第二章-实数理论
实数章节总结复习学习知识点归纳总结计划
一、引言二、实数章节知识点梳理1.实数定义及分类实数是数学中的一种数，可以表示为数轴上的点。
实数包括有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数比的数，包括整数、分数和小数（有限小数和循环小数）。
无理数是不能表示为两个整数比的数，如π和e等。
2.实数运算实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方等。
实数运算遵循四则运算法则、乘方运算法则和开方运算法则。
3.实数的大小比较实数的大小比较方法与有理数类似，遵循比较大小的规则。
正实数大于负实数，零大于负实数，两个负实数绝对值大的反而小。
4.实数的数轴表示实数可以用数轴上的点表示，数轴上的点与实数是一一对应的。
数轴上的点具有方向和距离，可以用来表示实数的大小和位置。
5.实数的近似计算实数的近似计算是数学和工程领域中常用的方法，常用的近似计算方法有四舍五入、进一法、去尾法等。
三、实数章节重点难点解析1.实数定义及分类是实数章节的基础，要理解实数的概念和分类，掌握有理数和无理数的特点。
2.实数运算是对实数进行运算的方法，要熟练掌握实数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算方法，遵循运算规则。
3.实数的大小比较是实数运算的基础，要熟悉实数大小比较的规则，能够正确判断实数的大小关系。
4.实数的数轴表示是实数章节的重要内容，要理解数轴的概念，掌握数轴上点的表示方法，能够运用数轴解决实际问题。
5.实数的近似计算在实际应用中具有重要意义，要学会运用四舍五入、进一法、去尾法等方法进行实数的近似计算。
四、实数章节复习策略1.回顾实数章节的基本概念，如实数的定义、分类、特点等，加深对实数概念的理解。
2.梳理实数运算的规则和方法，通过练习题目，提高实数运算的速度和准确性。
3.掌握实数的大小比较方法，能够在实际问题中正确判断实数的大小关系。
4.理解实数的数轴表示方法，能够运用数轴解决实际问题。
5.学习实数的近似计算方法，能够在实际应用中进行实数的近似计算。
五、实数章节是数学学习中的重要内容，通过本篇文章的梳理，相信你对实数章节的知识点有了更深入的了解。
数学分析：实数理论
附录I 实数理论一、建立实数的原则：1、集合F构成一个阿基米德有序域的三个条件：(1)F是域. 在F中定义了加法与乘法两个运算，使得对于F中任意元素a,b,c成立：加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；加法交换律：a+b=b+a；乘法结合律：(a·b)·c=a·(b·c)；乘法交换律：a·b=b·a；乘法分配律：a·(b+c)=a·b+a·c.在F中存在零元素和反元素：在F中存在一个元素“0”,使得对F中任一元素a，有a+0=a，则称“0”为零元素；对每一个元素a∈F，有一个元素(-a)∈F，使得a+(-a)=0，则称-a为a的反元素.在F中存在单位元素和逆元素：在F中存在一个元素“e”,使得对F中任一元素a，有a·e=a，则称“e”为单位元素；对每一个非零元素a∈F，有一个元素a-1∈F，使得a·a-1=e，则称a-1为a的逆元素.(2)F是有序域. 在F中定义了关系“<”具有如下(全序)性质：传递性：对F中的元素a,b,c，若a<b, b<c, 则a<c；三歧性：F中任意两个元素a与b之间，关系a<b, a=b, a>b(即b<a)三者必居其一，也只居其一.当序与加法、乘法运算结合起来，则有如下性质：加法保序性：若a<b，则对任何c∈F，有a+c<b+c；乘法保序性：若a<b 且c>0，则ac<bc.(3)F 中元素满足阿基米德性. 对F 中任意两个正元素a,b ，必存在自然数n ，使na>b.有理数系Q 满足上述三个条件，所以它是一个阿基米德有序域。
任务：运用戴德金分划说，构造实数系R.二、分析能使确界原理得以成立的有序域为具有完备性的有序域.引理1：一个有序域如果具有完备性，则必具有阿基米德性. 证：设α,β为域中正元素，若序列{n α}中没有一项大于β， 则序列有上界β. 又由完备性假设，存在{n α}的上确界λ,对一切自然数n 有λ≥n α，同时存在某自然数n 0，n 0α>λ-α，从而有 (n 0+2)α≤λ<(n 0+1)α，即α<0，与假设α>0矛盾，∴完备的有序域必有阿基米德性.引理2：一个有序域如果具有阿基米德性，则它的有理元素必在该域中稠密，即对有序域中任意两个不同的元素α,β，在α与β之间必存在一个有理元素(从而存在无穷多个有理元素).证：设α,β为有序域中两个不同的元素，且α<β. 由阿基米德性，存在正整数N ，使得N(β-α)>1，或N 1<β-α. 令d=N1, 它是一个有理数，再任取一个有理数γ0<α, 在等差序列{γ0+nd}中，由阿基米德性，总有某项大于α，设在该序列中第一个大于α的项为γ0+n0d，∵γ0+(n0-1)d≤α，若γ0+n0d≥β，两式相减得：d≥β-α，矛盾，∴α<γ0+n0d<β，即γ0+n0d就是所求的有理数，得证.推论：若存在完备的有序域R，则有理数必在其中稠密。
