第一讲巧数图形
巧数图形详解小学奥数ppt课件
A
三角形个数： 4+3+2+1=10
1 2 34
B C DE F
数三角形有时也可以用数线段的方法；有的图形要用 编号数图形的方法，还有的图形先要分成几部分分别 去数，再考虑几部分拼合起来看看有没有产生新三角 形。
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
拓展3、数出下面图形中分别有多少个三 角形？
蓝线退出后有8个三角形。 蓝线返回后增加7个三角形。
总共有：8+7= 15 个
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
搌4、数出下面图形中分别有多少个三角 形？
可看成由这个图形的3 个组合，单独一个有16 个三角形。
组合后增加8个三角形。
总共16×3+8=56
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
拓展9：下面图形中有多少个三角形？
拆走2条线后有3个三角形。 返回第1条线后增5个三角形。 返回第2条线后增8个三角形。
还原大长方形则增4
个
总共24+4总= 共282个8个
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
谢谢使用
1 234 5
(4+3+2+1)×2=20 个
小学数学数图形个数的巧妙方法
数图形个数的巧妙方法［要点解析］１．怎样数一条直线上线段的条数？一条线上有n条独立线段，我们将它们编号为1，2，3，…，n，则这条直线上所有线段的条数是：1＋2＋3＋…＋n２．用数线段条数的方法，也可以数数角、三角形、长方形和立方体的个数。
［范例解析1］例1数出图5-1中各条线上线段的总条数。
⑴ └──┴──┴──┘⑵ └─┴─┴─┴─┴─┴─┘分析⑴图中线上有三条独立线段，我们将这三条独立线段编上号，如图5-2：1 2 3└──┴──┴──┘图5-2现在，我们这样来数，其中单独的线段有：⑴、⑵、⑶这三条；由两条独立线段合并成一条线段的有：（1，2）、（2，3）这两条；由三条独立线段合并成一条线段的有：（1，2，3）这一条。
由3＋2＋1 =6（条），我们数得图中有6条线段，他趣的是，这个得数6正是我们所编号码1、2、3这三个连续数的和。
这是不是巧合呢？我们再来看⑵和⑶的结果。
⑵我们仿照⑴的作法将⑵图中的独立线段编上号码，如图5-3：1 2 3 4 5 6└─┴─┴─┴─┴─┴─┘图5-3单独的线段有：⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹一共6条；两条合并成一条有：（1，2）、（2，3）、（3，4）、（4，5）、（5，6）一共5条；三条并成一条的有：（1，2，3）、（2，3，4）、（3，4，5）、（4，5，6）一共有4条；四条并成一条的有：（1，2，3，4）、（2，3，4，5）、（3，4，5，6）一共有3条；五条并成一条的有：（1，2，3，4，5）、（2，3，4，5，6）一共有2条；六条并成一条的有：（1，2，3，4，5、6）只1条。
总条数也正好是编号的六和连续数的和，即1＋2＋3＋4＋5＋6 21（条）。
说明：从上例的分析解答过程，我们可得数线段的方法，通过这种方法，我们得到一个重要的规律，这就是：单条线上线段的总条数，都等于从1开始的几个连续数的和（有几条独立线段就有几个连续数）。
这样，我们就将问题由数数转化成计算，它的优点是：不重复，不漏算。
(第一讲)巧数图形
做事情要有条理！
例（6）如图10-12，数一数，图中有多少个 三角形？
做事情要有条理！
例（7）如图10-25，数一数，图中共有多少 个三角形？
小朋友们，通过这堂课程的学习，我 们明白了“数图形原来还是有技巧的”， 同时我们也明白了“做事情要有条理”！ 在生活中我们要培养这种良好的习惯，比 如说：自己的房间要收拾好，书放在书柜、 衣服放在衣柜等等，而且学习也要做规划， 这样我们才能有条理的完成每天该做的事 情！
巧数图形
优☆100数学大讲堂 刘老师 2013-9-3
小朋友们，这节课程刘老师要带领大家一起来学习数 图形。数图形包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、 数三角形等，这看似简单，其实其中学问可大了。为了能 准确地数出结果，我们必须有次序、有条理地数，既不能 遗漏，也不能重复。只要我们掌握了数的方法，就能数得 又对又快。
本节课程回归到生活中的主题：
做事情要有条理！
做事情要有条理！
例（1）下图中有多少条线段？
做事情要有条理！
例（2） 数出下面图中共有多少条线段？
做事情要有条理！
例（3）数出下面图形中共有多少个三角形？
做事情要有条理！
ห้องสมุดไป่ตู้
例（4）数一数图中共有多少个三角形？
做事情要有条理！
例（5）如图10-13，数一数下面的三个图形 中分别有多少个三角形。
第一讲巧数图形
