高一数学平面的形成
高一数学平面几何知识点
高一数学平面几何知识点在高一数学中，平面几何是一个重要的部分。
平面几何研究的是平面上各种图形的性质和关系，涉及到直线、点、角等基本概念。
下面，我们将介绍几个高一数学平面几何的重要知识点。
一、平面几何基本概念1. 直线和线段：直线是由无数个点组成的，没有长度和方向；线段由两个点确定，有特定的长度和方向。
2. 角：角是由两条射线共享一个起点而形成的，可以通过角的度量来描述。
3. 三角形：三角形是由三条线段连接的图形，是平面几何中的基本图形。
4. 直角、锐角和钝角：直角是90度的角，锐角小于90度，钝角大于90度。
二、三角形的性质1. 内角和：在任何三角形中，三个内角的和都是180度。
2. 外角和：任意一条边的外角和等于其它两条边的内角和。
3. 等边三角形：三边长度相等的三角形。
4. 等腰三角形：两条边长度相等的三角形。
5. 直角三角形：一个内角为90度的三角形。
三、正方形和长方形1. 正方形是一种特殊的长方形，四条边长度相等，且每个内角为90度。
2. 长方形的相邻边相互垂直。
3. 正方形和长方形的周长公式是周长=2×(长+宽)，面积公式是面积=长×宽。
四、平行四边形和梯形1. 平行四边形的对角线相互平分。
2. 对角线长度相等的平行四边形是正方形。
3. 梯形有一对边平行，其他两条边不平行。
4. 梯形的面积公式是面积=（上底+下底）×高÷2。
五、圆和圆的性质1. 圆是由平面上到一个固定点距离相等的点构成的。
2. 圆心是固定点，半径是圆心到圆上任一点的距离。
3. 弧是圆上两点之间的曲线段。
4. 弧长是弧的长度，通常用弧所对的圆心角的度数与圆周角的度数之比来表示。
六、正多边形1. 正多边形是边数相等且边长相等的多边形。
2. 正三角形是最简单的正多边形，它的每个内角是60度。
3. 正五边形、正六边形和正八边形都有特定的对称性和对角线关系。
以上是高一数学中平面几何的一些重要知识点。
高中数学 第1章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质高一数学教案
[探究问题]
1．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
[提示]由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交于一条直线．
2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？
③A a，a α⇒A α；④A∈a，a α⇒A α.
A．1B．2
C．3D．4
D[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A a，a α，但A∈α；④不正确，“A α”表述错误．]
2.如图所示，点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的交点的个数是______个．
①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
用符号表示为： ⇒AB α．
②公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
用符号表示为： ⇒α∩β＝l且P∈l．
③公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A l，B l
点线共面问题
【例2】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．
思路探究：法一： → →
→
法二： → →
[证明]如图．
法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.
又∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴l上有两点A，B在α内，即直线l α.
2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[解]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
高一数学立体几何讲义
I. 基础知识要点一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将空间分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线——共面有且仅有一个公共点；平行直线——共面没有公共点；异面直线——不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[) 180,0∈θ） （直线与直线所成角(] 90,0∈θ）（斜线与平面成角() 90,0∈θ）（直线与平面所成角[] 90,0∈θ） 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线）②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） 12方向相同12方向不相同③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.P OA a P αβ推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.五、 棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥： [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. 附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） 侧面积公式S 直棱柱侧＝ch ( c －底面周长，h －高 )S 正棱锥侧＝1/2 ch ( c －底面周长，h －斜高 )S 正棱台侧＝1/2 (c ＋c')h (c ，c'－上、下底面周长，h －斜高)S 圆柱侧＝cl ＝2πrl (c －底面周长，l －母线长 ，r －底面半径) S 圆锥侧＝1/2cl ＝πrl (c －底面周长，l －母线长 ，r －底面半径) S 圆台侧＝1/2(c ＋c')l ＝π(r ＋r')l(c ，c' －上、下底面周长，r ，r －上、下底面半径)体积公式V 柱体＝Sh ( S －底面积，h －高 )V 椎体=1/3Sh ( S －底面积，h －高 )()h ss s s V '31'++=台体 (S ，S －上下底面积，h －高 ) 3R 34π=球V (R 为球的半径) 24R S π=球。
高一数学平面图形知识点
高一数学平面图形知识点平面图形是数学中的重要知识点之一，也是我们日常生活中经常遇到的内容。
它包括了很多基本的形状和性质，通过了解和掌握这些知识，我们可以更好地理解和应用数学。
首先，让我们从最基本的平面图形——点、线和面开始。
点是平面上没有大小和形状的，只有位置坐标的基本单位。
线是由连接无数个点组成的，是一个无限延伸的形状。
而面则是由无数条线组成的，它有两个维度，具有长度和宽度。
通过对这些基本概念的理解，我们可以更好地把握平面图形的本质。
接下来，让我们来探究一些常见的平面图形。
首先，正方形是一个具有四个相等边长且四个角度均为直角的图形。
矩形是一个具有四个角度均为直角，边长不一定相等的图形。
圆形是一个由圆心和半径组成的图形。
通过对这些图形的认识，我们可以通过计算边长、周长和面积等属性来求解问题，如房地产规划、资金预算等实际问题。
当然，平面图形还包括了一些常见的多边形。
三角形是一个由三条边和三个内角组成的图形。
我们可以通过计算边长和角度来求解三角形的周长和面积，还可以通过三角函数等概念来求解更复杂的问题。
五边形、六边形等多边形也有类似的性质，我们可以通过计算边长和角度来求解周长和面积。
除了了解这些常见的平面图形之外，我们还可以通过学习一些特殊的平面图形来拓宽我们的知识面。
例如，棱柱是一个由底面和侧面组成的图形，它的体积可以通过求底面面积和高度的乘积来计算。
球面是一个由球心和半径组成的图形，它的体积和表面积都可以通过公式来计算，这对于解决实际问题非常有用。
在学习平面图形的过程中，我们还要注意一些重要的性质和定理。
例如，平行四边形的对角线互相平分，相邻内角互补。
在相似三角形中，对应的边比和对应的角度相等。
通过掌握这些性质和定理，我们可以更好地理解和应用平面图形的知识。
总之，平面图形是数学中一项重要而有趣的内容。
通过了解和掌握点、线和面的概念，我们可以更好地理解平面图形的本质。
通过学习常见的平面图形，我们可以计算边长、周长和面积等属性，解决各种实际问题。
【课件】平面课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
元素
点的集合
点的集合
可以用集合语言表述点、直线、平面之间的关系
点与直线
图形
A
a
A
点与平面
α
文字语言(读法)
a
A
点在直线上
A a
点在直线外
A a
点在平面内
A
点在平面外
A
A
α
符号语言
直线与平面
图形
文字语言(读法)
l
α
l
l
α
α
符号语言
直线l在平面α内
l
直线l在平面α外
l
l
P l1
④空间图形中,后作的辅助线都是虚线.
④
.
二、三种语言的相互转化
用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)平面 α 与 β 相交于直线 l,直线 a 与平面 α,β 分别相交于点 A,B;
(2)点 A,B 在平面 α 内,直线 a 与平面 α 交于点 C,点 C 不在直线 AB 上.
解析 (1)用符号表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.如图所示.
推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面.（如图2）
推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面.（如图3）
图1
图2
图3
（导学案106页例1）
(2)下图中的两个平面相交,其中画法正确的是
【巩固训练】
1.下列说法正确的是
②
.
①平面的形状是平行四边形;
②任何一个平面图形都可以表示平面;
③平面 ABCD 的面积为 100 cm2;
所以直线 AB,BC,AC 共面.