八年级数学上册 第二章 实数
第二章实数目录第二章实数 (1)第一课时：实数的认识 (1)知识要点一：认识无理数 (1)知识要点二：平方根 (1)知识要点四：算术平方根 (2)拓展：随机的n (3)知识要点五：立方根 (4)知识要点五：估算无理数的大小 (4)知识要点六：实数的概念 (5)知识要点七：实数的性质 (5)知识要点八：实数与数轴 (7)知识要点九：实数的比较大小 (8)知识要点10：实数的运算 (9)总练习题 (9)C 基础巩固 (9)B 能力提升 (10)A 拔尖训练 (11)第二课时：二次根式的性质、化简与运算 (13)知识要点一：二次根式的概念 (13)知识要点二：二次根式有意义的条件 (13)知识要点三：二次根式的性质与化简 (14)知识要点四：最简二次根式 (14)知识要点五：分母有理化 (15)知识要点六：二次根式的乘除法 (16)知识要点七：同类二次根式 (17)知识要点八：二次根式的加减法 (18)知识要点九：二次根式的混合运算 (18)知识要点十：二次根式的化简求值 (19)知识要点十一：二次根式的应用 (20)总练习题 (20)C 基础巩固 (20)B 能力提升 (21)A 拔尖训练 (22)第一课时：实数的认识知识要点一：认识无理数伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m 等于多少？是整数呢，还是分数？这个问题引起了学派成员希帕斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希帕斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数．希帕斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌．为了维护学派的威信，他们残忍地将希帕斯扔进地中海．这样，无理数的发现人被谋杀了！定义1 无限不循环小数叫做无理数。
常见的无理数的类型：（1）有规律但不循环的小数；（2）有特定意义的符号，如π；（3）方开不尽的数（见知识要点二之开方的概念）。
八年级数学第二章知识点总结(优选6篇)
八年级数学第二章知识点总结第1篇1.无理数⑴无理数：无限不循环小数⑵两个无理数的和还是无理数2.平方根⑴算术平方根、平方根一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。
⑵开平方：求一个数的平方根的运算叫开平方被开方数3.立方根⑴立方根，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫a的立方根.⑵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.⑶开立方、被开方数4.公园有多宽求根式、估算根式、根据面积求边长5.实数的运算运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)运算定律(五个-加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律)运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从“左”到“右”(如5÷×5);C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。
6.实数的概念是每年中考的必考知识点，尤其是相反数、倒数和绝对值都是高频考点。
我们不仅需要会求一个数的相反数，求一个数的倒数，求一个数的绝对值;还要注意0是没有倒数的，倒数等于它本身的有±1，相反数等于它本身的只有0。
7.科学记数法可以说是是每年中考的必考题，在解决具体问题时，需要记清楚相关概念;另外注意单位换算。
对于近似数和精确度需要注意的是带计算单位的数的精确度，需要统一为以“个”为计算单位的数，再来确定。
8.科学记数法可以说是是每年中考的必考题，在解决具体问题时，需要记清楚相关概念;另外注意单位换算。
对于近似数和精确度需要注意的是带计算单位的数的精确度，需要统一为以“个”为计算单位的数，再来确定。
9.实数比较大小也是中考热点，主要方法可用数轴比较法、估算法和作差法。
至于倒数法和平方法不是很常见，所以只需简单了解即可。
10.计算是数学的基础，也是我们解决问题的必要手段。
提高实数的运算能力，先要审题，理解有关概念。
要注意零指数、负整指数、乘法、特殊角三角函数值、二次根式化简和绝对值等知识点。
在计算时需要先确定符号，再确定结果，把好符号关。
初二上册数学知识点总结：第二章实数
初二上册数学知识点总结：第二章实数编者按：小编为大家收集了初二上册数学知识点总结：第二章实数，供大家参考，希望对大家有所帮助!一、实数的概念及分类1、实数的分类一是分类是：正数、负数、0;另一种分类是：有理数、无理数将两种分类进行组合：负有理数，负无理数，0，正有理数，正无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住无限不循环这一时之，归纳起来有四类：(1)开方开不尽的数，如等;(2)有特定意义的数，如圆周率，或化简后含有的数，如 +8等;(3)有特定结构的数，如0.1010010001(4)某些三角函数值，如sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=b，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
