如何求解旋转扫过的面积

如何求解旋转扫过的面积

我们知道线旋转、面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢？下面跟随我的脚步来领略几例此类问题.

例 1如图，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一

周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．

析解：本题考查了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理，得圆环的面积为： πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.

例2如图，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由弧BB ′，B ′A ′，弧A ′C ，CB 围成的阴影部分的面积是 ．

析解:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB, ∵120A =∠,∴∠AOC=060,

∴∠AOB=21

∠AOC=030,∴AD=2

121=AO , 根据勾股定理得,OD=22AD OA -=2

3, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=

，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090

∴()

OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=

21

360130360

39022

ππ阴影

=31211243⨯⨯--ππ=2π3例3 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边

AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋

转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）

A

．7π3-

B

．4π3+

C ．π

D

．4

π3

+析解:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,

∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =， ∴AB=2BC=4,

∴AC=,32242222=-=-BC AB ∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，

∴OB=1OB =2,CH=32

1

11==AC H C ,

∴BH=()7322

2211211=+=+=H C BC BH ,

易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为120,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即

3601202BH S π=阴影

360

1202BO π-

=ππ

π=-3437.

A

H B

O

C 1O 1H

1A

1C