二、线线共点问题
如图,已知平面 α,β,且 α∩β=l.设梯形 ABCD 中,AD∥BC,
高一数学知识点总结：空间点、直线、平面的位置关系
高一数学知识点总结：空间点、直线、平面的位置关系高一数学知识点总结：空间点、直线、平面的位置关系本节内容主要是空间点、直线、平面之间的位置关系，在认识过程中，可以进一步提高同学们的空间想象能力，发展推理能力．通过对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言，以具体的长方体中的点、线、面之间的关系作为载体，使同学们在直观感知的基础上，认识空间中点、线、面之间的位置关系，点、线、面的位置关系是立体几何的主要研究对象，同时也是空间图形最基本的几何元素．重难点知识归纳1、平面(1)平面概念的理解直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分．抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄．(2)平面的表示法①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面．②字母表示：常用等希腊字母表示平面．它们有且只有一条过该点的公共直线．符号表示为：．注意：两个平面有一条公共直线，我们说这两个平面相交，这条公共直线就叫作两个平面的交线．若平面、平面相交于直线l，记作．公理的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．空间直线(1)空间两条直线的位置关系①相交直线：有且仅有一个公共点，可表示为;②平行直线：在同一个平面内，没有公共点，可表示为a//b;③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．(2)平行直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示为：设a、b、c是三条直线，．定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．(3)两条异面直线所成的角注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]．②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出．③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法：(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点．(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现．(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围．3．空间直线与平面直线与平面位置关系有且只有三种：(1)直线在平面内：有无数个公共点；(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行：没有公共点．4．平面与平面两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行：没有公共点；(2)两个平面相交：有一条公共直线．。
新人教版高一数学第一章 几何中的平面 知识点梳理总结
新人教版高一数学第一章几何中的平面
知识点梳理总结
本文档将对新人教版高一数学第一章《几何中的平面》的知识
点进行梳理总结。
1. 平面的定义与性质
- 平面是由无限多条平行线构成的。
- 平面上的任意两点，可以确定一条直线。
- 平面上的任意三点，不在同一条直线上。
- 平面上的任意两条直线，要么相交于一点，要么平行。
2. 平面图形的表示与命名
- 平面图形可以用大写字母表示，如平面P。
- 平面图形的命名一般用大写的正字母表示，如点A、B、C等。
3. 线的位置关系
- 平面上的两条平行线，它们的任意两个生线相交于同一条平行线。
- 平面上的两条相交直线，它们的任意两个生线平行。
4. 角的定义与分类
- 角是由两条有共同起点的射线组成的。
- 角的度量用角度来表示，如∠ABC。
- 角可以分为钝角、直角、锐角、平角等。
5. 角的运算
- 角的加法：两个角的度数相加得到它们的和。
- 角的减法：两个角的度数相减得到它们的差。
- 角的乘法：一个角的度数乘以一个整数得到它的整倍角。
- 角的除法：一个角的度数除以一个整数得到它的整分角。
6. 角的平分线
- 角的平分线是将一个角分成两个相等的角的射线。
本文对新人教版高一数学第一章《几何中的平面》的知识要点进行了总结，希望对你的研究有所帮助。
高一数学人教A版必修2课件：2.1.1平面 教学课件
定一个平面，设为α.
因为 l∩a ＝ A ， l∩b ＝ B ，所以 A∈a ， B∈b ，则 A∈α ， B∈α. 又因为 A∈l ， B∈l，所以由公理1可知l⊂α. 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β. 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2知：经过两条
“∈”或“∉”表示．
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用 “⊂”或“⊄”表示．
3．公理1
文字语言 如果一条直线上的________ 两点 在一个平面内，那么这条直线在 此平面内
图形语言
l⊂α 符号语言 A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒_______
判断点在平面内 作用 判断直线在平面内 用直线检验平面
记法
用三角形、圆或其他平面图形表示平面．
2．点、线、面的位置关系的表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面.
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 符号语言 图形语言
A∈l ____________ A∉l ____________ A∈α ____________ A∉α ____________
又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C， ∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线．
命题方向3 ⇨点线共面问题
求证： 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交， 那么这四条 直线共面. 导学号 09024243
[解析] 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：直线a、b、c和l共面． 证明：如图所示，因为a∥b，由公理2可知直线a与b确
高一数学 2.1.1平面
2. 1.1 平面【教学过程】1．提问：在长方体中，顶点、棱所在的直线、侧面、底面之间的关系应该怎么说呢？2．新课（1）、生活中的平面生活中的一些物体通常呈平面形，如课桌面、黑板面、海面都是平面，几何里说 的平面（plane ）是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何里的平面限延展的。
（2）、平面的画法与表示法常常把水平的平面画成一个平行四边形，锐角通常画成45°，且横边等于其邻边长的2倍平面表示：平面通常用α、β、γ写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β、平面γ，也可以用平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母来表示，如平面ABCD ，或平面AC 或平面B D 。
如果一个平面被另一个平面遮住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如右图。
平面内有无数个点，平面可以看成是点的集合，点P 在平面α内，记作P ∈α，点Q 在平面α外，记作Q ∉α。
（3）、公理1公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
此公理可以判断直线是否在平面内。
点动成线、线动成面。
直线、平面都可以看成点的集合。
点P 在直线l 上，记作P ∈l ，点P 在直线l 外，记作P ∉l 。
如果直线l 上的所有点都在平面α内，就说直线l 在平面α内，或者说平面α经过直线l ，记作l ⊂α；否则，就说直线l 在平面α外，记作l ⊄α。
公理1也可以表示：A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α（4）、公理2三脚架可以声支撑照相机或测量用的平板仪或电子琴，自行车前后轮胎及支架。
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（补充3个推论）： 推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
（5）、公理3公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
高一数学讲义 第八章 空间直线与平面
