第一讲巧数图形

因此，共有线段：

9+ 8+-+ 3 + 2+ 1 = (9 + 1) X 9- 2= 45(条)

第一讲 巧数图形

小朋友们，我们数学课上学习了四边形，你还记得他们的特点吗？你们是 不是做过下面的这种题：

这属于我们奥数里边的一个专题：巧数图形，你能快速的数出来吗？有没有什 么巧妙的办法呢？现在让我们一起看一下吧。 、数线段

例1数出右图中共有多少条线段。

[ t F

方法一：找规律数线段。共有3+ 2+ 1 = 6（条） 方法二：分类数线段。

共有3+ 2+ 1 = 6（条）

例2•数出右面图中共有多少条线段？

解析：线段有一个重要特征：线段都是笔直的•所以 我们在数的时候，必须将这幅图分成四个部分，每一 部分分别采用以线段左端点分类数的方法，然后把四 部分算得结果加起来.

第一部分从A 到E 共有4+ 3+ 2+ 1= 10条线段. 第二部分从G 到J 共有4+ 3+ 2+ 1= 10条线段. 第三部分是FG —条线段. 第四部分是JK 一条线段.

10 + 10+ 1 + 1= 22（条）

例3. 一条线段上共有10个点，以这10个点为端点的不同线段共有多少条?

分析：一条线段上有10个点，那么我们先把线段画出来

I

I I I I J I J I

总结：1、找规律数线段：

一般地，如果线段上有几个点（其中n 是大于或等

于2的自然数），那么以这n 个点为端点的线段共有：

(n — 1) + (n — 2) +…+ 3+ 2+ 1 = n X (n — 1) -2; 2、分类数线段

练习：下列图形中各有多少条线段?

（）个角 三、数三角形 例5•数出下面图中共有多少个三角形？

方法一数三角形个数的方法与数线段的方法差不多. 方法二

我们可以发现，可以抓住底边 BC 来考虑，底边 中所包含的每一条线段都恰好对应一个三角形.

底边左端点是B 的三角形共有△ BDA △ BEA △ BCA 三个. 底边左端点是D 的三角形共有△ DEA △ DCA 两个. 底边左端点是E 的三角形只有△ ECA 一个.

二、数角

例4•右面图形中有几个角? 分析方法和数线段相同

练习

BC

(]j I I I I I I |

*

垣A 2爲冷& k A 7

D

）个角

所以一共有三角形：3 + 2+ 1 = 6（个）. △ ABC △ ACD △ ADE 看作基本三角形:

例6•数一数图中共有多少个三角形?

思路分析：我们可以将这幅图分成三个部分来数，即下面三幅图.

例9.数出下面图形中共有多少个三角形?

方法三 我们把图中

由1个基本三角形构成的三角形有 由2个基本三角形构成的三角形有 由3个基本三角形构成的三角形有

△ ABC △ ACD △ ADE △ABD △ ACE △ ABE 所以 3+ 2+ 1 = 6

（个）

在厶ABC 中, 一共有5 + 4+ 3+ 2+ 1 = 15（个）三角形, 在厶ABD 中, 一共有5 + 4+ 3+ 2+ 1 = 15（个）三角形; 在厶BDC 中，一共有5个三角形.所以 15 + 15+ 5 = 35（个） 例7.图中共有多少个不同的三角形？

思路分析：可以用上一题的方法，也可以有另外的思路 横着看，有3个基本三角形，所以1+2+3=6 竖着看，有两行，所以三角形个数为 6X 2=12个 例8.数出下图中共有多少个三角形？

思路分析：这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数.把 图中最小的一个三角形看作基本图形. 由一个基本三角形构成的三角形共有 8个； 由两个基本三角形构成的三角形共有 4个； 由四个基本三角形构成的三角形共有

4 个.因此：8 + 4 + 4= 16（个）

B

D

°

B C

解析：分类数三角形

由一个基本三角形构成的三角形共有 9个; 由四个基本三角形构成的三角形共有 3个; 由九个基本三角形构成的三角形只有 1个. 因此9+ 3+ 1 = 13(个)，所以，图形中共有 例10.数出下图中共有多少个三角形？

思路分析：分类编号 由一块形成的三角形有4个；

由两块拼成的三角形有5个，分别是①+②

①+③③+④②+④⑤+⑥;

由三块拼成的三角形有两个，分别为①+③+⑤，②+④+⑥； 由四块拼成的三角形有1个，即是①+②+③+④； 没有由五块拼成的三角形；

由六块拼成的三角形有1个，即最大的三角形. 所以，图中三角形一共有4+ 5 + 2+ 1 + 1 = 13(个). 总结：1、找规律数三角形 2、纵横数三角形

3 、分类数三角形

13个三角形

.

()个三角形

练习：下列图形中各有多少个三角形?

()个三角形 ()个三角形

所以，图中共有4+ 4+ 1+ 1= 10（个）正方形. 例13. 数出图中共有多少个正方形？

方法一：根据正方形边长的大小，我们将它们分成四类: 第1类：边长为1的正方形有24个； 第2类：边长为2的正方形有13个；

四、数四边形 例11.

数出各图中正方形的个数. 数出各图中正方形的个数.

9 解析：（1）中最基本的正方形有9个（9 = 3X 3）;

3X 3); 由4个基本正方形组成的正方形有

4个（4 = 2X 2）;

由9个基本正方形组成的正方形有1个（1 = 1 X 1） 所以共有正方形9+ 4+ 1= 14（个）.

⑵ 中边长为1的正方形有16个，即16= 4X 4;

边长为2的正方形有9个，即9= 3X 3; 边长为3的正方形有4个，即4= 2X 2; 边长为4的正方形有1个，即1= 1 X 1. 所以共有正方形有16+ 9 + 4+ 1 = 30（个）.

例12.

图中共有多少个正方形?

解析：将正方形分类, 由两块小三角形构成的正方形有 4个; 由四块小三角形构成的正方形有 4 个; 由八块小三角形构成的正方形有

1 个;

由十六块小三角形构成的正方形有1个. 三、五、七、六、九、十、十 由一 不能构成正方形.

十三、十四、十五块小三角形