印度数学和阿拉伯数学共48页
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印度与阿拉伯数学
其中系统介绍了印度数码十进制记数法， 以及相应的计算方法。
尽管在8世纪印度数码和记数法已随印度 的天文表传人阿拉伯，但并未引起人们 的广泛注意。 花拉子米的使它们在阿拉伯世界流行起 来。
更值得称道的是，它后来被译成拉丁文 在欧洲传播，所以欧洲人一直称这种数 码为阿拉伯数码。
阿拉伯人在代数、三角方面也取得了一 些自己的成就； 他们在几何上方面的工作主要是对希腊 几何的翻译与保存，并传给了欧洲。
在苏曼尔哈里发时期，婆罗摩笈多、婆 什迦罗等印度天算家的著作在766年左 右进入巴格达，并译成阿拉伯文。
8世纪末9世纪初包括《几何原本》在内 的希腊众多希腊天文数学经典先后被译 成阿拉伯文。 到10 世纪这种翻译运动仍在继续。 他们的这种翻译为世界科学文化遗产的 保护起到了不可估量的积极运动。
素馨花开香扑鼻， 诱得蜜蜂来采蜜。 熙熙攘攘不知数， 一群飞入花丛里。 试问此群数有几？ 全体之半平方根。 另有两只在一起， 总数位九分之八， 徘徊在外做游戏。
.
解得答案为：=72
1.1 印度数学的特色
（1） 搞数学的印度人把自己当作天文学家。 由于种姓制度，数学教育几乎只属于僧侣； 印度人是有造诣的计算家，也是拙劣的几何 学者；
特征： 一是各等级职业世袭，父子世代相传。
二是各等级实行内部同一等级通婚，严格 禁止低种姓之男与高种姓之女通婚，但可 以低种姓之女嫁给高种姓之男。 三是首陀罗没有参加宗教生活的权利。 四是各等级在法律上是不平等的。
(2) 印度人用诗歌的形式来写作数学，并 且他们在世界的语言含糊而神秘。
尽管在8世纪印度数码和记数法已随印度 的天文表传人阿拉伯，但并未引起人们 的广泛注意。 花拉子米的使它们在阿拉伯世界流行起 来。
更值得称道的是，它后来被译成拉丁文 在欧洲传播，所以欧洲人一直称这种数 码为阿拉伯数码。
阿拉伯人在代数、三角方面也取得了一 些自己的成就； 他们在几何上方面的工作主要是对希腊 几何的翻译与保存，并传给了欧洲。
在苏曼尔哈里发时期，婆罗摩笈多、婆 什迦罗等印度天算家的著作在766年左 右进入巴格达，并译成阿拉伯文。
8世纪末9世纪初包括《几何原本》在内 的希腊众多希腊天文数学经典先后被译 成阿拉伯文。 到10 世纪这种翻译运动仍在继续。 他们的这种翻译为世界科学文化遗产的 保护起到了不可估量的积极运动。
素馨花开香扑鼻， 诱得蜜蜂来采蜜。 熙熙攘攘不知数， 一群飞入花丛里。 试问此群数有几？ 全体之半平方根。 另有两只在一起， 总数位九分之八， 徘徊在外做游戏。
.