高一数学讲义 第八章 空间直线与平面8．1平面及其基本性质几何里的平面与直线一样，是无限延伸的，我们不能把一个无限延伸的平面在纸上表现出来，通常用平面的一部分表示平面．例如，我们常用平行四边形表示平面（图8-1）．但我们要把它想象成无限延展的．通常我们用一个希腊字母如：αβγ、、…来表示平面，也可以用表示平面的平行四边形的对角顶点的字母来表示，如平面AC ．DCBAβα图81平面的基本性质公理l 如果一条直线上有两个点在同一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上（即直线在平面上）．公理2 如果两个平面存在一个公共点，那么它们所有公共点的集合是一条直线．公理3 不在同一直线上的三点确定一个平面（即经过不在同一直线上三点有且仅有一个平面）． 在上述公理的基础上，可以得到以下三个推论： 推论1 一条直线和直线外一点确定一个平面．证明：如图8-2，在直线l 上任取两个点A B 、，则A B C 、、是不在同一直线上的三点，由公理3可知，经过此三点的平面有且仅有1个，设为平面α，则A B ∈、平面α，又A B 、在直线l 上，由公理1可知直线l 在平面α上．即经过直线l 和直线外一点的平面有且仅有一个．图82推论2 两条相交直线确定一个平面． 推论3 两条平行直线确定一个平面．例1．如图8-3，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别是棱1AA 、1CC 的中点．试画出过点1D E F 、、三点的截面．B 1C 1D 1A 1EHF GDCB A 图83解：连1D F 并延长1D F 与DC 的延长线交于点H ，联结1D E 并延长与DA 的延长线交于点G ，联结GH 与AB BC 、两条棱交于点B ，联结BE BF 、，则1BED F 就是过点1D E F 、、三点的截面．例2．如图8-4，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为1CC 和1AA 上的中点，画出平面1BED F 与平面ABCD 的交线．PF C E A DB A 1B 1D 1C 1图84解：在平面11AA D D 内，延长1D F ，1D F 与DA 不平行，因此1D F 与DA 必相交于一点，设为P ，则1P FD P DA ∈∈，． 又1FD ⊂平面1BED F ，AD ⊂平面ABCD 内，P ∴∈平面1BED F P ∈，平面ABCD ．又B 为平面ABCD 与平面1BED F 的公共点，∴联结PB PB ，即为平面1BFD F 与平面ABCD 的交线．例3．已知E F G H 、、、分别是空间四边形ABCD （四条线段首尾相接，且联结点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）．各边AB AD CB CD 、、、上的点，且直线EF 和HG 交于点P ，如图8-5，求证：点B D P 、、在同一条直线上．G DPF ECBA图85证明：如图直线EF 直线HG P =．P ∴∈直线EF ．而EF ⊂平面ABD ， P ∴∈平面ABD ．同理，P ∈平面CBD ，即点P 是平面ABD 和平面CBD 的公共点．显然，点B D 、也是平面ABD 和平面CBD 的公共点，由公理2知，点B D P 、、都在平面ABD 和平面CBD 的交线上，即点B D P 、、在同一条直线上． 基础练习1．用符号语言表示下列语句（1）点A 在平面α内，但在平面β外；（2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线a 在平面α内，又在平面β内，即平面α和β相交于直线a ． 2．已知a b c 、、空间三条直线，且a b ∥与a b 、都相交，求证直线a b c 、、在同一个平面上． 3．怎样用两根细绳检查一张桌子的四条腿的下端是否在一个平面内?4．如图8-6所示，ABC △与111A B C △不在同一个平面内，如果三直线1AA 、1BB 、1CC 两两相交，证明：三直线111AA BB CC 、、交于一点．PC 1B 1A 1C BA图865．已知ABC △在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P Q R ，，三点，证明P Q R ，，三点在同一条直线上．6．画水平放置的正五边形的直观图． 8．2空间直线与直线之间的位置关系公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（即平行线的传递性）． 例1．如图8-7所示，设E F G H ，，，分别是空间四边形ABCD 的边AB BC CD DA ，，，上的点，且AE AH CF CGAB AD CB CDλμ====，，求证：F GH EDCBA图87（1）当λμ=时，四边形EFGH 是平行四边形； （2）当λμ≠时，四边形EFGH 是梯形． 证明：联结BD ， 在ABD △中，AE AHAB ADλ==，EH BD ∴，∥且EH BD λ=． 在CBD △中，CF CGCB CDμ==，FG BD ∴，∥且FG BD μ=． EH FG ∴∥，∴顶点E F G H ，，，在由EH 和FG 确定的平面内． （1）当λμ=时，EH FG =，故四边形EFGH 为平行四边形； （2）当λμ≠时，EH FG ≠，故四边形EFGH 是梯形．等角定理 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组相交直线所成的锐角（或直角）相等．证明：当两组平行直线在同一平面内，即为初中几何中的等角定理． 当它们不在同一平面时，如图8-8所示．a 1O 1B 1A 1BA Oba 图88设直线a b 、相交于点O ，直线11a b 、相交于点1O ，且11a a b b ，∥∥，在直线a b 、上分别任取点A B 、（异于点O ），在直线11a b 、上分别任取点11A B 、（异于点1O ），使得11OA O A =，11OB O B =，111AOB AO B ∠∠，分别是a b 、，与11a b 、所成的角． 1111OA O A OA O A =，∥ ∴四边形11OO A A 为平行四边形． 1111OO AA OO AA ∴=，∥．同理1111OO BB OO BB =，∥．1111BB AA BB AA ∴=，∥．四边形11BB A A 为平行四边形． 11AB A B ∴=，因此111AOB AO B △△≌． 111AOB AO B ∴∠=∠．在平面中两条直线的位置关系可以根据交点个数来判断：当两条直线仅有1个交点时．它们是相交的；当没有交点时它们是平行的．但在空间中两条直线没有交点却未必是平行的，如图8-9直线a 在平面α上，直线b 与平面α交于点P ，且P 不在直线b 上，那么直线a 与直线b 即不平行也不相交．此时直线a 与直线b 不能在同一平面内，我们称直线a 、b 是异面直线．baP图89在空间任取一点Q 过Q 分别作a b 、的平行线11a b 、，我们把11a b 、所成的锐角或直角称为异面直线a b 、所成的角．当所成的角为90︒时称异面直线a b 、相互垂直．此外，我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段长度，叫做两条异面直线的距离．例2．如图8-10，在正方体1111ABCD A B C D -中，判断下列直线之间的位置父系，并求出它们所成角的大小．A 2D 2B 2C 2D 1C 1B 1A 1D CBA图810（1）AC 与1BC ；（2）1B D 与1BC ． 解：（1）AC 与1BC 是异面直线． 11AA CC ∥且11AA CC =，∴四边形11AA C C 为平行四边形，即11AC AC ∥．11AC B ∴∠为所求AC 与1BC 所成的角．易知11A C B △为等边三角形，即11π3AC B ∠=（2）1B C 与1BC 是异面直线如图8-10：在原正方体下方补一个相同大小的正方体11112222A B C D A B C D -中121B C BC ∥，12DB C ∴∠为所求1B D 与1BC 所成的角．设正方体的棱长为a ，在12DB C △中，112212π2DB B C DC DB C ==∴∠=，，，． 例3．空间四边形ABCD中，2AB BD AD BC CD =====，32AC =，延长BC 到E ，使BC CE =，取BD 中点F ，求异面直线AF 与DE 的距离和他们所成的角．F ED BA图811解：（1）2AB AD BD === ∴三角形ABD 为等边三角形 F 为BD 中点，AF BD ∴⊥，即AF FD ⊥90BC CD CE BDE DF DE ===∴∠=︒∴⊥， DF 长即为异面直线AF DE ，的距离，又112DF BD ==，AF ∴与DE 的距离为1．（2）联结CF F C ，，分别是BD ，BF 的中点， FC ∴平行且等于12DE ，AFC ∴∠即为异面直线AF 与DE 所成的角． 在等边三角形ABD中，AF == 在直角三角形BDE中，12CF DE ==． 三角形AFC 中，由余弦定理得2221cos 22AF FC AC AFC AF FC +-∠==⨯⨯．60AFC ∴∠=︒，即异面直线AF 与DF 成60︒角． 基础练习 1．从止方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为__________．2．如图8-12，已知三棱锥S ABC -中，90ABC ∠=︒，侧棱SA ⊥底面ABC ，点A 在棱SB 和SC 上的射影分别是点E F 、，求证：EF SC ⊥．SGF E CBA 图8123．已知a b 、是两条异面直线，直线a 上的两点A B 、的距离为6．直线b 上的两点C D 、的距离为8，AC BD 、的中点分别为M N 、且5MN =，见图8-13．求异面直线a b 、所成的角．图813bMNO aDCBA4．已知四面体S ABC -的所有棱长均为a ．求： （1）异面直线SC 、AB 的公垂线段EF 及EF 的长； （2）异面直线EF 和SA 所成的角．5．如图8-14，等腰直角三角形ABC中，90A BC DA AC DA AB ∠=︒=⊥⊥，，，若1DA =，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．图814FE D CBA6．如图8-15，在正三角形ABC 中，D E F ，，分别为各边的中点，G H I J ，，，分别为AF AD BE DE ，，，的中点．将ABC △沿DE EF DF ，，折成三棱锥以后，求GH 与IJ 所成角的度数．I JH GFEDCB A 图8157．长方体1111ABCD A B C D -中，143AB AA AD ===，，则异面直线1A D 与11B D 间的距离为__________．8．空间两条异面直线a b 、所成角α，过空间一定点O 与a b ，所成角都是θ的直线l 有多少条？ 8．3空间直线与平面空间中直线l 与平面α的位置关系，按照它们交点的个数分成以下三种情况：若直线l 与平面α没有公共点，那么称直线l 与平面α平行，记作l α∥；若直线l 与平面α仅有一个公共点，那么直线l 与平面α是相交的；若直线l 与平面α有1个以上的公共点，由公理1可知直线l 在平面α上．我们将直线与平面平行和相交统称为直线在平面外．直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 例1．已知：ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上任取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ．求征：AP GH ∥． 证明：如图8-16．联结AC 交BD 于O ，联结MO ，G HPOMD CBA图816ABCD 是平行四边形O ∴是AC 中点，又M 是PC 中点， AP OM ∴∥，又OM ⊂面BM DPA ∴∥平面BM D （线面平行判定定理）又PA ⊂平面PAHG ，且面PAHG 平面BMD GH =， PA GH ∴∥（线面平行的性质定理）例2．正方体1111ABCD A B C D -中，E G 、分别是BC 、11C D 的中点如图8-17．