(|a|0)。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a若|a|=-a，则a0。
3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算以上就是为大家提供的初二上册数学知识点总结：第二章实数希望能对考生产生帮助，更多资料请咨询中考频道。
实数ppt课件
方程可以看作是实数之间的一种 约束关系，实数则是满足这种约
束条件的数值解。
通过解方程，我们可以找到实数 之间的特定关系和条件。
实数与不等式的关系
不等式是表达数学大小关系的一种形 式，而实数是这些不等式中的变量。
通过解不等式，我们可以找到实数之 间的特定范围和界限。
不等式可以看作是实数之间的一种限 制关系，实数则是满足这种限制条件 的数值。
02
实数的运算规则
实数的加法运算
定义
实数的加法运算是指将两个或多个实数合并成一 个实数的运算。
规则
实数的加法运算满足交换律和结合律，即 a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
例子
2+3=5，(-1)+(-2)=-3。
实数的减法运算
定义
实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数的运算。
规则
实数的减法运算可以通过加法运算进行转化，即a-b=a+(-b)。
例子
5-3=2，(-1)-(-2)=1。
实数的乘法运算
定义
实数的乘法运算是指将两个或多个实数相乘得到一个实数的运算 。
规则
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba和 (a+b)c=ac+bc。
例子
2×3=6，(-1)×(-2)=2。
03
1欧元=100欧分
时间单位的换算
小时与分钟换算：1 小时=60分钟
天与小时换算：1天 =24小时
小时与秒换算：1小 时=3600秒
其他应用举例
01
02
03
温度换算
摄氏度与华氏度换算，例 如：2摄氏度=3.6华氏度
八年级上册北师大版数学第二章-实数总结
第二章 实数一、实数的概念及分类1. 有理数，无理数概念：有理数： 整数和分数的统称（任何有限小数和无限循环小数都是有理数）。
无理数： 无限不循环小数叫做无理数。
实数: 是有理数和无理数的统称；2.分类：a 按定义分b 按正负分正有理数正实数实数 零 正无理数负有理数负实数负无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；例1.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有( )个 A 2 B 3 C 4 D 5二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数实数相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
初中八年级数学第二章 实数核心概念总结
第二章实数核心概念重要数字：2≈1.4143≈1.7325≈2.23632≈1.26重要记忆点（1-3）算术平方根等于它本身的数是0或1平方根等于它本身的数是0立方根等于它本身的数是0或±1重要旧知：0没有倒数1.认识无理数·无理数的定义无限不循环小数称为无理数·常见无理数的几种类型：1）含π的某个数2）2，3等开方开不尽的数3）如0.121221222122221...（相邻两个数之间的个数逐渐增加）这样的有规律但不循环的无限小数4）1.41421356...2.平方根·算术平方根的定义一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作a，读作“根号a”。
特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即0=0.·算术平方根具有非负性，非负数才有算术平方根·平方根的定义一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）（a为正数或0）·平方根的性质一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
·开平方的定义求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数·重要公式：（a）2=a a2=|a|3.立方根·立方根的定义一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）·立方根的性质正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。