第一讲巧数图形小朋友，我数学上学了四形，你得他的特点？你是不是做下面的种：中共有（）个平行四形属于我奥数里的一个：巧数形，你能迅速的数出来？有没有什么巧妙的法呢？在我一同看一下吧。
一、数段例1数出右中共有多少条段。
方法一：找律数段。
共有3＋2＋1＝6(条)。
方法二：分数段。
共有3＋2＋1＝6(条)。
例2．数出右侧中共有多少条段？剖析：段有一个重要特点：段都是笔直的．因此我在数的候，必然幅分红四个部分，每一部分分采用以段左端点分数的方法，尔后把四部分算得果加起来．第一部分从A到E共有4＋3＋2＋1＝10条段．第二部分从G到J共有4＋3＋2＋1＝10条段．第三部分是FG一条段．第四部分是JK一条段．10＋10＋1＋1＝22(条)例3．一条段上共有10个点，以10个点端点的不相同段共有多少条？剖析：一条段上有10个点，那么我先把段画出来因此，共有段：9＋8＋⋯＋3＋2＋1＝(9＋1)×9÷2＝45(条)：1、找律数段：一般地，若是段上有几个点(其中n是大于或等于2的自然数)，那么以n个点端点的段共有：(n－1)＋(n－2)＋⋯＋3＋2＋1＝n×(n－1)÷2；2、分数段：以下形中各有多少条段？（3）二、数角例4．右侧形中有几个角？剖析方法和数段相同（）个角（）个角三、数三角形例5．数出下面中共有多少个三角形？方法一数三角形个数的方法与数段的方法差不多．方法二我能够，能够抓住底BC来考，底BC中所包含的每一条段都恰巧一个三角形．底左端点是B的三角形共有△BDA、△BEA、△BCA三个．底左端点是D的三角形共有△DEA、△DCA两个．底左端点是E的三角形只有△ECA一个．因此一共有三角形：3＋2＋1＝6(个)．方法三我们把图中△ABC、△ACD、△ADE看作基本三角形：由1个基本三角形组成的三角形有△ABC、△ACD、△ADE；由2个基本三角形组成的三角形有△ABD、△ACE；由3个基本三角形组成的三角形有△ABE。
巧数图形 知识点总结
巧数图形知识点总结一、巧数图形的定义巧数图形是用数的巧妙组合构成的图形，它们的特点是构造简单、形状美观、规律性强。
巧数图形可以用来培养学生的数学想象力和创造力，同时也可以帮助学生建立几何直观概念，加深对数学知识的理解和应用。
巧数图形的构造方法主要有以下几种：1. 数列构造法：通过数列的递推关系构造图形，例如斐波那契数列、等差数列、等比数列等；2. 几何构造法：通过几何图形的组合构造出新的巧数图形，例如通过三角形、矩形、正多边形等的组合；3. 代数构造法：通过代数式的变换构造出巧数图形，例如平方差公式、配方法、因式分解等。
二、巧数图形的常见类型1. 斐波那契数列构成的图形：斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的每一项都是前两项之和，即f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1。
将斐波那契数列的相邻两项相连，可以构成一些特殊的图形，如斐波那契螺旋、斐波那契凤凰等。
2. 等差数列构成的图形：等差数列是一个常见的数学概念，它的每一项与前一项的差都相等。
将等差数列的项以一定的规律布局在平面上，就可以构造出一些规律性强、形状美观的图形，如等差数列的排列图形、螺旋图形等。
3. 等比数列构成的图形：等比数列是另一个常见的数学概念，它的每一项与前一项的比都相等。
将等比数列的项以一定的规律布局在平面上，就可以构造出一些具有规律性的图形，如等比数列的排列图形、螺旋图形等。
4. 几何图形的组合：通过组合几何图形，可以构造出一些特殊的图形，如通过三角形的组合构造出五角星、六边形的组合构造出六芒星等。
5. 代数式的变换：通过一些代数式的变换，也可以构造出一些具有规律性和美观性的图形，如通过平方差公式构造出差平方图形、通过因式分解构造出差方形图形等。
三、巧数图形的特性巧数图形具有一些特殊的性质和规律，以下是一些常见的特性：1. 对称性：许多巧数图形都具有对称性，即可以通过某种轴对称变换得到自身。
对称性是一个非常重要的性质，它可以帮助我们更好地理解和分析图形的结构和特点。
巧数图形(课堂PPT)
AB C D E F
5+4+3+2+1=15（条 ）
6+5+4+3+2+1=21（条 ）
Page 4
练一练
4+3+2+1=10（条 ）
5+4+3+2+1=15(条)
共计：10+15=25（条）
Page 5
数一数，下图中有几个角？
O
C
D
32 1 总共：3+2+1=6（个） 角的个数=基本角数一直加到1
【思路导航】 边长是1个长度单位的正方形有6×3=18个， 边长是2个长度单位的正方形有5×2=10个，
32 边长是3个长度单位的正方形有4×1=4个。
所以，图中正方形的总数为：6×3+5×2+4×1= 个
经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被 分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的） 那么正方形的总数为： mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.