求证：EG ∥平面11BB D D ．D C 1A 1C图817证明：取BD 的中点F ，联结FF 、1D F ．E 为BC 的中点，EF ∴为BCD △的中位线，则EF DC ∥，且12EF CD =．G 为11C D 的中点，1D G CD ∴∥且112D G CD =，1EF D G ∴∥且1EF D G =， ∴四边形1EFD G 为平行四边形，∴1D F EG ∥，而1D F ⊂平面11BDD B ，EG ⊄平面11BDD B ， ∴EG ∥平面11BDD B ．直线l 与平面α相交，且与平面内所有直线都垂直，称直线l 垂直于平面α，记作l α⊥．直线l 称为平面α的垂线，l 与平向α的交点称为垂足．直线和平面垂直判定定理 如果直线l 与平面α内两条相交直线a b 、都垂直，那么直线与平面垂直． 证明：设直线a b O =，直线c 为平面α上任意一条直线 （1）当直线l 与直线c 都经过点O 时在直线l 上点O 的两侧分别取点P Q 、使得OP OQ =，在平面α上作一条直线，使它与a b c 、、分别交于点A B C 、、联结PA PB PC QA QB QC 、、、、、（见图8-18）． acb αO QB A P图818OA 垂直平分PQ ，PQ QA ∴=． 同理PB QB =． PA QA PB QB AB AB ===，，， PAB QAB PC QC ∴∴=，△△≌．PQ c ∴⊥，即l c ⊥．（2）若直线l 与直线c 不都经过点O ，则过O 引l 与直线c 的平行线1l 与直线1c ，由（1）可知11l c ⊥．由等角定理可知l c ⊥．综上所述，l α⊥．直线和平面垂直性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．过空间一点P 有且仅有一条直线l 和一个平面α垂直，反之过一点P 有且仅有一个平面α与直线l 垂直，垂足Q 称为点P 在平面α上的射影，线段PQ 的大小称为点P 到平面α的距离．若一条直线与一个平面平行，则这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线到平面的距离． 若一条直线与一个平面α相交且不垂直，称直线l 与平面α斜交，直线l 为平面α的斜线，交点称为斜足．平面的斜线与其在平面上的射影所成的角称为直线与平面所成的角．最小角定理 斜线和平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角． 例3．已知：一条直线l 和一个平面α平行．求证：直线l 上各点到平面α的距离相等． 证明：过直线l 上任意两点A B ，分别引平面α的垂线AA ，′BB ′，垂足分别为A B ，′′（见图8-19）．βαB'A'B A图819AA BB αα⊥⊥，′′ AA BB ∴∥′′设经过直线AA ′和BB ′的平面为A B ββα=，′′l l A B α∴∴，∥∥′′AA BB ∴′′是平行四边形 AA BB ∴=′′即直线l 上各点到平面的距离相等例4．如图8-20，已知正方形ABCD 的边长为4，E F ，分别是边AB AD ，的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且2GC =，求点B 到平面EFG 的距离．OSGH F E DCBA图820证明：联结DB AC ，，设DB AC O = E F ，分别为AB AD ，中点DB EF ∴∥；又DB ⊄平面EFG ， BD ∴∥平面EFG ．∴点B 到平面EFG 的距离就是DB 到平面EFG 的距离． ∴即点O 到平面X O 的距离．设EF AC H =，在平面CHG 中，作OS GH ⊥ DB AC ⊥，又EF BD ∥ EF AC ∴⊥又GC ⊥面ABCD ，GC EF ∴⊥ EF ∴⊥面CHG EF OS ∴⊥，又OS GH ⊥ OS ∴⊥面EFG ∴OS 即为O 点到平面EFG 的距离，即为所求 直角三角形HSO 与直角三角形HGC 相似 SO HOGC GH∴=，又124GC HO AC GH =====，2SO ∴= ∴B 到平面EFG的距离为11． 例5．相交成60︒的两条直线AB AC ，和平面α所成的角分别为30︒和45︒，求这两条斜线在平面α内的射影所成的角．解：如图8-21，作平面AO ⊥平面A ，垂足为O ，O CBA图821则30ABO ∠=︒，45ACO ∠=︒，设AO h =，则2AB h =，AC =，BO =，CO h =， 在三角形ABC 中，根据余弦定理有22222(2))cos606BC h h h =+-⨯⨯︒=-．同理，在三角形BOC 中，令BOC θ∠=，则有22222)cos 4cos BC h h h θθ=+-⨯⨯=-．222264cos h h θ∴-=-．cos θ∴=，θ∴=． 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．如图8-22，直线PM 为平面α的斜线，M 为斜足，Q 为P 在平面α内的射影，a 为平面α内一条直线，且a MQ ⊥．求证：a PM ⊥．图822ab a PQM证明：过点M 作的a 平行线b ，则b MQ b PQ ⊥⊥， 即b ⊥平面PMQ ，MQ ⊆平面PMQ 所以b PM a b ⊥，∥，即a PM ⊥．类似地，我们也可以证明：三垂线的逆定理 在平面内的一条直线，如果和平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 基础练习1.如果三个平面αβγ、、两两相交于三条交线a b c 、、，讨论三条交线的位置关系，并证明你的结论． 2．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面11ABC D 均成30︒角，求这样的直线条数3．已知空间四边形ABCD P Q ，、分别是ABC △和BCD △的重心，求证：PQ ∥平面ACD ．4．在棱长为a 正方体1111ABCD A B C D -中， （1）求证：11B D CD ⊥； （2）求证：1B D ⊥平面1ACD ； （3）求点D 到平面1ACD 的距离．5．正方体1111ABCD A B C D -中，求1B D 与平面11ABC D 所成角的大小．6．正方体ABCD A B C D -′′′′的棱长为a ，则异面直线CD ′与BD 间的距离等于__________． 7．正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE BD 、上各取一点P Q 、．且AP DQ =．求证：PQ ∥面BCE ．8．如图8-23，已知AOB ∠在平面M 上，P 为平面外一点，满足POA ∠POB =∠θ=（θ为锐角），点P 在平面上的射影为Q ．P OQFE AM 图823（1）求证点Q 在AOB ∠的平分线OT 上；（2）讨论POA ∠、POQ ∠、QOA ∠之间的关系．9．若直线l 与平面α成角π3，直线a 在平面α内，且和直线l 异面，则l 与a 所成角的取值范围是多少? 10．如图8-24，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，,,ABH HBC ABC θαβ∠=∠=∠=，求证：cos cos cos βαθ=⋅． αθβH D CB Aα图82411．如图8-25，平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ．连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．N MBA HSα图825（1）求证：NH SB ⊥；（2）这个图形中有多少个线面垂直关系? （3）这个图形中有多少个直角三角形? （4）这个图形中有多少对相互垂直的直线?12．如图8-26，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF 为异面直线1A D 与AC 的公垂线，求证：1EF BD ∥．FE D CBAD 1C 1B 1A 1图82613．如图8-27所示，90BAC ∠=︒．在平面α内，PA 是α的斜线，60PAB PAC ∠=∠=︒．求PA 与平面α所成的角．B αA CMO NP图8278．4空间平面与平面的位置关系空间两个平面根据交点的个数可以分为：若两个平面没有交点则称两个平面互相平行；若两个平面有交点则称两个平面是相交的．平行于同一平面的两个平面互相平行，分别在两个平行平面上的直线是异面或平行的．两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推论 如果一个平面内的两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行．两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 例1．平行四边形ABCD 和平行四边形ABEF 不在同一平面内，M ，N 分别为对角线AC ，BF 上的点，且AM ACFN FB=．求证：MN ∥平面BEC ．证明：如图8-28，在平行四边形ABCD 中，过M 作MP BC ∥交BC 于P ，联结PN ．FP MNEDCBA图828AM AP AC AB =，又AM AC FN BF =，即AM FNAC BF=． ,AP FN PN AF BE AB BF∴=∴∥∥． 又MP BC ∥，∴平面MPN ∥平面CBE ． 又MN ⊂平面MPN ， MN ∴∥平面BEC ．例2．如图8-29所示，平面α平面β，点A C α∈、，点B D β∈、，AB a =是α、β的公垂线，CD 是斜线．若AC BD b ==，CD c =，M 、N 分别是AB 和CD 的中点．图829（1）求证：MN β∥；（2）求MN 的长． 证明：（1）联结AD ，设P 是AD的中点，分别联结PM 、PN ． M 是AB 的中点，PM BD ∴∥．又,PM ββ⊂∴∥． 同理N 是CD 的中点，PN AC ∴∥． AC α⊂，PN α∴∥．,,PN PM P αβ=∥PMN β∴∥． MN ⊂平面PMN ，MN β∴∥． （2）分别联结MC MD 、．1,,2AC BD b AM BM a ====又AB 是αβ、的公垂线，90CAM DBM ∴∠=∠=︒，Rt Rt ACM BDM ∴≌△△，CM DM ∴=，DMC ∴△是等腰三角形． 又N 是CD 的中点，MN CD ∴⊥．在Rt CMN △中，MN =一般地，当两个平面相交时，它们的交线l 将各平面分割为两个半平面，由两个半平面αβ、及其交线l 组成的空间图形叫做二面角（dihedral angle ），记作l αβ--．交线l 称之为二面角的棱，两个半平面αβ、叫做二面角的面．如果αβ、上分别有点P Q 、，那么二面角l αβ--也可以记作P l Q --．为了刻画二面角的大小，我们在棱l 上任取一点O ，在面αβ、上分别作棱l 的垂线OM 、ON ，则[](0,π)MON θ∠=∈称为二面角l αβ--的平面角．