（每个数都有一个立方根）·开立方的定义求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，a叫做被开方数·重要公式1）3a3=a2）（3a）3=a3）3−a=−3a4.估算·主要估算方法：平方法、作差法、作商法6.实数·实数的定义有理数和无理数统称为实数·实数的分类1）实数可以分为正实数、0、负实数2）按概念分正整数整数0有理数负整数实数分数正分数负分数无理数正无理数负无理数3)按正负分正有理数正整数正实数正分数正有理数实数负有理数负整数负实数负分数负有理数·在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
《实数》ppt课件
指数运算法则可以用于简化复杂的数 学表达式。
03
CATALOGUE
实数的分类
有理数和无理数
有理数
可以表示为两个整数之比的数， 包括整数、有限小数和无限循环 小数。
无理数
无法表示为两个整数之比的数， 常见于无限不循环小数，如π和 √2。
正数、负数和零
01
02
03
正数
大于零的实数，包括正整 数、正小数和正无理数。
其结果仍为实数。
详细描述
实数的加法运算与整数、有理 数类似，遵循交换律和结合律 ，即a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
总结词
正数与负数相加，结果的符号 取决于绝对值较大的数。
详细描述
如果a>0，b<0，则a+b=a-(b)；如果a<0，b>0，则 a+b=b-(-a)。
减法运算
总结词
《实数》PPT课件
目 录
• 实数的基本概念 • 实数的运算 • 实数的分类 • 实数在生活实数的基本概念
实数的定义
实数的定义
实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合，即实数集。实数集可以用实数轴来表 示，实数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数都可以在实数轴上找到一个点来
乘法运算
总结词
乘法运算在实数范围内具有封闭性， 即任何两个实数相乘，其结果仍为实 数。
详细描述
实数的乘法运算遵循交换律和结合律 ，即ab=ba，(ab)c=a(bc)。
总结词
正数与负数相乘得负数，负数与负数 相乘得正数。
详细描述
正数乘以正数得正数，如2*3=6；正 数乘以负数得负数，如2*(-3)=-6； 负数乘以负数得正数，如(-2)*(3)=6。
八年级数学上册 第二章 实数 2.6 实数课件上册数学课件
第一页，共七页。
无理数
1. 有理数 和
统称为实数.
2.在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、
绝对值的意义完全
;有理数的运算法则与运算律对
一样(yīyàng)
数仍然适用.
实
3.实数与数轴上的点是
一一对应 的关系.在数轴上,右边的点表示
(biǎoshì)的数比左边的点表示(biǎoshì)的数
8 之间 9 的个数逐次加 1),…};
(4)负实数集合: -
12/11/2021
22
,-2π,…
7
.
第六页，共七页。
内容(nèiróng)总结
6 实数。1.
和
统称为实数.。2.在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意
义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全。有理数的运算法则与运算律对
数
仍然适用.。1.下列说法正确的是(
解:(1)有理数集合: -
…};
…};
…};
…}.
22
,
7
16,0,3.14,0.31,… ;
3
(2)无理数集合:{ 9,-2π,0.898 998 999 8…(相邻两个 8 之间 9 的
个数逐次加 1),…};
3
(3)正实数集合:{ 16, 9,3.14,0.31,0.898 998 999 8…(相邻两个
22
湖北荆门中考)在实数- 7 ,
9,π, 8中,是无理数的是(
B. 9
D. 8
A.-
C.π
12/11/2021
第四页，共七页。
3
3
C
)
4.点P,Q,M,N在数轴上的位置如图所示,其中(qízhōng)表示实数
实数理论概说
实数理论概说实数可以直观地看作小数（有限或无限的），它们能把数轴“填满”。
实数包括所有的有理数和无理数。
比如0、 -4.8、、等。
但仅仅以枚举的方式不能描述实数的全体。
根据日常经验，有理数集在数轴上似乎是“稠密”的，于是古人一直认为用有理数即能满足测量上的实际需要。
以边长为1的正方形为例，其对角线有多长？在规定的精度下（比如误差小于0.001），总可以用有理数来表示足够精确的测量结果（比如1.414）。
但是，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度，这彻底地打击了他们的数学理念，他们原以为：任何两条线段（的长度）的比，可以用自然数的比来表示。
正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数（1，2，3 ...），而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击，这就是所谓的第一次数学危机。