解得答案为：=72
1.1 印度数学的特色
（1） 搞数学的印度人把自己当作天文学家。 由于种姓制度，数学教育几乎只属于僧侣； 印度人是有造诣的计算家，也是拙劣的几何 学者；
特征： 一是各等级职业世袭，父子世代相传。
二是各等级实行内部同一等级通婚，严格 禁止低种姓之男与高种姓之女通婚，但可 以低种姓之女嫁给高种姓之男。 三是首陀罗没有参加宗教生活的权利。 四是各等级在法律上是不平等的。
(2) 印度人用诗歌的形式来写作数学，并 且他们在世界的语言含糊而神秘。
印度和阿拉伯的数学
印度和阿拉伯的数学
数学是科学的大门和钥匙
Ragen Bacan
印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度人在算术和代数作出了杰出的贡献，《绳法经》是印度最早的数学文献，其中最重要的内容是祭坛的建造问题，即利用绳子和竹杆给出固定的测量法则。
印度人在算术运算的贡献如：0的运算，负数的运算；正视无理数的存在，不定方程的研究及其应用等，并推导出运算公式：ab
(+
+
=
+代数被应用在普通商业问
)
b
a2
a
b
题上，如计算利息、财产划分等，但是在几何方面一直没有出色的进展。
公元200—1200年时期是阿拉伯人的数学成就，这段时间，阿拉伯人所能掌握的文化来源是非常丰富的，除延请印度科学家到巴格达外，希腊文明衰落后，许多学者跑到波斯。
阿拉伯人在用圆锥曲线相交来解三次方程上推进了一大步。
阿拉伯人在数学上没有什么重要的推进，他们所做的是吸收了希腊和印度的数学，把他们保存下了，并最终传给了欧洲，其中值得一提的是以10为底的进位制记数不，对1到9的量的数字记号，以及把0作为一个数引入。
1100—1300年间，基督徒十字军和蒙古的入侵，导致该地区的数学和科学活动逐步衰落。
第三讲印度与阿拉伯的数学
该书包括了《天文表集》、《算术》、《时间度量》 与《球》等篇，最突出的地方在于对希腊三角学 的改进和一次不定方程的解法。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
13
“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多
在数学方面，阿耶波多所制正弦表在三角学史上有 重要地位，其中用同一单位度量半径与圆周，孕 有弧度制的观念。
阿耶波多又创造了具有浓郁印度特色的“粉碎法” （梵语称“库塔卡”），开古代印度一次不定方 程研究之先河。
日，印巴分治，印度独立。
1950年1月26日，印度共和国成立，为英联邦成员国。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
3
印度数学
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
4
印度数学
公元前3000年左右，印度土著居民达罗毗荼人创造 了“哈拉帕文明”。大约到了公元前2000年中叶， 操印度语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了 达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。
零号的发明是对世界文明的杰出贡献。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
10
表示数字1到9的符号在印度的婆罗门教文献中已经 出现，它们至少可追溯到公元前3世纪中叶，许多 可在柱子上的国王的法令中有这些数的符号。约 在8世纪，伊斯兰国家入侵印度难度，同时征服了 地中海地区大部分国家，然后他们采用了这些数 字。一个世纪后，这些数字在西班牙出现，再晚 些又在意大利和欧洲出现。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
14
“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多
32～33、余数粉碎法（库塔卡） 对应于较大余数 的除数除以对应于较小余数的除数。[不计商数]所 得余数[又与除数]相除。[直至最后余数足够小， 而商是偶数个]。最后一个余数乘以某一选定的 数。……
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
13
“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多
在数学方面，阿耶波多所制正弦表在三角学史上有 重要地位，其中用同一单位度量半径与圆周，孕 有弧度制的观念。
阿耶波多又创造了具有浓郁印度特色的“粉碎法” （梵语称“库塔卡”），开古代印度一次不定方 程研究之先河。
日，印巴分治，印度独立。
1950年1月26日，印度共和国成立，为英联邦成员国。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
3
印度数学