第二，不漏数，不重复数。 第三，掌握数图形的规律方法。 按点分类，按边分类，按块分类 第四，按照公式，得出结果。 。
Page 17
例2：数一数，下图中有多少个正方形？（每个小 方格是边长为1的正方形）
3×3=9个 2 ×2=4个 1 ×1=1个
总共：9+4+1=14个
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数正方形
4 ×4=16
3 ×3=9 2 ×2=4
1 ×1=1
总共：16+9+4+1=30（个
Page 19
由相同的n×n个小方格组成 的几行几列的正方形其中所含的 正方形总数为： 1×1＋2×2＋…＋n×n。
巧数图形
第一讲巧数图形数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。
数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握一定的方法和技巧。
几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。
通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、去思考问题的良好习惯，同时提高我们通过观察、思考去探寻事物规律的能力。
要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。
一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素。
因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的。
例1、数一数，图中有多少条线段？分析与解：如果我们按照一定的顺序从左往右数，就会发现：以A点为共同端点的线段有：AB AC AD AE AF 5条；以B点为共同端点的线段有：BC BD BE BF 4条；以C点为共同左端点的线段有：CD CE CF 3条；以D点为共同左端点的线段有：DE DF 2条；以E点为共同左端点的线段有：EF 1条；总数为：5+4+3+2+1=15条。
用图示法表示更为直观明了，如右图。
想一想：①由例1可知，一条线段AF上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段。
由此猜想如下规律（见右图）：……………………还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数，经过验证后，能从中得出这样一个结论：当一个图形中包含的所有线段都在同一条直线上时，线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比图形中的总端点数少1.②如果我们把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么线段的总条数也是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见下图）。
基本线段数线段总条数……………………是不是存在这样的规律，同学们可以自己再举些例子试试看。
第一讲 巧数图形ppt课件
(2) 数一数，下图中有几个三角形 第一层：4+3+2+1个 总共：10×2=20 个 第二层：4+3+2+1个
模仿提升3 数一数，下图中有几个三角形
顶为A、底在BD上三角形：3个
A
顶为E、底在AD上三角形：6-1个
B
顶为F、底在AD上三角形：6-1个
C
顶为B、底为EF上三角形： 1个
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
握手次数：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =10+9+1+8+2+7+3+6+4 +=555
第二小节：数角
例1 数一数，下图中一个有几个角？
第一招：按边分类
以OA为上边：3个 以OB为上边：2个 以OC为上边：1个
共有： 3+2+1=6 个锐角 O
但这种方法只适合于数同一顶点上的角！
数一数，下图中有(
)个角
提示：先按角的顶点分类， 再数出每个顶点上的角
以A顶点的角：3+2+1 个 以B或E为顶点的角： 1个
A
１２３
以C或D为顶点的角： 2个
共有：6+1×2+2×2=12 个角B C D E 两招合一，轻松解决这一题！
休息一下，马上回来>>
16个
四个基本三角形组成的△： 7个
九个基本三角形组成的△： 3个
十六个基本三角形组成的△： 1个
共有：
16+7+3+12=7 个
第一讲、数图形
教案模板-新思维.docx编号：01课时教案授课教师杨老师地点新思维时间学生年级小四科目数学课题数图形个数教学过程数图形个数知识要点同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。
