2.1几何证明概述
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B ADC ADC B. ABC ABC . [证毕]
思考：以上证明一定成立吗？ 可考虑 BC AC R 1 的特例，
BC AC R 1
即得：“同园内接两三角形，若有 两边分别相等，则必全等”这显然 不成立！(如下页图)
例3 一个三角形的两边 和其中一边的高，同另一三 角形的两边和其中一边的高 对应相等，则此两个三角形 全等.(这曾经是我国初中课本 上的一道习题) 证题思路如下图：
② ABC 中(4) AB平分BC (3) AD BC
（2）AD平分A (3) AD BC
（）AB AC 1
1 ③ ABC 中（）AB AC （2）AD平分A (4) AB平分BC
（）AB AC 1 (3) AD BC ④ ABC 中 (4) AB平分BC （2）AD平分A
2.1.3分析法与综合法 1. 分析法 ——执果索因 D( 果 ) 向下 找结 论的 充分 „„ 条件 B4
C1 C
C2
„„ B B2 B B 1 3
A (因)
例6 ABCD 外接于 EFGH，则它们的 对角线共点。 证法一： （用分析法证） 欲证它们对角线 共点. 只需证AC与EG互相平分. 即只需证AECG是平行四边形. 又只需证AE=CG. 又只需证AEH CGF ，而此容易 得证.
BC AC OC , (O, O是外心) BC AC OC 1 BC OC MC OC 2 ,或 则 1 M C OC BC O C 2 Rt MOC Rt M C, O A MOC M OC A.
a 2 b2 c 2 d 2 2cos (e1 f 2 e2 f1 e2 f 2 e1 f1 ) 2ef cos
上述步骤每步均可逆，故原结论获证. 注：此例结论成为布瑞须赖尔德(Brets chneider，1808~1878)公式. c
f1 e2
d
b
e1
5、证明要严谨 证明中常见的错误有：论题错误、论 据不足、论证不充分等 判断一个命题不成立，通常是找反例. 例1 有一组对边相等和一组对角相等的 四边形是平行四边形
D C
题设：四边形ABCD 中, AD=BC, ∠A=∠C. 求证：ABCD是平行四 边形.
A
B
证明：如图做辅助线 (证明略)
D
F
C
第二章 几何证明
本章研究的主要内容： 一、几何证明及其方法 二、几类常见几何问题的证明
三、几个著名的几何定理
§2.1 几何证明概述
2.2.1 命题及其结构
1、命题的四种形式（变化） ★命题的构成 前提（题设）……结论…… 命题可分为真命题与假命题 （假言命题） ★数学命题的一般形式 若P，则Q. 或 P Q 符号“ ”表示推出.
例8 如图，四边形 ABCD的一条对角线 BD 平行于两对对边之交点的连线 EF，求证： AC 平分 BD . (1978年全国数学竞赛题) A 分析：欲证的是线段 等量关系，可试运用比例 M 线段转化来探讨，但又不 B D 易直接证（若作辅助线证 C E F N 又另当别论），从而运用 分析法来求解. 证明： 设AC交BD于M，交EF于N，则
AE 2 AF 证法二： 欲证 ， ED FB F AE AF 只需证 ED FB 即可. G 2
f2
a
⑬ 构作性分析法 如果在从结论向已知条件追溯过程中， 在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处，需 采取相应的构作性措施：如假设一些条件， 作某些辅助图或式等，再进行探索、推导， 才能追溯到原命题的已知条件（或稍作变形 处理）的分析法叫做构作性分析法。
例10 如图，AD 是 ABC 的中线，任意引 直线 CF 交 AB 于 F ，交 AD 于 E .求证：.
