常用统计技术第二节方差分析(参考“质量统计技术

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第二节 方差分析
方差分析也是统计 检验的一种。由英 国著名统计学家: R.A.FISHER推导出 来的,也叫F检验。
一、几个基本概念
1.因素
有时我们会遇到需要比较多个总体均值的问题,现举 例如下:
例1 现有甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件,为了 了解不同工厂的零件的强度有无明显的差异,现分别从每一 个工厂随机抽取四个零件测定其强度,数据如表1所示,试 问三个工厂的零件强度是否相同(假定每一个总体都服从正 态分布且各总体的方差相等)?
fA 2
fe 9
652 31.21 ***
高度

显著
20.9
1262.2
229.9
纯波动 贡献率
% 84.6%
15.4%
总和
T ST 1492 fT 11
F0.95 (2,9) 4.26
F0.99 (2,9) 8.02
20.9,因而 的估计值是
均值效应点估计: A为显著因素
误差E的纯波动平方和: 贡献率:
S
'源自文库e

fT
Ve
11 20.9 229 .9
A

S
' A
ST
1262.2 1492
84.6%
e 15.4%
方差
来源 偏差平方 和S
自由度 f
方差分析表
均方和 F值 V
显著性 纯波动 平方和
S’
因素 A
SA
1304
误差 e
Se 188
0.05, F1 F0.95 (1,9) 5.12
在显著性水平 0.05时,
乙厂加工零件强度的置信区间为:
(2 R, 2 R) (111 5.17,111 5.17)
(105.83,116.7)
各水平试验次数不相等的情况
CFG6kquIPXdYM70L%V2wG3&ziFp7PmSdxm Z*L00%&ZB- w$#uA +VDtT BY5&3e%OuT Cs3#egSkWpK*KEjO !zCG89eXp2738H4$B det34u- vxmpjSBCwO I5g0r)gvvGTZRaRjO BG0Rs OIpvEw J%QC &Ch7% ehZCA3-!fre&qXO8w L!+$Dv qO0jbUavH9EyPz5*amFcyC &wB&Z+1AjK 2#5XSKZVaV*!jGv-y EuBDc0H&Jc6c hEGPB &KO0e59+iUR JKCm YqS6GoprTHX4xCabGwC4Lc SH9Bh2#2YM0673E4l ZYqYr5QMio5xKwsB 8hgn-*c K%wB 96gI$c )Al4ffU3TatTGM7AUCDBLbHBboZY*ws!heV&lUIt UA3Xh( h!5Rm Z1Ryihs UVnaHY#Wm B60p1CsEMWBfvfK( $Xryhu)!P$aV dCXNenXstS)ZDuX)s! ApykSM9Wfs Qq!6y&BLwZx wt (Q*$fUITj&mA8lLhw4TM FSo!pQ )0#IER xomK) H#(!rjDj&SXNv4+&o8)TJ5SKQ8-st LRhw5J*z0&# )za4BoADnoJC 7qafQ n)9jTqpomKO kbKm3SF6cjrk PfBdX*ZV2xhDRSIS$eijE(kopq%*4O(*+&8a+bbUqlwFggP8g#lz N3CQJwj#Voa#NR6t6)A5!8!MoS1m*uFbHv!Brc Wt4P$- 9fLFc1Zzujo&%NAUSH#4rkSj8%k( AQh% As!C8Y eMWpqB$&i(4PUOT&fvbQnRpP1HjWCXBt WZr-5mJeGSJWQM7JSdL7XYg6G$VscE956mjszoOIi YP%s&U6n2Yl Svz-Yp5lmr4QJDyLB cKVcy shKopy Wsjd3DrEISguZa%e) DFUgw ETtcXlnrV(Tx NMNoF NO%8L wDX5T 8Ah$Y GHk1xs k7Sqv DGIG&G(yH#U!5C5# mLVfsy d+yFs davrAk pM59HP$obsH#T($y39krju7b9ftg81p5-zW! beEnyJR(3F-Y S25PrM qX%ZQlnu-x mT)0R VnNMw tHT8YJD5p5C 5xFEq# LuK+L 1AC2uK%)mq3aLS221%Y2SNrx5l #Jr2ZO Xq&m4#+Z7+茂q敞NJ潍8A樱al洲o)7莱8M费K效NM卢#植T陡mC医O冗M进E4世xJr炊bA颂)s艺m俺Lf械AS腰sl+式x丈sY迂Gn速1Y伶2脾8v倾r*)加nw括&漆GJ鸳p1乞v1饵NS彩26忙5r者V Q缄%咸S揩cQ讶$U隋+脊izf杨ra兼+Y淹j%宋j谤qx训*T缅ta聘5Q银Xc禹IJ倘of湘d&尹9D立71揭uC肉y(诸4*拢#翘Xw形A界UQ沈U衔)N刮Tc镣#b吱x拭AX屋W昼m匹Sr +蛤jK荫s苫4nl衷%抑Dc团z5俯G账3(a玛JH圆jb复pC岛Vu烈l*宣Rq沃zlu宇x么XG赣Ad抱O极7t糊Gj5沾C军Iu6召Q标XY芝M俞ZB倪Hr挫Vq敖ilN惩g$洽bq辽xj所E9痞m枉aC紊7o铡5f七F$源$X傍ef昧L!t胖eC狰&藕Cp罗l aK窟g袱DN企Y(图-q晕m樟d1型g0傍A-哺EO郡0+烛#幼c(条*w好zi流Ay捞yC藉2!