（1）弄清楚图形中包含的基本图形是什么，有多少个。
（2）从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少。
（3）有些图形被分成几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和。
（4）几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。
按照一定顺序去观察、通过观察、思考去探寻事物规律。
要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。
认识基本图形: 直线、射线、线段直线：直线是向两个方向无限延伸着的（没有端点）． 直线AB ．线段：直线上两个点之间的部分叫做线段．（两个端点） 线段AB ；线段a 射线：线段向一个方向无限延伸就是射线. （1个端点） 射线AB典型例题一、数线段【例题1】数出下图中有多少条线段？【思路导航】方法一：我们可以采用以线段左端点分 类数的方法。
以A 点为左端点的线段有：AB 、AC 、AD 3条； 以B 点为左端点的线段有：BC 、BD 2条； 以C 点为左端点的线段有：CD 1条。
所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。
方法二：把图中线段 AB 、BC 、CD 看做基本线段来数，那DA B CABaABA B么，由1条基本线段构成的线段有：AB 、BC 、CD 3条； 由2条基本线段构成的线段有:AC 、BD 2条； 由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。
所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。
线段条数=（端点数-1）+（端点数-2）+（端点数-3）...+1线段条数=端点数×（端点数-1）÷ 2 练习1：数出下图中有多少条线段？二、数角【例题2】数出图中有几个角？【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
巧数图形详解-小学奥数
题目三：数长方形
总结词
数长方形是巧数图形中的高级题目，主要考 察学生的空间想象力和细致的观察能力。
详细描述
题目通常会给出一张由不同形状组成的图形 ，其中包含长方形。学生需要通过空间想象 和细致的观察，数出长方形的数量。在数长 方形的过程中，学生需要注意长方形的定义 ，即两组相对边等长。此外，学生还需要注 意长方形可能存在不同的方向和旋转，确保
枚举法
总结词
逐一列举所有可能的情况，找出符合条件的结果。
详细描述
枚举法适用于图形数量较少、情况较为简单的问题。在解题时，需要逐一列举出 所有可能的情况，并逐一检验是否符合题目要求。通过排除不符合条件的情况， 最终找出符合条件的结果。
排除法
总结词
通过排除不符合条件的情况，逐步缩小范围，最终找出答案。
常见类型与实例
类型
常见的巧数图形题目包括数线段、数三角形、数正方形、数 立方体等。
实例
如数线段，给定一条直线段，在直线段上任意取n个点，将线 段分成n+1段，求这些小段的线段长度之和。
巧数图形的解题思路
观察
首先观察题目所给的图 形，寻找其中的规律或
特征。
分析
分析图形的构成和数量 关系，确定解进行逻 辑推理，得出正确的答
案。
计算
进行必要的计算，得出 最终答案。
02 巧数图形的解题技巧
观察法
总结词
通过细致观察图形特点，找出规律，解决问题。
详细描述
观察法是解决巧数图形问题的一种常用方法。在解题过程中，首先要仔细观察 图形，注意图形的形状、大小、对称性等特征，以及各图形之间的相互关系。 通过观察找出规律，从而解决问题。
详细描述
排除法是解决巧数图形问题的一种常用方法。在解题过程中，首先根据题目的要求和图形的特征，排除一些不可 能的情况。然后逐步缩小范围，最终找出符合条件的结果。排除法可以有效地减少计算量，提高解题效率。
巧数图形(课堂PPT)
【思路导航】 边长是1个长度单位的正方形有6×3=18个， 边长是2个长度单位的正方形有5×2=10个，
32 边长是3个长度单位的正方形有4×1=4个。
所以，图中正方形的总数为：6×3+5×2+4×1= 个
经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被 分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的） 那么正方形的总数为： mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.