从古希腊一直到十七世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数；后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。
在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金、康托等人对实数进行了严格处理。
所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。
任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。
在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。
由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。
在目前的初等数学中，没有对实数进行严格的定义，而一般把实数看作小数（有限或无限的）。
实数的完整定义在几何上，直线上的点与实数一一对应。
实数可以分为有理数（如42、）和无理数（如π、√2）两类，也可以分为代数数和超越数（有理数都是代数数），或正数，负数和零三类。
实数集合通常用字母R或表示。
而R n表示n维实数空间。
实数是不可数的。
浙教版八年级上册数学第二章知识点
浙教版八年级上册数学第二章知识点数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
下面是整理的浙教版八年级上册数学第二章知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
浙教版八年级上册数学第二章知识点实数的概念实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。
实数集通常用黑正体字母R表示。
R表示n维实数空间。
实数是不可数的。
实数是实数理论的核心研究对象。
实数有什么范围在实数范围内,是指对于全体实数都成立,实数包括有理数和无理数,也可以分为正实数,0和负实数,不只是大于等于0,还包括负实数。
整数和小数的集合也是实数，实数的定义是：有理数和无理数的集合。
而整数和分数统称有理数，小数分为有限小数，无限循环小数，无限不循环小数(即无理数)，其中有限小数和无限循环小数均能化为分数。
所以小数即为分数和无理数的集合，加上整数，即为整数-分数-无理数，也就是有理数-无理数，即实数。
实数的性质1.基本运算：实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等，对非负数还可以进行开方运算。
实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。
任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
有理数范围内的运算律、运算法则在实数范围内仍适用：交换律：a+b=b+a，ab=ba结合律：(a+b)+c=a+(b+c)分配律：a(b+c)=ab+ac2.实数的相反数：实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义相同。
实数只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数。
八年级上册数学第二章实数知识点
八年级上册数学第二章实数知识点
数学八年级上册第二章实数知识点主要包括以下内容：
1. 实数的概念：实数是指有理数和无理数的统称，包括所有实数。
2. 有理数的概念：有理数包括整数和分数两类，可以用分数表示成两个整数的比，可以是正数、负数或零。
3. 无理数的概念：无理数是指无法表示为两个整数比的实数，如根号2、根号3等。
4. 实数的比较和排序：实数可以通过大小比较进行排序，可以使用相等、大于或小于等符号进行表示。
5. 实数的运算：实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。
加法和乘法满足交换律、结合律和分配律，减法和除法也有相应的规律。
6. 绝对值的概念和性质：绝对值是一个非负实数，表示一个数到原点的距离，用符号表示为|a|。
7. 实数的相反数和倒数：实数a的相反数是-b，满足a + (-a) = 0；实数a的倒数是1/a，满足a × (1/a) = 1。
8. 有理数的数轴表示和无理数的近似表示：有理数可以用数轴表示，数轴上有0和正负方向，无理数可以通过近似表示，取一定精度的有理数作为其近似值。
9. 实数的绝对值不等式：对于任意实数a，有|a| ≥ 0，且对于任意实数a和b，有|ab| = |a| × |b|。
10. 实数的乘方：实数的乘方运算定义为一个实数自乘若干次，例如a^n表示a自乘n次。
以上是八年级上册数学第二章实数的主要知识点，希望对你有帮助！。
《实数的概念》课件
实数在生活中的应用
温度计上的实数
温度计上的数字表示实际温 度