BM MD . EN NF
要证 BM=MD,作方向 猜测，只需证 NE=NF 或
BM EN 1 即可. MD NF
E B
A
M
C N
D F
事实上这不容易证， 于是再作方向猜测，欲证BM=MD，只需
BM MD 2 2 证 BM MD 或 MD BM 即可. MD EN BM EN 而 ,从而只需证 BM NF 即可. MD NF MD BM 又只需证 即可. EN NF
③ ④
⑪ 选择性分析法
选择性分析法解题，就是从要求解的结论B出 发，希望能一步步把问题转化，但又难以逆推转 化，进而转化为分析要及到结论B需要什么样（充 分）的条件，并为此在探求的“三岔口”作方向猜想 和方向择优。假设有条件C就有结论B，即C就是选 择找到的使B成立的充分条件（CB）；同样的，再 分析在什么样的条件下能选择及到C，即DC；…； 最终追溯到此结论成立或命题的某一充分条件（或 充分条件组）恰好是已知条件或已知结论A为止。 在运用选择性分析法解题时，常使用短语： “只需·即可”来刻划。 · ·
（）AB AC (3) AD BC 1 ⑤ ABC 中 (4) AB平分BC （2）AD平分A
A
B
D
C
3、充分条件、必要条件与充要条件 分析如下命题： (1)平行四边形对角线互相平分. (2)菱形对角线互相垂直. 4、证明的意义 ★证明的含义和作用 ★证明的组成 ①论题——即要证明的问题 ②论据——即已知为真的命题 ③论证——即一系列的推理
例5 直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半。 已知： 求证：
证明：（用穷举法）
② 同一法 当欲证某图形具有某种性质而又不易 直接证明时，有时候可以作出具有所示性 质的图形，然后证明所作图形就是同一个， 把它们等同起来。这种证法叫做同一法。 能用同一法证明的命题，实际上是依 据事实：具有所示性质的图形是唯一的。 例5 以正方形ABCD的一边CD为底向形 内作等腰三角形ECD使其两底角为 15 ，则 是等边三角形。
AE 2 AF ED FB
A
分析：注意到题 中有中点，而求证式 是一个比较特殊的比 例式.需要转化来求解. 证法一：
F
G
E
B
H
D
C
AE AF AE 2 AF 欲证， FB 只需证 2 ED FB 即可. ED
若延长AD至H，使，则只需证EF∥BH.
而由题设， D为BC中点，则BHCE为平 行四边形，即有EF∥BH. 故原命题获证.
如“等腰三角形顶角的平分线也是底边 的中垂线”
（）AB AC 1 (3) AD BC ABC 中 （2）AD平分A (4) AB平分BC 此命题有5个逆定理.
（）AB AC (3) AD BC 1 ① ABC 中 （2）AD平分A (4) AB平分BC
注意到计算四边形 的另一形式的面积公式 (由三角形面积公式推导 而来)，两对角线夹角为 1 时， ef sin ，则需证 S
2
d
b
e1
f2
a
4e f 4e f (a c b d ) sin
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
(a2 c2 b2 d 2 )2 4e2 f 2 2 cos 即 则需证 a2 c2 b2 d 2 2ef cos 再注意到余弦定理，如图有 a2 e12 f22 2e1 f2 cos c 2 2 2
思考：以上证明有 E 问题吗？ A 问题出在哪里？能举出反例吗？ 如右下图所示，作等腰三 D 角形DAE，在AB边上任取一 点B，作等腰梯形BEDC. 得四边形ABCD. 显然四 边形ABCD符合题目条件， ● 但ABCD非平行四边形.
A
B C
●
●
B
E
例2 设两个三角形有两边及外接圆半径成比例， 则必相似.(前苏联中学教材中定理) 证法一： 在如图两三角形中有
Leabharlann Baidu
MD MC BM 而 EN CN NF
,故欲证结论获证.
⑫ 可逆性分析法 如果在从结论向已知条件追溯的过程 中，每一步都推求的充分必要条件，那么 这种分析法又可叫可逆分析法。因而用可 逆分析法命题用选择性分析法一定能证明； 反之，用选择性分析法证明的命题，用可 逆性分析法不一定能证明。 在可逆性分析法的证明中，常用符号“ ” 来表示，或最后指出“上述每步可逆，故命 题成立”。
例9 凸四边形的四边长分别为 a, b, c, d ， 两对角线长为 e, f ，则四边形的面积为：
1 S 4e 2 f 2 (a 2 c 2 b 2 d 2 ) 2 4
①
c
f1 e2
证明： 欲证① ，则需证
16S 2 4e2 f 2 (a2 c2 b2 d 2 )2
① 反证法 反证法就是证明一个命题时，直接证明不 容易，而证明其逆否命题成的一种方法.
公理、定理 四者不相容或(说 P成立) 定义、题设 运用反证法证明的一般步骤是： Ⅰ 否定结论； Ⅱ 由此结合已知 推出矛盾； 否定结论
Ⅲ 因此原结论不能为假，只能为真。
反证法的类型： 归谬法 ——结论的反面只有一款。 穷举法 ——结论的反面有若干款。 应用举例： 例4 园内不是直径的两弦，不能平分。 已知： 求证： 证明：（用归谬法 证）
A
O N
B
M
C
A
O
N C
同理可证：B B ABC ABC . 故
B
M
证法二：如图，则因
BC AC 2R , ( R, R 表圆半径) BC AC 2 R 可见 BCD BCD, ACD ACD.
从而 A BDC BDC A,
★命题的换位——逆命题 命题的换质——否命题 ★命题的四种形式 原命题： 若P,则Q.
