一般算术》和Grassmann 1861 《算术》中有讨论, 但是讲得不清楚
• Peano 1889《算术原理新方法》引入Peano公 理系统解决了这个问题。他用了许多符号: , 和N0表示自然数集。
• Weierstrass (1857), Méray (1869) Dedekind (1872), Cantor (1873)
• (来源于Kline IV P46-47)
引入实数的方法
• Weierstrass: 有自然数出发定义正有理数, 然后用无穷多个有理数集合定义实数
• Dedekind: 有理数分割 • Canter: 有理数基本列等价类
有趣的现象
• 数的使用几乎与人类的历史一样长, 有人通过 观察推断: 动物有数感. 在人类文明史中, 数的 概念是逐步扩展开来的. 然而数的严格意义上 的理论直到在十九世纪后半叶才完成.
• 虽然欧几里德几何原本中已经讨论了可公度比 和无公度比,但没有定义什么叫无公度比的相等
• 建立数系理论为了完善数学分析理论 • 建立数系理论是要保证数学的真实性,非欧几何
似, 也记s0(x)=[x]
有理数的十进小数表示
• 如果aZ, 自然地对应x: x(0)=a, k>0, x(k)=0
• 与中学实数定义衔接，用十进小数定义实数 系，然后建立相关的性质
• 建立实数的序 • 建立实数的完备性 • 利用有理数的运算和实数的完备性定义实数
的运算
§4 有理数系的性质
• 自然数系及其运算 • 有理数系的建立 • 有理数的运算性质 • 有理数的序性质和稠密性质 • 有理数的不完备性
自然数系及其运算
• 上确界:设AQ, A, bQ叫做A的上确界, 如 果(1) b是A的上界, (2) c<b, aA, a>c
• 上确界的惟一性 • 序的完备性: 任何有上界的集合都有上确界 • 有理数的不完备性: 存在有理数有上界而没有
上确界的非空子集: • 例如{aQ | a>0, a^2<2} (习题)
§5 实数定义
• 实数的十进小数定义 • 有理数的十进小数表示 • 实数的序
实数的十进小数定义
• 实数的十进小数定义: 实数集合R定义为: {x:NZ|n>0,x(n){0,…,9};k>0,n>k, x(n)<9} • 为了回归中学的习惯, 引入下列术语:
– x(0)叫作实数x的整数部分, 记作[x]; – k>0, x(k)叫作x的第k位小数, 记作xk ; – x也写成: x=[x]+0.x1x2… – 记{x}= 0.x1x2…叫作x的小数部分 – n>0, sn(x)=[x]+0.x1x2…xn叫作x的n位小数(舍值)近
§2 定义实数遇到的困难
• 如何从有限小数过渡到无限小数 • 基本想法都是利用有理数序列逼近(极限),
这就有两个问题
– 引入序列和极限等相关的概念 – 即便如此, 也要先定义清楚作为极限的实数
• 虽然知道实数的众多性质, 如何写出一个 逻辑上正确、清晰和不难接受的实数理 论仍然有待努力
§3 我们如何定义实数
• 乘法与加法之间满足分配律: a(b+c)= ab+ac
• 0是加法零元: a: a+0=a • 1是乘法单位元: a: a1=a • 每个数a有负数-a: a+(-a)=0 • 每个非零数a有倒数1/a: a(1/a)=1
有理数序的三歧性和稠密性
• 有理数序的三歧性: a,bQ, 则a<b, a=b, a>b 中有且仅有一种情形成立
为什么要讲实数理论
• 以往教材上关于实数处理的方式:
– 以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定义 – 以公理化方式定义实数来回避直接定义实数
• 上述处理方式的缺陷:
– 分割和基本列的方式定义需要引入一系列的 工具，并且与中小学教材脱节
– 公理化的方式使得学生困惑: 实数变的难以 理解了
• 应当与中小学教材衔接并讲清实数: 讲清 十进小数
• 序与加法和乘法的关系:
– a,b,cQ, a>b a+c>b+c – a,b,cQ且c>0, a>b ac>bc
• 记号: ab表示a<b或a=b; ab表示a>b或a=b • 有理数的稠密性: a,bQ, a<b, cQ: a<c<b
有理数的不完备性
• 上界: 设AQ, A, 若bQ使得aA, ab, 就称b为A的一个上界, 并且说A是有上界的
• 已经完成了逻辑地引入自然数系N={0,1, 2,…}的过程(上一章引入的)
• 加法运算就是数数,乘法运算就是一类特 殊数数的方法.
• 减法: 对小的数加多少的到大的数 • 除法: 分组 • 带余除法: 确定组数和余数 • 归纳法是论证工具
有理数系Q的建立
• 有理数可以看成是由为了在自然数系中 加、减、乘和除封闭而得到的最小集合
• 自然数到有理数的逻辑扩展:
– 由自然数及其笛卡尔积建立整数使得加、减、 乘封闭;
– 由整数及其笛卡尔积建立有理数使得加、减、 乘和除封闭
• 自然数到有理数的直观扩展: 引入负数和 所有正整数份数
有理数的运算性质
• 加法和乘法满足交换律: a+b=b+a, ab= ba与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c
的出现,几何失去了其真实性;数学在哲学意义 上的真实性应当建立在算术基础上 (Gauss 1817)
实数理论
• 是指以有理数系为基础建立实数理论 • 以往的直观想法: 有理数的极限, 然而必
Байду номын сангаас须先存在才能谈极限
• William R. Hamilton, 1833, 1835提出无理 数的第一个处理, 以时间作为实数的基础. 提出用将有理数分成两类的方法定义无 理数
实数理论
• §1 数系理论发展简史 • §2 定义实数遇到的困难 • §3 我们如何定义实数 • §4 有理数系的性质 • §5 实数定义 • §6 实数的完备性 • §7 实数的运算性质 • §8 记号和实数的进一步性质
§1 数系理论发展简史
• 有趣的现象 • 实数理论简史 • 引入实数的方法 • 数系理论