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
4
印度数学
公元前3000年左右，印度土著居民达罗毗荼人创造 了“哈拉帕文明”。大约到了公元前2000年中叶， 操印度语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了 达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。
零号的发明是对世界文明的杰出贡献。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
10
表示数字1到9的符号在印度的婆罗门教文献中已经 出现，它们至少可追溯到公元前3世纪中叶，许多 可在柱子上的国王的法令中有这些数的符号。约 在8世纪，伊斯兰国家入侵印度难度，同时征服了 地中海地区大部分国家，然后他们采用了这些数 字。一个世纪后，这些数字在西班牙出现，再晚 些又在意大利和欧洲出现。
2010年8月
印度与阿拉伯的数学
14
“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多
32～33、余数粉碎法（库塔卡） 对应于较大余数 的除数除以对应于较小余数的除数。[不计商数]所 得余数[又与除数]相除。[直至最后余数足够小， 而商是偶数个]。最后一个余数乘以某一选定的 数。……
第四章印度与阿拉伯数学
2.2 印度数系传向欧洲
印度数码刚传到欧洲时并不是现在的样子， 因为手写体总有变化，所以在欧洲经过若 干岁月的演变，逐渐变成接近现在的样子。 14世纪，中国印刷术传到欧洲， 1480年，英国一本印刷书中数码已相当接近 现代写法。
2.3阿拉伯的数学家
阿拉伯学者们在广泛吸收了古希腊、印度 （中国）的数学家成果基础上，也加上了 他们自己的创造，使阿拉伯数学对以后欧 洲数学的进步产生了深刻的影响。
其中系统介绍了印度数码十进制记数法， 以及相应的计算方法。
尽管在8世纪印度数码和记数法已随印度 的天文表传人阿拉伯，但并未引起人们 的广泛注意。 花拉子米的使它们在阿拉伯世界流行起 来。
更值得称道的是，它后来被译成拉丁文 在欧洲传播，所以欧洲人一直称这种数 码为阿拉伯数码。
阿拉伯人在代数、三角方面也取得了一 些自己的成就； 他们在几何上方面的工作主要是对希腊 几何的翻译与保存，并传给了欧洲。
如：
A x
D 12
B
48
C
已知：AD AC DB BC 求：AD ?, DC ? 设：AD x, 则AD AB 2 BC 2 BD BC 即：x 48 2 ( x 12 ) 2 12 48, 得 : x 8
印度人这样编题：
山上住着两个苦行者，一个是巫师，会 在空中飞行。他从 山顶笔直跳到空中到 达某一高度后斜降到某一小镇上；另一 个从山顶垂直入地，再步行到同一小镇。 二人所经过的距离相等，求山和小镇的 距离及巫师升高的高度。
在苏曼尔哈里发时期，婆罗摩笈多、婆 什迦罗等印度天算家的著作在766年左 右进入巴格达，并译成阿拉伯文。
印度数学与阿拉伯数学
印度数学与阿拉伯数学数学，作为一门古老而深邃的学科，在人类文明的发展历程中扮演着至关重要的角色。
其中，印度数学和阿拉伯数学犹如两颗璀璨的明珠，各自闪耀着独特的光芒，为数学的宝库增添了丰富而珍贵的财富。
印度数学的起源可以追溯到数千年前的吠陀时期。
当时的印度学者就已经对数学有了初步的探索和研究。
印度人发明了十进制计数法，这一伟大的创造使得数字的表示和运算变得更加简便和高效。
十进制计数法以其简洁明了的特点，被广泛应用于世界各地，成为现代数学的基础之一。
印度数学在算术方面有着卓越的成就。
例如，他们很早就掌握了整数和分数的运算规则，并且能够熟练地进行加减乘除等基本运算。
印度数学家还提出了“零”的概念，这是数学史上的一个重大突破。
“零”的引入不仅丰富了数学的内涵，也为后续的数学发展奠定了坚实的基础。
在代数领域，印度数学也有着显著的贡献。
印度数学家发明了用字母表示未知数的方法，这为现代代数的发展铺平了道路。
他们还研究了一元二次方程的求解方法，并得出了一系列准确而实用的公式。
此外，印度数学中的排列组合知识也相当丰富，为后来的概率论的发展提供了重要的思想源泉。
印度的几何数学同样不容忽视。
在测量和建筑领域，印度人积累了丰富的经验，形成了独特的几何理论。
他们对三角形、圆形等基本图形的性质有着深刻的理解，并能够运用这些知识解决实际问题。
与印度数学相比，阿拉伯数学在吸收和融合其他文明数学成果的基础上，也取得了令人瞩目的成就。
阿拉伯人在数学传播方面发挥了关键作用。
在中世纪时期，欧洲的数学发展相对滞后，而阿拉伯地区则成为了数学知识的重要交流中心。
阿拉伯学者将印度数学、古希腊数学等不同文明的数学成果翻译成阿拉伯文，并加以整理和研究，使得这些宝贵的知识得以保存和传承。
阿拉伯数学在代数方面的成就尤为突出。
阿拉伯数学家对代数方程的研究更加深入和系统，他们完善了一元二次方程的求解方法，并将其推广到更高次方程的求解。
此外，他们还发展了多项式的运算理论，为代数学的进一步发展奠定了基础。