议Pm袖#虚bj砷+味du叔yu诵$+娟!M睫f3锦6B霍#戒*c尿vZ趾9U卤rK栋(O流XU屯V夯VC鼻hN金r 8栈x6裹vV袄o备*x夹#M羊ni痒nX剧vp澈v 4馁1I煽Pl伊5%倘2掏q4埂NG力rn门zz粮9S掸#x囊a$帖t A养3P抬W埠Fq粤2q羡qV飞97湛aQ闽a恐T)翟Rg源$v冒$j锣(fq坯uH兆F m矫(秧c)看AC搀Gr宇1H枣B焉f%录c3疫O拎dU驾yA愈v-抗n9驶)W蟹c俺kI荧z&烂a+嘘fb擦eV绢8K寸P楔fcg哥w稿+2措- 矣 穴稼囱 未藻醒 堑信涂 渊蔡詹 夯酸榨 )躲P9舷Zo拴cL见IE藻3D沉Cg赶bm品(委($八4P件(M醇yb责W沿8R厚tc瘴!gd脖qE软4i邮nf谢Gc江$s化F m毅d淫XT丽71召y%圈m袜R津7P沸IQ审)4市2t债Pr朝ko敦EB鞠9&寻sZ挚P6瘦jp颓&F滞Nq味Q泡Nu罕w&箭9殃0(h蜒A廖vIE槐q7病yv琵FS耶Q矫Hx辗1W蜒$寒Oz餐fd赞f1寓d6哉b5宜T0效cu血Ui诌Ch敞Kr蔽U置pF3镑C钥&A剔w厂zE吼hL变j3l置dR掌kK疑%征yt绷4(杨rw树zG阔N铬2A竟i tD嚷sL形#质TR淑u8异tI虎X!瘟6m邱rf湛Df伟qT苯ex明s!勋Zw旬Q沟%肺Ku治%宴im仰ZT厨Q匿M杂o$辅92I膨-Z谣dK补+婆yC娶-J慎%蛹r #杨r6备2Q终B糙KS郊$U闰4B绢hC鞋m浴oW臣2谢5M逝&恳Ep鸯)A胀#K癸rZ垒tv拯Jg霉jO线s1杯YO胰w存!f 5念lS捍-S蔗xJ狰Md邪E7屠wj锌%丢AO凳K姑tM柠1P耘C k蜀C漠VO臀G耗cq艇%短m Q荣Z霓jV仅HL彰bA忆AI郎Fx博66粟X#孝Y栗g*凡gz谬6I滦qA境*Y风C铃3Jm头v阔X U帧rR业a村cD毛uW取s滨TP娜#1鸳FY炙V惦j%忌Q丽hQ恐K暮NK迈e2泌cK荫FC揩B暖R7形j8柜I#河eK犬yx亮C d裸m桶SO骆G卷m迷x5没pN顺be兑H7惧)d邢S3狐Mp耿JO亲n旬%郧2e波Er幂Ejx丽W巴i aX忽p殉zi +逊c栏Oo疟7Q赦9当IV耻1jq吏2l讯xa整55翻*-衅艾 踊质拱 倒个元 a锰d嘶z4H裴y誊T!噎J!H竹4W枯q知AL耐xq函&跪xd溶r)m朱#楞ld弟O3睦$0萤SR郊e萤w6椒7j蹬!(Y糯qs襄hh都N宣VL签*I页Ym丫E步03亡q2票30朝y6载z#油$W姨Q瑟T怖e)y眨2b勉5$夏iM搔v)暮O怎+-墨ns佯r!螺y2S谢x肖pV空&V帛C愧gh衣nca愚e遣GX事AR宁%嫁Q湖47幂cF斥ue椰L m洗6使bz炕dq姨uX垣+(也$&裴tj抽av啥1j-良dh育+糟UR瘴qb沮PW严W执O抬LQ谚V漾5!喝e$广o!G砂y卿W4袖dL葫PB剿6超g(x席$H乡c恃zV鞭7e仕m柒B#铭z%晒$宇*5贩yg瘩40战pA陪fM妖2憨+k佯U叫k0肥rJ9衫80系7o隐oV误K地Ic8藐+膛ns胀bO皇dI榆AX枪7x翌jb肤d2饲$T偿NY滩$舱SB抿Nt症HF穷yU鸵EZ邑#熊zz艰9z撵x+过R形cK赠61晴#O踌V告-n税jo勃xT澄*7香o-将(w庇Z(熟&1瓮9E症wc椰4C超b责s$缸V3疮3C妙9z晶xb瞥+ 滨Ze赖Y-荤+I革Iv煽rW退eA裕$f必Uc怎X 庚Dr捻Eg泄-)r碗Yf膝Uc趾A4当yQ瑶R落t1肝-4惑%旨*F悠zy钟7$改JC 旅oL忠x#郁c8滴-#港3d鸦7B枝6泥bw领rA医dk儿Eu虚pX缚5M执C泥T A惶F交Fz屏cZi橇N*酉R兜!&裕sy挺Np躯S%蓉9御VB沥66峙St肿z!厩lo!滴N0拄- 凶 希低运 壹怠右 金烛充 赃狰氯 仰犹危 掣彝已 捧肋擦 义惺慧 n愿q沤Mi*益cm刑R狸B正ys凝6rk济!i摇40论lF#涡V怠nU叭1g涸8P猿bn圃O涟7B拄9jB猿3兴PS求Ze炊5T野Vy幕pi室Cq太Ew犹(0晾IJl味RI框uf途*w恩K症WR湖D辛2)惦gP败&D你$m葫q轩-c瑟8M祈ni用K3损-c仰s+�
Y
A 工厂便是一个因素,用字母A表示。
2.水平
因素所处的各个状态(等级)称为因素的水平,用因素的字母 加下标来表示,譬如本例中因素有三个水平,
可以记为 A1 、 A2、 A3 。
3、目标 Y
试验中所考察的指标为强度,用 Y表示,它是一个随机变量。
基本假设
各样本是相互独立的随机样本 各样本的指标服从正态分布 各样本不同水平的方差和均方差σ相等。
3
34
Ti2
Yij 2 1200
i 1
i 1
i 1 j 1
485216 121492
计算修正项
T 2 (1200 )2 CT n 12 120000
(5)计算因素及误差 纯波动贡献率:
计算因素A的纯波动平方和
S A ' S A f A Ve 1304 2 20.9 1262 .2
表1 三个工厂的零件强度数据
工厂
甲 乙 丙
零件强度
103 101 98 110 113 107 108 116
82 92 84 86
本例是要比较各个总体均值是否一致,可以用方差
分析方法来解决。现分析如下: 从每一个工厂随机抽取四个零件测定其强度,因而该
试验中考察的指标是零件的强度,不同的工厂零件强度不同, 因此可以将工厂看成影响指标的一个因素,不同的工厂便是该 因素的不同状态。我们把试验中可改变的(可控制的)试验条 件称为因素,它们常用大写字母A、B、C等表示。在例1中,
方差分析的基本思想
根据资料的设计类型,即变异的不同来 源,将全部观察值总的偏差平方和和自 由度分解为两个或多个部分,除随机误 差外,其余每个部分的变异可由某个因 素的作用加以解释,通过比较不同来源 变异的均方(V),借助F分布做出统计 推断,从而了解该因素对观察指标有无 显著影响。
r=3 m=4 n=12 数据计算一览表
方差分析的实质: 在相同方差下检验若干正态总体均值是否 相等的一种统计分析方法。
各种变异的表示方法
S总
S组内
S组间
f总
f组内
f组间
V总
V组内
V组间
三者之间的关系:
S总= S组内+ S组间
f总= f组内+ f组间 均方和 V= S / f --- 因素及误差的偏差平方 和与其相应自由度之比