AB C D E F
5+4+3+2+1=15（条 ）
6+5+4+3+2+1=21（条 ）
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练一练
4+3+2+1=10（条 ）
5+4+3+2+1=15(条)
共计：10+15=25（条）
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数一数，下图中有几个角？
O
C
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32 1 总共：3+2+1=6（个） 角的个数=基本角数一直加到1
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数线段： 线段条数=基本线段数一直加到1
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因此，共有线段：
9+ 8+-+ 3 + 2+ 1 = (9 + 1) X 9- 2= 45(条)
第一讲 巧数图形
小朋友们，我们数学课上学习了四边形，你还记得他们的特点吗？你们是 不是做过下面的这种题：
这属于我们奥数里边的一个专题：巧数图形，你能快速的数出来吗？有没有什 么巧妙的办法呢？现在让我们一起看一下吧。
、数线段
例1数出右图中共有多少条线段。
[ t F
方法一：找规律数线段。
共有3+ 2+ 1 = 6（条） 方法二：分类数线段。
共有3+ 2+ 1 = 6（条）
例2•数出右面图中共有多少条线段？
解析：线段有一个重要特征：线段都是笔直的•所以 我们在数的时候，必须将这幅图分成四个部分，每一 部分分别采用以线段左端点分类数的方法，然后把四 部分算得结果加起来.
第一部分从A 到E 共有4+ 3+ 2+ 1= 10条线段. 第二部分从G 到J 共有4+ 3+ 2+ 1= 10条线段. 第三部分是FG —条线段. 第四部分是JK 一条线段.
10 + 10+ 1 + 1= 22（条）
例3. 一条线段上共有10个点，以这10个点为端点的不同线段共有多少条?
分析：一条线段上有10个点，那么我们先把线段画出来
I
I I I I J I J I
总结：1、找规律数线段：
一般地，如果线段上有几个点（其中n 是大于或等
于2的自然数），那么以这n 个点为端点的线段共有：
(n — 1) + (n — 2) +…+ 3+ 2+ 1 = n X (n — 1) -2; 2、分类数线段
练习：下列图形中各有多少条线段?
（）个角 三、数三角形 例5•数出下面图中共有多少个三角形？
方法一数三角形个数的方法与数线段的方法差不多. 方法二
我们可以发现，可以抓住底边 BC 来考虑，底边 中所包含的每一条线段都恰好对应一个三角形.
底边左端点是B 的三角形共有△ BDA △ BEA △ BCA 三个. 底边左端点是D 的三角形共有△ DEA △ DCA 两个. 底边左端点是E 的三角形只有△ ECA 一个.
二、数角
例4•右面图形中有几个角? 分析方法和数线段相同
练习
BC
(]j I I I I I I |
*
垣A 2爲冷& k A 7
D
）个角
所以一共有三角形：3 + 2+ 1 = 6（个）. △ ABC △ ACD △ ADE 看作基本三角形:
例6•数一数图中共有多少个三角形?
思路分析：我们可以将这幅图分成三个部分来数，即下面三幅图.
例9.数出下面图形中共有多少个三角形?
方法三 我们把图中
由1个基本三角形构成的三角形有 由2个基本三角形构成的三角形有 由3个基本三角形构成的三角形有
△ ABC △ ACD △ ADE △ABD △ ACE △ ABE 所以 3+ 2+ 1 = 6
（个）
在厶ABC 中, 一共有5 + 4+ 3+ 2+ 1 = 15（个）三角形, 在厶ABD 中, 一共有5 + 4+ 3+ 2+ 1 = 15（个）三角形; 在厶BDC 中，一共有5个三角形.所以 15 + 15+ 5 = 35（个） 例7.图中共有多少个不同的三角形？
思路分析：可以用上一题的方法，也可以有另外的思路 横着看，有3个基本三角形，所以1+2+3=6 竖着看，有两行，所以三角形个数为 6X 2=12个 例8.数出下图中共有多少个三角形？
思路分析：这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数.把 图中最小的一个三角形看作基本图形. 由一个基本三角形构成的三角形共有 8个； 由两个基本三角形构成的三角形共有 4个； 由四个基本三角形构成的三角形共有
4 个.因此：8 + 4 + 4= 16（个）
B
D
°
B C
解析：分类数三角形
由一个基本三角形构成的三角形共有 9个; 由四个基本三角形构成的三角形共有 3个; 由九个基本三角形构成的三角形只有 1个. 因此9+ 3+ 1 = 13(个)，所以，图形中共有 例10.数出下图中共有多少个三角形？
思路分析：分类编号 由一块形成的三角形有4个；
由两块拼成的三角形有5个，分别是①+②
①+③③+④②+④⑤+⑥;
由三块拼成的三角形有两个，分别为①+③+⑤，②+④+⑥； 由四块拼成的三角形有1个，即是①+②+③+④； 没有由五块拼成的三角形；
由六块拼成的三角形有1个，即最大的三角形. 所以，图中三角形一共有4+ 5 + 2+ 1 + 1 = 13(个). 总结：1、找规律数三角形 2、纵横数三角形
3 、分类数三角形
13个三角形
.