互 否 否命题： 若P,则Q. (互逆)
逆命题： 若P,则Q.
互 否 逆否命题： 若P,则Q.
互逆否 (互逆)
命题的四种形式的真假关系： 互为逆否的命题同真假 2、逆命题与逆定理 ★逆命题就是逆定理吗？ ★一个定理的逆定理是唯一的吗？.
作业： 1．例3中的结论成立吗？如不成立试举出 反例. 2. 写出命题“两直线夹角的平分线上一点距 此两边等远”的逆命题、否命题及逆否命题， 并证明其逆命题. 3. 证明：圆外切四边形的一双对边之和等 于另一双对边之和.叙述并证明其逆定理. 3题逆定理证明提示：(用反证法或同一法)
2.1.2 直接证法与间接证法 1. 直接证法与间接证法的意义 ⑪ 直接证法 本科公理 此前定义、定理 本题结论 本题题设 这种由原题入手的证明方法叫直接证法. ⑫ 间接证法 将一个命题改为它的等效命题来进行证 明，这样的证明方法叫间接正法.
例7 E 为 ABC 的中线AD 上任一点， 且 B C ，求证： EBC ECD. 证明：(用分析法) 欲证 EBC ECD ① 只需证 EC BE ② (注意到 EDB 与 EDC )
只需证 CDE BDE， 只需证 AC AB ， ④式显然成立.
证明：（同一法）
（3） 证明方法分类
直接证法 证明方法 间接正法 同一法 反证法 穷举法 归谬法
作业： 1.两圆相交，则其交点不能在连心线的同侧. 2. 若 ABC 与 ABC 有公共底边 BC ，且 AB AC AB AC ，则点 A 在 ABC 外部. 3. 设梯形两腰之和等于一腰，则此腰两邻角 的平分线必通过另一腰的中点. 4. 以正方形一边为底在正方形所在的一侧作 等腰三角形，使其顶角为 30，则将其顶点与 正方形另两顶点连接，必构成正三角形.
b f 2 e2 2e2 f 2 cos(180 )
2 f 22 e2 2e2 f 2 cos ,
2 c2 e2 f12 2e2 f1 cos
f1 e2
d
b
d e f 2e1 f1 cos
2 2 1 2 1
e1
f2
a
则
思考：以上证明一定成立吗？ 可考虑 BC AC R 1 的特例，
BC AC R 1
即得：“同园内接两三角形，若有 两边分别相等，则必全等”这显然 不成立！(如下页图)
例3 一个三角形的两边 和其中一边的高，同另一三 角形的两边和其中一边的高 对应相等，则此两个三角形 全等.(这曾经是我国初中课本 上的一道习题) 证题思路如下图：
② ABC 中(4) AB平分BC (3) AD BC
（2）AD平分A (3) AD BC
（）AB AC 1
1 ③ ABC 中（）AB AC （2）AD平分A (4) AB平分BC
（）AB AC 1 (3) AD BC ④ ABC 中 (4) AB平分BC （2）AD平分A
2.1.3分析法与综合法 1. 分析法 ——执果索因 D( 果 ) 向下 找结 论的 充分 „„ 条件 B4
C1 C
C2
„„ B B2 B B 1 3
A (因)
例6 ABCD 外接于 EFGH，则它们的 对角线共点。 证法一： （用分析法证） 欲证它们对角线 共点. 只需证AC与EG互相平分. 即只需证AECG是平行四边形. 又只需证AE=CG. 又只需证AEH CGF ，而此容易 得证.
BC AC OC , (O, O是外心) BC AC OC 1 BC OC MC OC 2 ,或 则 1 M C OC BC O C 2 Rt MOC Rt M C, O A MOC M OC A.
a 2 b2 c 2 d 2 2cos (e1 f 2 e2 f1 e2 f 2 e1 f1 ) 2ef cos
上述步骤每步均可逆，故原结论获证. 注：此例结论成为布瑞须赖尔德(Brets chneider，1808~1878)公式. c
f1 e2
d
b
e1
5、证明要严谨 证明中常见的错误有：论题错误、论 据不足、论证不充分等 判断一个命题不成立，通常是找反例. 例1 有一组对边相等和一组对角相等的 四边形是平行四边形
D C
题设：四边形ABCD 中, AD=BC, ∠A=∠C. 求证：ABCD是平行四 边形.