若π2α=，则称平面αβ⊥． 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 两个平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．例3．如图8-30，在空间四边形SABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，DE 在平面SAC 内，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于D ，E ，又SA AB =，SB BC =，求以BD 为棱，以BDE 和BDC 为面的二面角的大小．E DCBAS图830解：SB SC =，且E 为SC 的中点，BE SC ∴⊥． 又DE 垂直平分SC ，SC ∴⊥面,BDE SC BD ∴⊥． 又BD ⊥平面SAC ，,,BD DE BD DC ∴⊥⊥EDC ∴∠即为E BD C --的平面角．设SA a =，则,,AB a SB ==SA ⊥面ABC ，BC AB ⊥．,SB BC SC ∴⊥∴为等腰直角三角形SBC的斜边，又BC =，2,,cos ,30SC a AC SCA SCA ∴==∠=∴∠=︒． DE SC ⊥，∴在直角三角形EDC 中，60EDC ∠=︒，即为所求．例4．已知：如图8-31所示，平行四边形ABCD中，AB =AD BD ==，沿BD 将其折成一个二面角A BD C --，若折后AB CD ⊥．63223DCBA图831（1）求二面角A BD C --的大小；（2）求折后点C C 到平面ABD 的距离．解：（1）在平行四边形ABCD中AB =AD BD ==．222AB AD BD ∴=+ ,AD BD BC BD ∴⊥⊥． 作AH ⊥平面BDC ，联结DH （见图8-32）．HEDCB A图832AD BD ⊥，由三垂线定理逆定理得DH BD ⊥， ∴ADH ∠是二面角A BD C --的平面角．联结BH，AB DC ⊥，由三垂线定理逆定理， 得BH DC ⊥，设垂足为E ，在直角三角形ABC中，2BD BC BE DC ⋅===，DE ∴ 三角形DHB 与三角形DBE 相似，DH DEDB BE∴=，即DE BD DH BE ⋅=在直角三角形ADH中，1cos 2DH ADH AD ∠===，π3ADH ∴∠=． 即二面角--A BD C 的大小为π3． （2）由对称性，C 到平面ABD 的距离等于A 到平面ABD 的距离． AH ⊥平面BCD ，∴点A 到平面BCD 的距离即是线段AH 的长， 直角三角形ADH中，sin 3AH AD ADH =⋅∠==， ∴点C 到平面ABD 的距离为3． 例5．如图8-33，已知A B 、在平面α上，点C 是平面外一点，且在平面α上的射影为D ，且A B D、、三点不共线，二面角C AB D --的大小为θ，求证：cos DABCABS S θ=．αM DCBA图833证明：过点D 作DM 垂直AB ，垂足为M ，联结CM ． 因为,CD AB αα⊥⊆，所以CD AB ⊥，又AB DM ⊥，因此AB ⊥平面CDM ，即AB CM ⊥． 所以CMD ∠为二面角--C AB D 的平面角． 在直角三角形CDM △中有cos cos ABDCBDS DM CMD CM S θ=∠==． 例6．如图8-34，已知两异面直线,a b 所成的角为θ，它们的公垂线段AA ′的长度为d ．在直线,a b 上分别取点,E F ，设,A E m AF n ==′，求EF ．A'βnb a m F G A图834解：设经过b 且与AA ′垂直的平面为α，经过a 和AA ′的平面为β，c αβ=；则c a ∥，因而b ，c 所成角为θ，且AA c ⊥′；又,AA b AA a ⊥∴⊥′′， 根据两个平面垂直的判定定理，βα⊥． 在平面β内作EG c ⊥，则EG AA =′． 并且根据两个平面垂直的性质定理，EG α⊥ 联结FG ，则EG FG ⊥．在直角三角形EFG 中，222EF EG FG =+AG m =，三角形AFG 中，2222cos FG m n mn θ=+-；又22ED d =，22222cos EF d m n mn θ∴=++-，因此EF =1．已知平面αβ∥，AB ，CD 为夹在,αβ间的异面线段，E 、F 分别为AB CD 、的中点． 求证：,EF EF αβ∥∥．2．如果αβ∥，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AB AC ⊥，且2AB =，直线AB 与平面α所成的角为30︒，求线段AC 长的取值范围．3．如图8-35，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为1AB AA 、的中点．求平面1CEB 与平面11D FB 所成二面角的平面角的正弦值．CB E AF D 1C 1B 1A 1图8354．如图8-36，点A 在锐二面角MN αβ--的棱MN 上，在面α内引射线AP ，使AP 与MN 所成的角PAM ∠为45︒，与面β所成的角大小为30︒，求二面角MN αβ--的大小．NM APβα图8365．正方形ABCD 边长为4，点E 是边CD 上的一点，将AED △沿AE 折起到1AED 的位置时，有平面1ACD ⊥平面ABCE ，并且11BD CD ⊥．（1）判断并证明E 点的具体位置； （2）求点D ′到平面ABCE 的距离．6．在正三角形ABC 中，E F P 、、分别是AB AC BC 、、边上的点，满足12AE EB CF FA CP PB ===∶∶∶∶，如图8-37．将AEF △沿EF 折起到1A EF △的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，联结1A B 、1A P ，如图8-38．A BP FEC图837CEF P BA 图838（1）求证：1A E ⊥平面BEP ；（2）求直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小；（3）求二面角1B A P F --的大小（用反三角函数表示）．7．如图8-39，将边长为a 的正三角形ABC 以它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --′．C'DCB A图839（1）指出这个二面角的面、棱、平面角； （2）若二面角C AD C --′是直二面角，求C C ′的长； （3）求AC ′与平面C CD ′所成的角； （4）若二面角C AD C --′的平面角为120︒，求二面角A C C D --′的平面角的正切值． 8．在棱长为a 的正方体中．求异面直线BD 和1B C 之间的距离．9．设由一点S 发出三条射线,,,,SA SB SC ASB BSC ASC αβθαβθ∠=∠=∠=、、、、均为锐角，且cos cos cos θβθ⋅=．求证：平面ASB ⊥平面BSC ．10．如图8-40，矩形ABCD ，PD ⊥平面ABCD ，若2PB =，PB 与平面PCD 所成的角为45︒，PB 与平面ABD 成30︒角，求：PF EDCBA图840（1）CD 的长；（2）求PB 与CD 所在的角；（3）求二面角C PB D --的余弦值． 11．如图8-41，线段PQ 分别交两个平行平面αβ、于A B 、两点，线段PD 分别交αβ、于C D 、两点，线段QF 分别交αβ、于F E 、两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF △的面积为72．求BDE △的面积．βαAB Q ED CPF图84112．如图8-42，已知正方形ABCD ．E F 、分别是AB CD 、的中点．将ADE △沿DE 折起，如图8-43所示，记二面角A DE C --的大小为θ（0πθ<<）．FEDCBA图842F EDCBA 图843（1）证明BF ∥平面ADE ；（2）若ACD △为正三角形，试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．13．在矩形ABCD 中，已知1,AB BC a ==，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =． （1）在BC 边上是否存在点Q ，使得PQ QD ⊥，说明理由；（2）若BC 边上有且仅有一个点Q ，使PQ QD ⊥，求AD 与平面PDQ 所成角的弦值； （3）在（2）的条件下，求出平面PQD 与平面PAB 所成角的大小．14．两个平行平面α和β将四面体ABCD 截成三部分．已知中间一部分的体积小于两端中任一部分的体积，点A 和B 到平面α的距离分别为30和20．而点A 和C 到平面β的距离分别为20和16，两个截面中有一个是梯形，点D 到平面α的距离小于24．求平面α和β截四面体所得的截面面积之比． 8．5空间向量及其坐标表示我们把具有大小和方向的量叫做向量．同向且大小相等的两个向量是同一个向量或相等的向量，大小相等方向相反的两个向量是互为负向量，大小为0的向量称为零向量．对空间任意两个向量a b 、．作OA a OC AB b ===，，则O A B 、、三点共面，见图8-44．因此，空间任意两个向量都可以用在同一平面内的两条有向线段表示．与平面向量运算一样，我们可以定义空间向量的加法、减法与数乘运算如下：a图844OB OA AB a b =+=+； CA OA OC a b =-=-；0000a a a λλλλλλ⎧>⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩方向相同，大小，，方向相同，大小，为为- 与平面向量类似，在空间两个向量的方向相同或相反，则称他们为共线向量或平行向量，共线向量所在直线平行或重合．类似我们可以验证空间向量的加法与数乘运算满足如下规律： （1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：()()a b c a b c ++=++ （3）数乘分配律：()a b a b λλλ+=+类似地，可以定义两个向量的夹角和向量的数量积：cos a b a b θ⋅=，其中θ为两个向量的夹角，[]0πa b θ∈，，、表示向量a b 、的大小 当π2θ=时称两个向量垂直记作a b ⊥． 与平向向量类似有下列性质成立： （1）0a b a b ⊥⇔⋅=． （2）2a a a =⋅． （3）()()ab a b λλ⋅=⋅．（4）a b b a ⋅=⋅． （5）()()()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅．例1．A B C D 、、、为空间不共面的四点，以A B C D 、、、四点为顶点的线段围成一个空间四面体，若AC BD BC BD ==，，求证AB CD ⊥．