()个三角形
练习：下列图形中各有多少个三角形?
()个三角形 ()个三角形
所以，图中共有4+ 4+ 1+ 1= 10（个）正方形. 例13. 数出图中共有多少个正方形？
方法一：根据正方形边长的大小，我们将它们分成四类: 第1类：边长为1的正方形有24个； 第2类：边长为2的正方形有13个；
四、数四边形 例11.
数出各图中正方形的个数. 数出各图中正方形的个数.
9 解析：（1）中最基本的正方形有9个（9 = 3X 3）;
3X 3); 由4个基本正方形组成的正方形有
4个（4 = 2X 2）;
由9个基本正方形组成的正方形有1个（1 = 1 X 1） 所以共有正方形9+ 4+ 1= 14（个）.
⑵ 中边长为1的正方形有16个，即16= 4X 4;
边长为2的正方形有9个，即9= 3X 3; 边长为3的正方形有4个，即4= 2X 2; 边长为4的正方形有1个，即1= 1 X 1. 所以共有正方形有16+ 9 + 4+ 1 = 30（个）.
例12.
图中共有多少个正方形?
解析：将正方形分类, 由两块小三角形构成的正方形有 4个; 由四块小三角形构成的正方形有 4 个; 由八块小三角形构成的正方形有
1 个;
由十六块小三角形构成的正方形有1个. 三、五、七、六、九、十、十 由一 不能构成正方形.
十三、十四、十五块小三角形
第3类：边长为3的正方形有4个；
第4类：边长为4的正方形有1个.
所以图中共有24 + 13+ 4+ 1 = 42(个)正方形.
方法二：如果把四条边长多出的8个小正方形去掉，很容易得出共有1X1+ 2 X 2+ 3X 3+ 4X 4= 30(个)正方形，添上了去掉的小正方形后，这8个小正方形还能再和其他图形组成4个新的正方形.
所以，图中共有30+ 8 + 4 = 42(个)正方形.
例14:在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个?
解析：按包含的小块分类计数。
包含1小块的有1个；包含2小块的有4 个;
包含3小块的有4个；包含4小块的有7 个;
包含5小块的有2个；包含6小块的有6 个;
包含8小块的有4个；包含9小块的有3 个;
包含10小块的有2个；包含12小块的有4 个;
包含15小块的有2个所以共有1+ 4 + 4+ 7 + 2 + 6+ 4+ 3 + 2 + 4 +
2=39（个）。
例题15 如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？
分析把相邻的两点连接起来可以得到下面图形，从图
中可以看出：
(1)最小的正方形有6个；
(2)由4个小正方形组合而成的正方形有2个;
(3)中间还可围成2个正方形。
所以共有6 + 2 + 2=10个。
1/X\ \X P
例16. 下面两幅图中各有多少个长方形？思路分析：（1）找规律数长方形。
所以，图中长方形共有4+ 3 + 2+ 1
（2）纵横数长方形
横着看有三排，3+2+1=6
竖着看有两行，1+2=3.
所以，图中共有长方形6X 3= 18（个）.
例17. 下图中共有多少个长方形？
思路分析：分类数长方形
我们可以先将大长方形中的5小块编上号：
这5块都是符合要求的长方形.
由两小块拼成的长方形，共有4个，即①+②，②+③，③+④，④+⑤;
由三小块拼成的长方形，共有2个，即①+③+④，③+④+⑤；没有由四小块拼成的长方
形；
由5小块拼成的长方形只有最大的一个.
所以，图中共有5+ 4+ 2+ 1= 12（个）长方形.
例18
②
③④⑤
(2)
C 1+2+3+445+&) X C1+2-3)+ C1-2+3)X (1+2-3+4)- (1+2H)X (1+2+3)=150
练习
1, 数一数
()个正方形()个长方形
2. 下列图形中各有多少个长方形？
3. 下列图形中，不含“*”号的三角形或长方形各有几个?
()个平行四边形。