A
B
证明：如图做辅助线 (证明略)
D
F
C
第二章 几何证明
本章研究的主要内容： 一、几何证明及其方法 二、几类常见几何问题的证明
三、几个著名的几何定理
§2.1 几何证明概述
2.2.1 命题及其结构
1、命题的四种形式（变化） ★命题的构成 前提（题设）……结论…… 命题可分为真命题与假命题 （假言命题） ★数学命题的一般形式 若P，则Q. 或 P Q 符号“ ”表示推出.
例8 如图，四边形 ABCD的一条对角线 BD 平行于两对对边之交点的连线 EF，求证： AC 平分 BD . (1978年全国数学竞赛题) A 分析：欲证的是线段 等量关系，可试运用比例 M 线段转化来探讨，但又不 B D 易直接证（若作辅助线证 C E F N 又另当别论），从而运用 分析法来求解. 证明： 设AC交BD于M，交EF于N，则
AE 2 AF 证法二： 欲证 ， ED FB F AE AF 只需证 ED FB 即可. G 2
f2
a
⑬ 构作性分析法 如果在从结论向已知条件追溯过程中， 在寻找新的充分条件的转化“三岔口”处，需 采取相应的构作性措施：如假设一些条件， 作某些辅助图或式等，再进行探索、推导， 才能追溯到原命题的已知条件（或稍作变形 处理）的分析法叫做构作性分析法。
例10 如图，AD 是 ABC 的中线，任意引 直线 CF 交 AB 于 F ，交 AD 于 E .求证：.
BM MD . EN NF
要证 BM=MD,作方向 猜测，只需证 NE=NF 或
BM EN 1 即可. MD NF
E B
A
M
C N
D F
事实上这不容易证， 于是再作方向猜测，欲证BM=MD，只需
BM MD 2 2 证 BM MD 或 MD BM 即可. MD EN BM EN 而 ,从而只需证 BM NF 即可. MD NF MD BM 又只需证 即可. EN NF
③ ④
⑪ 选择性分析法
选择性分析法解题，就是从要求解的结论B出 发，希望能一步步把问题转化，但又难以逆推转 化，进而转化为分析要及到结论B需要什么样（充 分）的条件，并为此在探求的“三岔口”作方向猜想 和方向择优。假设有条件C就有结论B，即C就是选 择找到的使B成立的充分条件（CB）；同样的，再 分析在什么样的条件下能选择及到C，即DC；…； 最终追溯到此结论成立或命题的某一充分条件（或 充分条件组）恰好是已知条件或已知结论A为止。 在运用选择性分析法解题时，常使用短语： “只需·即可”来刻划。 · ·
（）AB AC (3) AD BC 1 ⑤ ABC 中 (4) AB平分BC （2）AD平分A
A
B
D
C
3、充分条件、必要条件与充要条件 分析如下命题： (1)平行四边形对角线互相平分. (2)菱形对角线互相垂直. 4、证明的意义 ★证明的含义和作用 ★证明的组成 ①论题——即要证明的问题 ②论据——即已知为真的命题 ③论证——即一系列的推理
例5 直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半。 已知： 求证：
证明：（用穷举法）
② 同一法 当欲证某图形具有某种性质而又不易 直接证明时，有时候可以作出具有所示性 质的图形，然后证明所作图形就是同一个， 把它们等同起来。这种证法叫做同一法。 能用同一法证明的命题，实际上是依 据事实：具有所示性质的图形是唯一的。 例5 以正方形ABCD的一边CD为底向形 内作等腰三角形ECD使其两底角为 15 ，则 是等边三角形。
AE 2 AF ED FB
A
分析：注意到题 中有中点，而求证式 是一个比较特殊的比 例式.需要转化来求解. 证法一：
F
G
E
B
H
D
C
AE AF AE 2 AF 欲证， FB 只需证 2 ED FB 即可. ED
若延长AD至H，使，则只需证EF∥BH.
而由题设， D为BC中点，则BHCE为平 行四边形，即有EF∥BH. 故原命题获证.
如“等腰三角形顶角的平分线也是底边 的中垂线”
（）AB AC 1 (3) AD BC ABC 中 （2）AD平分A (4) AB平分BC 此命题有5个逆定理.
（）AB AC (3) AD BC 1 ① ABC 中 （2）AD平分A (4) AB平分BC
注意到计算四边形 的另一形式的面积公式 (由三角形面积公式推导 而来)，两对角线夹角为 1 时， ef sin ，则需证 S
2
d
b
e1
f2
a
4e f 4e f (a c b d ) sin
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
(a2 c2 b2 d 2 )2 4e2 f 2 2 cos 即 则需证 a2 c2 b2 d 2 2ef cos 再注意到余弦定理，如图有 a2 e12 f22 2e1 f2 cos c 2 2 2
思考：以上证明有 E 问题吗？ A 问题出在哪里？能举出反例吗？ 如右下图所示，作等腰三 D 角形DAE，在AB边上任取一 点B，作等腰梯形BEDC. 得四边形ABCD. 显然四 边形ABCD符合题目条件， ● 但ABCD非平行四边形.