图845DBA解：BC AC AB BD AD AB =-=-，， BC BD =， 22BC BD ∴=．2()()BC BC BC AC AB AC AB =⋅=-⋅- 222AC AC AB AB =-⋅+．同理2222BD AD AD AB AB AD AC =-⋅+=，， AD AB AC AB ∴⋅=⋅即()AD AC AB -⋅=0．即CD AB ⋅=0，AB CD ∴⊥．通常我们将可以平移到同一个平面的向量，叫做共面向量．对空间任意两个向量，它们总是共面的，但空间任意三个向量就不一定是共面向量．如上例中a b c 、、中任意两个共面，但a b c 、、却不共面．下面讨论三个向量共面的条件．已知a b 、为不共线的向量，而a b c 、、三个向量共面，则表示可以将它们平移到同一个平面上．由平面向量唯一分解定理．存在实数()λμ，满足c a b λμ=+．反之，若存在实数对()λμ，满足c a b λμ=+，对空间任意一点O 作111OA a OB b OA a A B b λμ====，，，，则1111OB OA A B a b c λμ=+=+=即c 可以平移到O A B 、、三点所在平面上，因此a b c 、、共面．由此可得a b c 、、共面的充要条件是：存在实数对()λμ，满足c a b λμ=+．例2．求证：任意三点不共线的四点A B C D 、、、共面的充要条件是：对空间任意点O 有：OD xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）．证明：A B C D 、、、共面的充要条件是存在实数对()λμ，满足AD AB AC λμ=+（见图8-46）．图846()()OD OA AD OB OA OC OA μμ∴-==-+-， (1)OD OA OB OC λμλμ∴=--++．令1x λμ=--，y z λμ==，，则OD xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）．定理 如果三个向量a b c 、、不共面，那么对于空间任意向量P ，存在唯一的实数对()x y z ，，满足：P xa yb zc =++证明：如图8-47，过空间任意点O 作OA a OB b OC c OP P ====，，，， 图847P过点P 作1PP OC ，∥交平面OAB 于点1P ；则11P OP OP PP ==+． 11PP OC PP zc z ∴=∈R ，，∥． 在平面AOB 中存在z ，y ∈R ，满足1OP xOA yOB =+， 因此有11P OP OP PP xOA yOB zOC ==+=++． 若存在111()()x y z x y z ≠，，，，也满足：111P x a y b z c =++， 则有111P xa yb zc x a y b z c =++=++． 111()()x y z x y z ≠，，，，，不妨设1x x ≠，1111y y z za b c x x x x --∴=+--．a b c ∴、、共面，矛盾．由此定理可知，如果三个向量a b c 、、，那么所有空间向量均可以由a b c 、、唯一表示，此时我们称（a b c 、、）为空间向量的一个基底，a b c 、、都叫做基本向量．如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小为1，则称这个基底为单位正交基底，常用（i j k 、、）表示．在空间选定一点O 和一个单位正交基底（i j k 、、），以O 点为坐标原点，分别以i j k 、、的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系O xyz -，那么对于任意向量P ，存在唯一的实数对（x y z ，，）满足：P OP xi y j zk ==++，简记为()P x y z =，，，此时称点P 的坐标为()x y z ，，，见图8-48．图848若111()OA a x y z ==，，，222()OB b x y z ==，，，则 121212()a b x x y y z z +=+++，，，121212()BA OA OB a b x x y y z z =-=-=---，，，111()a x y z λλλλ=，，．例3．在直三棱柱111A B C ABC -中，π2BAC ∠=，11AB AC AA ===．已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，求线段DF 的长度的取值范围解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，则112211(00)(01)0101(00)(01)22F t t E G D t t ⎛⎫⎛⎫<<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，．所以12111122EF t GD t ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，．因为GD EF ⊥，所以1221t t +=，由此推出2102t <<．又12(0)DF t t =-，，，21DF t =1DF <．例4．已知四边形ABCD 和ABEF 是两个正方形，它们所在的平面互相垂直，M AC ∈，N BF ∈，且AM FN =，见图8-49．求证：不论M 在AC 上何处，直线MN 不可能同时垂直AC 和BF ．MNFEDCBA图849证明：设BA a BE b BC c BN t BF ====⋅，，，， 则()(1)()BN t a b AM t c a =⋅+=--， 于是()(1)()(1)MN BN BM t a b t c a a tb t c ⎡⎤⎡⎤=-=+---+=--⎣⎦⎣⎦， 假设MN 同时垂直AC 和BF ，则00.MN AC MN BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，由题设，知00a b b c ⋅=⋅=，， 由2(1)()(1)MN AC tb t c c a t c ⎡⎤⋅=--⋅-=-⋅⎣⎦，得10t -=即1t =．由2(1)()0MN BF tb t c a b t b ⎡⎤⋅=--⋅+=⋅=⎣⎦得0t =，矛盾！所以，MN 不可能同时垂直AC 和BF ．基础练习1．如图8-50，OA a OB b OC c ===，，，M N P 、、分别为AB 、BC 、CA 的中点，试用a b c 、、表示下列向量：OM MN AN ，，．图8502．已知空间三点(202)A -，，，(212)B -，，，(303)C -，，．设a AB b AC ==，，是否存在实数k ，使向量ka b +与2ka b -互相垂直，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．。
高一数学平面的基本性质及推论新
公理2的作用有三：
一 是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个 公共点，那么这两个平面相交；
二 是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公 共点，那么这点就在这两个平面的交线上.
三.两平面两个公共点的连线就是它们的交线
P，Q，R三点共线.
要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落 在两个相交平面内，则落在它们的交线上.
平面的基本性质
过一点可以做几条直线？两点呢？
过平面内一点可以做几个平面？两点呢？三点呢？
B α
A
C
公理3.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 .
文字语言：
公理3.过不在同一直线上的三点，有且只 有一个平面.
三种情形：平行、相交、异面，故③正确．分别在两个
平面内的两条直线可能是平行直线或相交直线，故④不 正确．
练：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱所在的直线中，与直线 AB是异面直线的条数是( A．2 B．3 ) C．4 D．5
解析：如图，正方体的前面与底面所在平面的交线为AB，
故与直线AB是异面直线的棱所在的直线只能在其余的五
A
B
C
要证明各点共线，只要证明他们是两 个平面的公共点
例4.已知三角形ABC的三条边AB、BC、AC与平 A 面α分别交于P、Q、R B 求证：P、Q、R共线 C 证明： P
R
Q
P AB 平面ABC P 平面ABC P P 平面ABC
同理Q、R也为公共点 所以P、Q、R共线
2.判断下列命题是否 正确：
（1）经过三点确定一个平面。 （×）
高一数学必修二平面知识点详解
高一数学必修二平面知识点详解高一的时候，正是学好基础知识点的时候，下面是店铺给大家带来的有关于高一的数学关于平面的知识点的介绍，希望能够帮助到大家。
高一数学必修二平面知识点一、高一数学平面概念通常用一个平行四边形来表示。
平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：a) A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内;b) lα—直线l在平面α内;c) aα—直线a不在平面α内;d) l∩m=A—直线l与直线m相交于A点;e) α∩l=A—平面α与直线l交于A点;f) α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.二、高一数学平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.根据上面的公理，可得以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行高一数学必修二集合公式特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线) 柱体、锥体、台体的体积公式球体的表面积和体积公式：V= ; S=1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 三个公理：(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为A∈LB∈L => L αA∈αB∈α公理1作用：判断直线是否在平面内.(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
【高中数学】平面 课件 2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
四、平面的基本性质
思考：两点可以确定一条直线，那么几个点可以确定一个平面呢?