温度计在生活中的应用：测 量体温、监测天气等
温度计的种类：水银温度计、 电子温度计等
温度计的准确性和使用注意 事项
身高体重指数（BMI）中的实数
身高体重指数（BMI）的定义 BMI中的实数计算 BMI指数在健康生活中的应用 如何根据BMI指数调整生活方式
课堂互动环节设计
案例分析：通过分析具体案例，让 学生更好地理解实数的概念和应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分组讨论：将学生分成小组，让他 们讨论相关问题，提高合作能力
课堂测验：通过小测验或练习题， 检验学生对实数概念的理解和掌握 情况
练习题与答案解析
● 题目1：什么是实数？ 答案1：实数包括有理数和无理数，有理数包括整数、分数、小数等，无理数包括无限不循 环小数等。
添加标题 添加标题 添加标题 添加标题
地图上的经纬度
经纬度定义：经度和纬度是地图上的两个基本坐标系统，用于确定地球上 任何位置的坐标。
实数与经纬度的关系：经度和纬度都是实数，可以用小数或度数表示。
经纬度在地图上的应用：通过经纬度可以确定地球上任何位置的精确位置， 从而进行导航、定位和地理信息系统的应用。
添加标题
添加标题
实数与其他数学概念的关系
总结与回顾
本节课的重点与难点总结
重点：实数的概 念、分类和性质
难点：实数的运 算规则和实际应 用
解决方法：通过 例题讲解和练习 巩固，加深对实 数概念的理解和 掌握
总结：回顾本节 课所学内容，强 调容
数
无理数与有理 数的区别：定 义、性质、运 算规则等方面
的差异
第2章实数
第2章实数本章教材分析本章在有理数和勾股定理等知识的基础上，进行数系的第二次扩张，引入无理数，将有理数扩充到实数的范围，使大家对数的认识进一步深入。
本章大致按照这样的线索展开内容：无理数的引入——无理数的表示——实数及其相关概念（包括实数运算）。
实数的应用贯穿于内容的始终。
具体地，本章首先通过拼图活动和计算器探索活动，给出无理数的概念，然后通过具体问题解决，引入立方根和平方根的概念和开方运算。
由于在实际生活和生产实践中，对于无理数我们常常通过估算来求它的近似值，为此教科书安排了一节内容：公园有多宽，介绍估算的方法，包括通过估算比较大小、检验计算结果的合理性等，最后教科书总结实数的概念及其分类，并用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算法则等。
我们在学习过程中应注意以下几点：（1）经历探索、发现的过程，抓住概念的主要特征，（2）掌握实数性质及其规律的探索，锻炼概括能力，（3）提高数学思维能力，发展估算能力，培养交流合作能力，（4）进一步提高数学应用能力。
§2。
1 数怎么又不够用了一、学习目标定位1．了解无理数的产生的背景和必要性；2．会用计算器估算无理数的近似值；3．会判断一个数是有理数还是无理数。
二、重点难点解析重点：理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是无理数。
难点：在探索过程中体会无限逼近的思想；有理数与无理数的区别。
三、教学过程1．创设问题情境，引入新课：概括学过的自然数、小数、分数，初一学过的负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题。
2．讲授新课（1）问题的提出：拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。
呈现作品：总结做法：假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？a 是正方形的边长，所以a 肯定是正数；因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知2a =2；由2a =2可判断a 应是1点几？那么a 是整数吗？a 是分数吗？因为21=1，22=4，23=9，…整数的平方越来越大，所以a 应在1和2之间，故a 不可能是整数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数系理论
• 欧几里德的《几何原本》中的比例理论以及 讨论了现在有理数中的相关结果,但是在比 例线段的术语下讨论的.
• Muller 1855《一般算术》和Grassmann 1861 《算术》中有讨论, 但是讲得不清楚
• Peano 1889《算术原理新方法》引入Peano公 理系统解决了这个问题。他用了许多符号: , 和N0表示自然数集。
• Weierstrass (1857), Méray (1869) Dedekind (1872), Cantor (1873)
• (来源于Kline IV P46-47)
引入实数的方法
• Weierstrass: 有自然数出发定义正有理数, 然后用无穷多个有理数集合定义实数
• Dedekind: 有理数分割 • Canter: 有理数基本列等价类
有趣的现象
• 数的使用几乎与人类的历史一样长, 有人通过 观察推断: 动物有数感. 在人类文明史中, 数的 概念是逐步扩展开来的. 然而数的严格意义上 的理论直到在十九世纪后半叶才完成.