A
B C
●
●
B
E
例2 设两个三角形有两边及外接圆半径成比例， 则必相似.(前苏联中学教材中定理) 证法一： 在如图两三角形中有
Leabharlann Baidu
MD MC BM 而 EN CN NF
,故欲证结论获证.
⑫ 可逆性分析法 如果在从结论向已知条件追溯的过程 中，每一步都推求的充分必要条件，那么 这种分析法又可叫可逆分析法。因而用可 逆分析法命题用选择性分析法一定能证明； 反之，用选择性分析法证明的命题，用可 逆性分析法不一定能证明。 在可逆性分析法的证明中，常用符号“ ” 来表示，或最后指出“上述每步可逆，故命 题成立”。
例9 凸四边形的四边长分别为 a, b, c, d ， 两对角线长为 e, f ，则四边形的面积为：
1 S 4e 2 f 2 (a 2 c 2 b 2 d 2 ) 2 4
①
c
f1 e2
证明： 欲证① ，则需证
16S 2 4e2 f 2 (a2 c2 b2 d 2 )2
① 反证法 反证法就是证明一个命题时，直接证明不 容易，而证明其逆否命题成的一种方法.
公理、定理 四者不相容或(说 P成立) 定义、题设 运用反证法证明的一般步骤是： Ⅰ 否定结论； Ⅱ 由此结合已知 推出矛盾； 否定结论
Ⅲ 因此原结论不能为假，只能为真。
反证法的类型： 归谬法 ——结论的反面只有一款。 穷举法 ——结论的反面有若干款。 应用举例： 例4 园内不是直径的两弦，不能平分。 已知： 求证： 证明：（用归谬法 证）
A
O N
B
M
C
A
O
N C
同理可证：B B ABC ABC . 故
B
M
证法二：如图，则因
BC AC 2R , ( R, R 表圆半径) BC AC 2 R 可见 BCD BCD, ACD ACD.
从而 A BDC BDC A,
★命题的换位——逆命题 命题的换质——否命题 ★命题的四种形式 原命题： 若P,则Q.
互 否 否命题： 若P,则Q. (互逆)
逆命题： 若P,则Q.
互 否 逆否命题： 若P,则Q.
互逆否 (互逆)
命题的四种形式的真假关系： 互为逆否的命题同真假 2、逆命题与逆定理 ★逆命题就是逆定理吗？ ★一个定理的逆定理是唯一的吗？.
作业： 1．例3中的结论成立吗？如不成立试举出 反例. 2. 写出命题“两直线夹角的平分线上一点距 此两边等远”的逆命题、否命题及逆否命题， 并证明其逆命题. 3. 证明：圆外切四边形的一双对边之和等 于另一双对边之和.叙述并证明其逆定理. 3题逆定理证明提示：(用反证法或同一法)
2.1.2 直接证法与间接证法 1. 直接证法与间接证法的意义 ⑪ 直接证法 本科公理 此前定义、定理 本题结论 本题题设 这种由原题入手的证明方法叫直接证法. ⑫ 间接证法 将一个命题改为它的等效命题来进行证 明，这样的证明方法叫间接正法.
例7 E 为 ABC 的中线AD 上任一点， 且 B C ，求证： EBC ECD. 证明：(用分析法) 欲证 EBC ECD ① 只需证 EC BE ② (注意到 EDB 与 EDC )
只需证 CDE BDE， 只需证 AC AB ， ④式显然成立.
证明：（同一法）
（3） 证明方法分类
直接证法 证明方法 间接正法 同一法 反证法 穷举法 归谬法
作业： 1.两圆相交，则其交点不能在连心线的同侧. 2. 若 ABC 与 ABC 有公共底边 BC ，且 AB AC AB AC ，则点 A 在 ABC 外部. 3. 设梯形两腰之和等于一腰，则此腰两邻角 的平分线必通过另一腰的中点. 4. 以正方形一边为底在正方形所在的一侧作 等腰三角形，使其顶角为 30，则将其顶点与 正方形另两顶点连接，必构成正三角形.
b f 2 e2 2e2 f 2 cos(180 )
2 f 22 e2 2e2 f 2 cos ,
2 c2 e2 f12 2e2 f1 cos
f1 e2
d
b
d e f 2e1 f1 cos
2 2 1 2 1
e1
f2
a
则