自行车着地 “站稳”,三脚架
支撑照相机…….由这些事实和
类似经验说明什么？
平面的基本事实1
文字语言：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
也可以简单说成:“不共线的三点确定一个平面”.
图形语言：
C
α A
B
符号语言： A,B,C不共线=>存在唯一的平
α
M ,M a
β
题型三：确定平面个数问题
1.【见课本第132页，第7题】
三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个一个平面，
一共可以确定几个平面？如果三条直线相较于一点，它们最
多可以确定几个平面？
3
A
3
2.不共面的四点可以确定几个平面?
4
D
B
3.空间有5个点，其中有四个点在同一平面内，
但没有任何的三点共线.这样的5个点确定平面
的个数最多可以确定几个平面？
7
C
题型四：点共线、线共点、点共面、线共面问题
1.【见课本第132页，第6题】
如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗？
题型四：点共线、线共点、点共面、线共面问题
例1.如右图在空间四边形ABCD中，
A
若直线EH和FG相交于K，则K点在
BD上吗，为什么？
E·
H
·
B
F·
D
·
G
C
K
推论1
基本事实1给出了确定一个平面的一种方法，
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点
确定一条直线”，你还能得到一些确定一个
人教A版高一数学必修2人教版精品课件第2章 2.1 2.1.1《平面》
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2．下列命题正确的是( C ) A．因为直线向两方无限延伸，所以直线不可能在平面内 B．如果线段的中点在平面内，那么线段在平面内 C．如果线段上有一个点不在平面内，那么线段不在平面内 D．当平面经过直线时，直线上可以有不在平面内的点 3．下列说法中正确的是( C ) A．两个平面相交有两条交线 B．两个平面可以有且只有一个公共点 C．如果一个点在两个平面内，那么这个点在两个平面的交 线上 D．两个平面一定有公共点
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例 4：如图 5，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F 分别是 AA′、AB 上一点，且 EF∥CD′，求证：平面 EFCD′、 平面 AC 与平面 AD′两两相交的交线 ED′、FC、AD 交于一点．
图5
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错因剖析：遇到此类证明多线共点问题，找不到解决问题 的突破口．
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正确地用图形和符号表示点、直线、平面以 及它们之间的关系．点看成是元素，线、面看成是点的集合， 所以点与线、面的关系用“∈、∉”表示，线与线、线与面及面 与面的关系用“⊂、⊄”表示．
1－1.试用集合符号表示下列各语句，并画出图形： (1)点 A 在平面α内，但不在平面β内； (2)直线 l 经过平面α外一点 P，且与平面α相交于点 M； (3)平面α与平面β相交于直线 l，且 l 经过点 P.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平面
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1．下列命题正确的是( C ) A．画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm B．一个平面的面积可以是 16 m2 C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把 空间分成两部分 D．10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚
平面几何知识点新高一数学
平面几何知识点新高一数学平面几何是高中数学中的一个重要内容，它是数学的基础，也是理解数学概念和解题思路的关键。
在高一数学中，学生将学习平面几何的基本知识点，包括点、线、面的基本性质、直线与平面的关系、平行线与垂直线的性质等。
通过掌握这些知识点，学生能够建立起对平面几何的基础认识，并能够应用于实际问题的解决。
本文将就平面几何的一些典型知识点进行详细介绍和讲解。
1. 点、线和面的性质在平面几何中，点、线和面是最基本的几何概念。
点是没有大小和形状的，它是几何中最基本的元素，用大写字母表示，如A、B、C等。
线由无数个点按一定顺序排列而成，它是一个没有宽度的几何对象。
线分为直线和曲线两种，直线是两个点之间的最短路径，而曲线则是不是直线的线。
面是由无数个点组成的集合，它是一个有无限长宽的平面。
三维空间中的平面被称为平面，用大写字母表示，如P、Q、R等。
2. 直线与平面的关系直线与平面的关系在平面几何中占有重要地位。
直线与平面的交点可以分为三种情况：交于一点、交于一条直线、和不相交三种情况。
当一条直线与平面有且只有一个交点时，称为直线与平面相交于一点的情况；当一条直线与平面有无数个交点时，称为直线与平面相交于一条直线；当一条直线与平面没有交点时，称为直线与平面不相交的情况。
3. 平行线与垂直线的性质平行线和垂直线是平面几何中常见的概念。
两条直线如果没有交点，那么它们是平行线。
平行线之间的距离在任意一点上都是相等的。
而垂直线是指两条直线的夹角为90度的情况。
垂直线与平面相交时，相交处的两条线互相垂直。
4. 三角形的性质三角形是平面几何中最基本的多边形之一，它是由三条边和三个内角组成的。
三角形的性质包括：三角形的内角和为180度，三条边之间满足边长关系，例如三角不等式定理，其中两边之和大于第三边；三角形的内角之间满足一些规律，例如对顶角相等、对边相等等。
5. 相似三角形的性质相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例的情况。
高一数学人教A版必修二课件：2.1.1 平面
一二三四
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
空间两两相交的三条直线,可以确定的平面数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.1或3 答案:D
解析:两两相交不共点的三条直线,可确定一个平面;两两相 交且共点的三条直线若在一个平面内,可确定一个平面;若三 条直线不在一个平面内,每两条可确定一个平面,共确定3个平
一二三四
知识精要 典题例解 迁移应用
如图,已知△ABC在平面α外,它的三边所在的直线分别交平 面α于点P,Q,R,求证:P,Q,R三点共线.
证明:∵AB∩α=P,AB⊂平面ABC, ∴P∈平面ABC,P∈α.
∴点P在平面ABC与平面α的交线上.
同理可证,点Q和R均在这条交线上.
一二三四
知识精要 典题例解 迁移应用
【例2】 过直线l外一点P引两条直线PA,PB和直线l分别相 交于A,B两点,求证:三条直线PA,PB,l共面.
思路分析:根据条件P,A,B确定一个平面,再证直线l,PA,PB在 这个平面内.
证明:如图,∵点P,A,B不共线,
∴点P,A,B确定一个平面α.
一二三四
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一二三四
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二、点线共面问题 解决点线共面问题的基本方法
一 二三四
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怎样证明多点或多线共面? 提示:要证明多点或多线共面,首先根据确定平面的条件找 到平面,再结合公理1证明其余的点或线也在这个平面内.