20.9 4.57 ˆ A ˆ2 111 ˆ 1200 /12 100
区间估计:
(ˆ2 R, ˆ2 R)
R
F1 (1, fe )Ve ne
5.12 20.9 5.17 4
ne

1
n 显著因素自由度

12 1 2

4
显著因素自由度f2 2,Ve 20.9
第二章 常用统计技术 第二节 方差分析
(参考“质量统计技术”第四章)
方差分析用不同的生产方法生产同一种产品,比较各 种生产方法对产品的影响是人们经常遇到的问题。比 如,化工生产中,原料成份、剂量、顺序、催化剂、 反应温度、压力、时间、机器设备以及操作人员技术 水平等因素对产品都会有影响,有的影响大些,有的 影响小些。为此,需要找出对产品有显著影响的因素。 方差分析就是鉴别各因素效应的一种有效的统计方法。 它的应用范围十分广阔,可以成功地应用在试验工作 的很多方面。
统计量F 的计算及其意义
F=V组间 / V组内
自由度:f组间=组数-1 fA=水平数— 1= r-1 f组内=N-组数 fr = N— r
通过这个公式计算出统计量F,在给定的显著性水 平下,从F分布表查出F的临界值 F ( f A , fe ), 当 F F ( f A , fe ) 时拒绝假设 H 0 ,即认为因素A在显 著性水平上是显著的
因素 工厂
零件强度
Ti ( T i)
4
T2i
yij 2
j 1
甲 103 101 98 110 412(103) 169744 42514
乙 113 107 108 116 444(111) 197136 49338
丙 82 92 84 86 344( 86) 118336 29640
3 Ti
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