• 虽然欧几里德几何原本中已经讨论了可公度比 和无公度比,但没有定义什么叫无公度比的相等
• 建立数系理论为了完善数学分析理论 • 建立数系理论是要保证数学的真实性,非欧几何
似, 也记s0(x)=[x]
有理数的十进小数表示
• 如果aZ, 自然地对应x: x(0)=a, k>0, x(k)=0
• 与中学实数定义衔接，用十进小数定义实数 系，然后建立相关的性质
• 建立实数的序 • 建立实数的完备性 • 利用有理数的运算和实数的完备性定义实数
的运算
§4 有理数系的性质
• 自然数系及其运算 • 有理数系的建立 • 有理数的运算性质 • 有理数的序性质和稠密性质 • 有理数的不完备性
自然数系及其运算
• 上确界:设AQ, A, bQ叫做A的上确界, 如 果(1) b是A的上界, (2) c<b, aA, a>c
• 上确界的惟一性 • 序的完备性: 任何有上界的集合都有上确界 • 有理数的不完备性: 存在有理数有上界而没有
上确界的非空子集: • 例如{aQ | a>0, a^2<2} (习题)
§5 实数定义
• 实数的十进小数定义 • 有理数的十进小数表示 • 实数的序
实数的十进小数定义
• 实数的十进小数定义: 实数集合R定义为: {x:NZ|n>0,x(n){0,…,9};k>0,n>k, x(n)<9} • 为了回归中学的习惯, 引入下列术语:
– x(0)叫作实数x的整数部分, 记作[x]; – k>0, x(k)叫作x的第k位小数, 记作xk ; – x也写成: x=[x]+0.x1x2… – 记{x}= 0.x1x2…叫作x的小数部分 – n>0, sn(x)=[x]+0.x1x2…xn叫作x的n位小数(舍值)近
§2 定义实数遇到的困难
• 如何从有限小数过渡到无限小数 • 基本想法都是利用有理数序列逼近(极限),
这就有两个问题
– 引入序列和极限等相关的概念 – 即便如此, 也要先定义清楚作为极限的实数
• 虽然知道实数的众多性质, 如何写出一个 逻辑上正确、清晰和不难接受的实数理 论仍然有待努力
§3 我们如何定义实数
• 乘法与加法之间满足分配律: a(b+c)= ab+ac
• 0是加法零元: a: a+0=a • 1是乘法单位元: a: a1=a • 每个数a有负数-a: a+(-a)=0 • 每个非零数a有倒数1/a: a(1/a)=1
有理数序的三歧性和稠密性
• 有理数序的三歧性: a,bQ, 则a<b, a=b, a>b 中有且仅有一种情形成立
为什么要讲实数理论
• 以往教材上关于实数处理的方式:
– 以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定义 – 以公理化方式定义实数来回避直接定义实数
• 上述处理方式的缺陷:
– 分割和基本列的方式定义需要引入一系列的 工具，并且与中小学教材脱节
– 公理化的方式使得学生困惑: 实数变的难以 理解了
• 应当与中小学教材衔接并讲清实数: 讲清 十进小数
• 序与加法和乘法的关系:
– a,b,cQ, a>b a+c>b+c – a,b,cQ且c>0, a>b ac>bc
• 记号: ab表示a<b或a=b; ab表示a>b或a=b • 有理数的稠密性: a,bQ, a<b, cQ: a<c<b
有理数的不完备性
• 上界: 设AQ, A, 若bQ使得aA, ab, 就称b为A的一个上界, 并且说A是有上界的
• 已经完成了逻辑地引入自然数系N={0,1, 2,…}的过程(上一章引入的)
• 加法运算就是数数,乘法运算就是一类特 殊数数的方法.
• 减法: 对小的数加多少的到大的数 • 除法: 分组 • 带余除法: 确定组数和余数 • 归纳法是论证工具
有理数系Q的建立
• 有理数可以看成是由为了在自然数系中 加、减、乘和除封闭而得到的最小集合
• 自然数到有理数的逻辑扩展:
– 由自然数及其笛卡尔积建立整数使得加、减、 乘封闭;
– 由整数及其笛卡尔积建立有理数使得加、减、 乘和除封闭
• 自然数到有理数的直观扩展: 引入负数和 所有正整数份数
有理数的运算性质
• 加法和乘法满足交换律: a+b=b+a, ab= ba与结合律:a+(b+c)=(a+b)+c, a(bc)= (ab)c
的出现,几何失去了其真实性;数学在哲学意义 上的真实性应当建立在算术基础上 (Gauss 1817)
实数理论
• 是指以有理数系为基础建立实数理论 • 以往的直观想法: 有理数的极限, 然而必
Байду номын сангаас须先存在才能谈极限
• William R. Hamilton, 1833, 1835提出无理 数的第一个处理, 以时间作为实数的基础. 提出用将有理数分成两类的方法定义无 理数
实数理论
• §1 数系理论发展简史 • §2 定义实数遇到的困难 • §3 我们如何定义实数 • §4 有理数系的性质 • §5 实数定义 • §6 实数的完备性 • §7 实数的运算性质 • §8 记号和实数的进一步性质
§1 数系理论发展简史
• 有趣的现象 • 实数理论简史 • 引入实数的方法 • 数系理论