一二三四
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案例探究 误区警示 思悟升华
易错考点:共面问题判断中的解题误区 下列说法中正确的是( )
A.空间不同的三点确定一个平面 B.空间两两相交的三条直线确定一个平面 C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
高一数学平面知识点概念
高一数学平面知识点概念在高一数学中，平面几何是一个重要的知识点。
本文将介绍一些关键的平面几何概念，帮助学生们加深对平面几何的理解。
平面是一个没有厚度、无穷延伸的二维空间。
在我们日常生活中，我们经常接触到平面，比如墙壁、桌面等。
在数学中，平面可以用平面坐标系来描述。
平面坐标系有两个坐标轴，分别是x轴和y轴，利用这两个坐标轴我们可以确定平面上任意一个点的位置。
平面上的点是平面几何的基础。
任意两个不同的点可以确定一条直线，这就是平面几何中的直线概念。
直线是由无数个点组成的，它没有起点和终点，可以无限延伸。
直线上的任意两点可以确定一条唯一的直线，这就是直线的基本性质之一。
在平面几何中，直线是重要的研究对象之一，直线上的点也具有一些特殊的性质。
比如，两个直线相交于一点，这个点被称为交点。
两个直线相交时，它们按照相交的形态可以分为三种情况：相交于一点、平行、重合。
相交于一点的两条直线称为交叉直线，它们共享一个交点。
值得注意的是，在平面几何中，两条直线不可能交于两个以上的点。
平行线是平面几何中一个重要的概念。
两条平行线在平面上的位置相互平行，它们的距离始终保持相等，永不交叉。
两条直线平行的判定条件有多种，其中之一是斜率相等。
斜率是直线的一个重要特征，它表示直线的倾斜程度。
两条平行线的斜率相等，但不等于零。
除了直线和点，在平面几何中还有其他一些重要的几何图形。
比如，矩形、正方形、圆等。
矩形是一种具有四个直角的四边形。
正方形是一种特殊的矩形，它的四条边相等且具有四个直角。
圆是由一条曲线所组成的，它的所有点到圆心的距离都相等。
在平面几何中，还有一些常见的关系。
例如，垂直、水平和倾斜。
垂直是指两条线段或直线互相交于直角的关系。
水平是指与地面平行的线或表面的关系，没有任何倾斜。
而倾斜则是指在水平和垂直之间具有明显倾斜度的关系。
平面几何是数学中的一个重要分支，它与我们日常生活息息相关。
通过学习平面几何的概念和性质，我们可以更好地理解和解决与平面相关的问题。
高一数学平面的形成(PPT)4-3
1、平面图形与立体图形的联系与区别： 联系：从集合论的角度看，两者都是点的
集合； 区别：① 平面图形的点都在一个平面内， 而立体图形的点不全在一个平面内；
② 平面图形由点、线构成，而立体图过任意一点引三条互相垂直的 直线吗？
墙角
是“焊剂”的意思。说明古代阿拉伯人就已经知道了硼砂具有熔融金属氧化物的能力，在焊接中用做助熔剂。直至 年，人们才认识到硼不仅是植物，也且是
动物与人类所必须的元素。当时报道的一项早期研究结果提示了硼的必要性，在这项研究中发现，给雏鸡喂饲维生素D不足但并不完全缺乏的饲料时，硼能 够改善其骨骼钙化。 [] 含量分布编； 幼儿教育加盟 幼儿教育加盟 ；辑 硼约占地壳组成的.%，它在自然界中主要矿石是硼砂和白 硼钙石等。中国西藏自治区许多含硼盐湖，蒸发干涸后有大量硼砂晶体堆积。 [] 硼在自然界中的含量相当丰富。天然产的硼砂（Na?B?O?·H?O），在中国 古代就已作为药物，叫做蓬砂或盆砂，可能是从西藏传到印度，再从印度传到欧洲去的。 理化性质编辑 物理性质 单质硼为黑色或深棕色粉末， 硼 硼 熔点 7℃。沸点 7℃。单质硼有多种同素异形体，无定形硼为棕色粉末，晶体硼呈灰黑色。晶态硼较惰性，无定形硼则比较活泼。单质硼的硬度近似于金刚石，有 很高的电阻，但它的导电率却随着温度的升高而增大，高温时为良导体。硼共有4种同位素，其中只有两个是稳定的。 室温时为弱导电体；高温时则为良导 体。在自然界中主要以硼酸和硼酸盐的形式存在。 [4] 晶体结构 晶态单质硼有多种变体，它们都以B正二十面体为基本的结构单元。这个二十面体由个B原 子组成，个接近等边三角形的棱面相交成条棱边和个角顶，每个角顶为一个B原子所占据。 由于B二十面体的连接方式不同，键也不同，形成的硼晶体类型也 不同。其中最普通的一种为α-菱形硼。 α-菱形硼是由B单元组成的层状结构，α-菱形硼晶体中既有普通的σ键，又有三中心两电子键。许多B原子的成键电子 在相当大的程度上是离域的，这样的晶体属于原子晶体，因此晶态单质硼的硬度大，熔点高，化学性质也不活泼。 在α－菱形硼晶格中，每个二十面体通过 处在腰部的个B原子以三中心两电子键与在同一平面内的相邻的个二十面体连接起来（其中虚线三角形表示三中心两电子键，键距pm）。这种二十面体组成 的片层，层面结合靠的是二十面体的上下各 个B原子以个正常的B-B共价键（即两中心两电子键，键长7pm）同上下两层的个附近的二十面体相连接，个在 上一层，个在下一层。 在硼的二十面体结构单元中，B的个电子是如下分配的：在二十面体内有个分子轨道，用去个电子；每个二十面体同上下相邻的个二 十面体形成个两中心两电子共价键，用去了个电子；在二十面体腰部的个B原子与同平面上周围相邻的个三中心两电子键，用去了×/=4个
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小结
平面图形 1、空间图形 立体图形 2、平面是无限延展的。 3、画法：平行四边形 4、记法： ① 平面ABCD
② 平面AC 或平面BD ③ 平面α ④ 平面M
思考： 1、能不能说一个平面长 3 米，宽 2 米？
为什么? 不能 2、怎么画一个平面？ 平行四边形 3、已知点 P 在平面α外，则记作 ________
课后思： 1、制作空间四边形的模型，观察它的特征。 2、画一正方体，观察它有几个表面？几个 顶点？ 3、什么是公理？什么是定理？两者有何区 别？ 4、预习平面的基本性质。
的环境，那幸福的生活，那日新月异的国与家
我想在这个夏末寄给你一封信，托一只洁白的信鸽，穿越十年的时空，送 到你的窗前。 我亲爱的你，虽然现在距离秋天还很遥远，但是已经冷了不少，我可以看见窗外的叶子被萧瑟的风儿拂起，或许它们还不知道，在不久的将来，它们就 会像蒲公英一样，相忘于自然的荒漠。
例3、图中平面α与平面β是否为同一平面？
β
α
是
α
不是
β α
β是
例4、下列各图中，有多少个平面？写出这
些平面。
A
D
C
A
B
F
E
平面 ABCD
平面 ABEF
D
B
α
C
平面α 平面 ABD
例5、观察下面两个图形，用模型来说明它 们的位置有什么不同，并用字母来表示各平 面。
例6、用虚线画出看不到的线，完成图形。
我想在这个夏末寄给你一封信，托一只洁白的信鸽，穿越十年的时空，送
到你的窗前。 我亲爱的你，虽然现在距离秋天还很遥远，但是已经冷了不少，我可以看见窗外的叶子被萧瑟的风儿拂起，或许它们还不知道，在不久的将来，它们就 会像蒲公英一样，相忘于自然的荒漠。 现在的我你还记得吗，一个不引人注目的傻姑娘，不知未来的你会不会成为一个袅袅婷婷的女子，会不会在安闲的午后穿着你最爱的长裙，让柔和阳光 和着时间偷偷顺着你的肩胛流走？会不会在古老的江南，用带有淡香的墨水在羊皮卷上写上祝福的东巴文字，赠予过往的有缘人？会不会在茶马古道的驿站， 用你的巧手去弹家传的古筝琵琶？ 我很好奇，你会是怎样的一个女子？是如花木兰的巾帼不让须眉，亦或是李清照的婉约秀丽？是 我很好奇，未来的你会不会选择我喜欢的设计？会不会在我喜欢的地方开 如秋瑾的坚韧不屈，还是蔡文姬的才华横溢？ 一家咖啡馆？那个店里会不会有一个文艺的名字，里面的设计是不是我喜欢的——房顶是淡淡的咖啡色，桌椅是木制的，总是不经意间散发出淡淡清香？阳 台上的植物会不会有我喜欢的山茶花——似朝霞，艳丽却不失温馨。那些桌上 的桌布会不会是我喜欢的淡蓝色？是不是会有几个知心朋友在一旁陪你侃侃家 常？
② 平面图形由点、线构成，而立体图 形是由点、线、面构成。
2、空间图形
平面图形 立体图形
3、立体图形的研究方法：
① 考虑问题时，要着眼于整个空间，而不 是局限于某一个平面； ② 立体图形的问题常常转化为平面图形问 题来解决。
研究内容：空间的直线、平面和简单几何 体及它们的几何性质、位置关系的判定、 画法、度量计算以及相关的应用。
问题一：你能过任意一点引三条互相垂直的 直线吗？
墙角
问题二：你能用六根火柴棍，在桌面上搭四 个三角形吗？
问题三：你能画出一个四边形，使它的对角 线所在的直线不相交吗？
折纸
上述图形即为立体图形
1、者都是点的
集合； 区别：① 平面图形的点都在一个平面内， 而立体图形的点不全在一个平面内；
学习要点： ① 搞清平面图形和立体图形的联系与区别； ② 发展空间想像能力； ③ 提高推理论证能力。
1、概念：平面是无限延展的。
2、画法： D
α A
C M B
3、记法：
① 平面ABCD
② 平面AC 或平面BD
③ 平面α ④ 平面M
标记在角上
相交面画法： β
β
α
α
平面可以看成由它内部的所有点组成的点集 点 A 在平面α内 点 B 不在平面β内
例1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打 ，否则打 :
1、一个平面长 4 米，宽 2 米；
()
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
例2、下图中有无不正确的地方？应如何纠正？ α