印度、阿拉伯 数学史
“婆什迦罗号”人造卫星 （1979）
阿拉伯数学(公元8-15世纪)
阿拉伯帝国简况
先知穆罕默德（570－632）：610年在麦加创立了伊斯兰教，至632年，一
个以伊斯兰教为共同信仰、政教合一，统一的阿拉伯国家出现于阿拉伯半岛。
四大哈里发时期（632－661）：以“圣战”为名进行大规模的武力扩张，
阿拉伯数学
820年《代数学》 3项2次方程的求解
阿拉伯数学
9世纪的印度数码 15世纪在欧洲使用 的印度数码
印度－阿拉伯数字
阿拉伯数学
阿拉伯的三角学 巴塔尼(850－929) 《天文论著》（星的科学）， 发现地球轨道是一个经常变动的 椭圆, 创立了系统的三角学术语 对希腊三角学系统化，对中 世纪欧洲影响最大的天文学家
为阿拉伯帝国的建立奠定了基础。
倭马亚王朝时期（661－750）：定都大马士革，发动大规模的对外战争，
版图东起印度西部，西至西班牙，北抵中亚，南达北非，成为地跨亚、非、 欧三大洲的庞大帝国。
阿拔斯王朝时期 （750－1258）：迁都巴格达 ，750－842年是帝国的极盛
时代，巴格达成为国际贸易与文化中心之一，创造出光辉灿烂的阿拉伯文化。 9世纪中叶后，王朝进入分裂和衰落时代，1258年蒙古军队攻陷巴格达。
巴塔尼
阿拉伯数学
中期阿拉伯数学: 10－12世纪
奥马 〃 海雅姆(1048－1131)
编制了中世纪最精密的历法：哲拉里 历
《还原与对消问题的论证》(1070) 研究3次方程根的几何作图法，提出 的用圆锥曲线图求根的理论
奥马 ·海雅姆
（阿尔巴尼亚，1997）
阿拉伯数学
比鲁尼(973－约1048)
乌贾因天文台
第3章印度与阿拉伯的数学解析
波斯人奥马· 海亚姆(Omar Khayyam，1048?—1131)是11世 纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人。
他在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题 的论证》(简称《代数学》)一书中，其中有开平方、开立方算 法，但该书对代数学发展最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方 程． 奥马· 海亚姆首先将不高于三次的代数方程分为25类(系数 为正数)，找到14类三次方程，对每类三次方程给出相应一种几 何解法。 3 3 2 2 例如解 x ax b ，首先将其化为 x c x c d (这 2 2 a , b 是线段， 里 c a, c d b ， 按照希腊人的数学传统， c 2正 方形， c 2 d 为长方体)。
3.2.1 阿拉伯的代数
(一)花拉子米(代数学)
阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面．花拉子米 (Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，约783--850)是中世纪对欧洲数 学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》(约820 年前后)一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响．阿拉 伯语“al-jabrwa’l-muqabala” ”，意为移项对消之意．传入欧洲后， 到14世纪“al-jabr”演变为拉丁语“algebra”，也就成了今天的英文 “algebra”(代数)，因此花拉子米的上述著作通常就称为《代数学》 ． 书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了 一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同 类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数 学开拓了道路．
3 2 2 方程 x c x c d 的解就是抛物线 2 圆 y x(d x) 交点横坐标x．
x 2 cy 与半
他在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题 的论证》(简称《代数学》)一书中，其中有开平方、开立方算 法，但该书对代数学发展最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方 程． 奥马· 海亚姆首先将不高于三次的代数方程分为25类(系数 为正数)，找到14类三次方程，对每类三次方程给出相应一种几 何解法。 3 3 2 2 例如解 x ax b ，首先将其化为 x c x c d (这 2 2 a , b 是线段， 里 c a, c d b ， 按照希腊人的数学传统， c 2正 方形， c 2 d 为长方体)。
3.2.1 阿拉伯的代数
(一)花拉子米(代数学)
阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面．花拉子米 (Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，约783--850)是中世纪对欧洲数 学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》(约820 年前后)一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响．阿拉 伯语“al-jabrwa’l-muqabala” ”，意为移项对消之意．传入欧洲后， 到14世纪“al-jabr”演变为拉丁语“algebra”，也就成了今天的英文 “algebra”(代数)，因此花拉子米的上述著作通常就称为《代数学》 ． 书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了 一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同 类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数 学开拓了道路．
3 2 2 方程 x c x c d 的解就是抛物线 2 圆 y x(d x) 交点横坐标x．
x 2 cy 与半
数学史课件第四讲印度与阿拉伯数学
杰拉德(意，1114－1187) ——《天文学大成》、《原本》、
《圆锥曲线论》、《圆的度量》
阿德第一拉所德大《学原, 1本08》8拉 （丁圭文亚译那本，的20插00页）
1207年亚里士多德的著作全部被译 成拉丁文
欧洲人了解到希腊和阿拉伯数学， 构成后来欧洲数学发展的基础
托马斯·阿奎那(意, 1225-1274)
第4讲 印度与阿拉伯的数学
印度数学 阿拉伯数学
印度数学
达罗毗荼人时期 （约公元前3000——前1400年） 吠陀时期 （约公元前10世纪——前3世纪） 悉檀多时期 （公元5世纪——12世纪）
印度数学
古代《绳法经》（吠陀时代）
《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计和测量的部分。
巴克沙利手稿 （公元前2世纪—公元3世纪）
航海（葡萄牙，1989）
欧洲出现新兴城市
商业与航海
创立大学
1088年博洛尼亚大学 1160年巴黎大学 1167年牛津大学
11220198“年年十剑萨字桥拉大曼军学卡东大征学” 12(2120年96帕-1多2瓦91大) 学
科学复苏
阿德拉德(英，约1090－约1150) ——《原本》和花拉子米的天文表
印度数学
婆什迦罗第二(1114-约1185) 古印度数学最高成就《天 文系统之冠》（1150）
《莉拉沃蒂》、《算法本源》
“婆什迦罗号”人造卫星 （1979）
带着微笑眼睛的美丽少女， 请你告诉我，按照你理解的正确 反演法，什么数乘以3，加上这 个乘积的3/4，然后除以7，减去 此商的1/3，自乘，减去52，取 平方根，加上8，除以10，得2？
印度(公元5-12世纪)
阿拉伯代数学
花拉子米 (苏联, 1983)
《圆锥曲线论》、《圆的度量》
阿德第一拉所德大《学原, 1本08》8拉 （丁圭文亚译那本，的20插00页）
1207年亚里士多德的著作全部被译 成拉丁文
欧洲人了解到希腊和阿拉伯数学， 构成后来欧洲数学发展的基础
托马斯·阿奎那(意, 1225-1274)
第4讲 印度与阿拉伯的数学
印度数学 阿拉伯数学
印度数学
达罗毗荼人时期 （约公元前3000——前1400年） 吠陀时期 （约公元前10世纪——前3世纪） 悉檀多时期 （公元5世纪——12世纪）
印度数学
古代《绳法经》（吠陀时代）
《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计和测量的部分。
巴克沙利手稿 （公元前2世纪—公元3世纪）
航海（葡萄牙，1989）
欧洲出现新兴城市
商业与航海
创立大学
1088年博洛尼亚大学 1160年巴黎大学 1167年牛津大学
11220198“年年十剑萨字桥拉大曼军学卡东大征学” 12(2120年96帕-1多2瓦91大) 学
科学复苏
阿德拉德(英，约1090－约1150) ——《原本》和花拉子米的天文表
印度数学
婆什迦罗第二(1114-约1185) 古印度数学最高成就《天 文系统之冠》（1150）
《莉拉沃蒂》、《算法本源》
“婆什迦罗号”人造卫星 （1979）
带着微笑眼睛的美丽少女， 请你告诉我，按照你理解的正确 反演法，什么数乘以3，加上这 个乘积的3/4，然后除以7，减去 此商的1/3，自乘，减去52，取 平方根，加上8，除以10，得2？
印度(公元5-12世纪)
阿拉伯代数学
花拉子米 (苏联, 1983)
《数学史》印度与阿拉伯的数学(上)[内容充实]
![《数学史》印度与阿拉伯的数学(上)[内容充实]](https://img.taocdn.com/s3/m/60b9a54655270722182ef70b.png)
数学史讲义
印度与阿拉伯数学
高等课讲
1
印度与阿拉伯数学
4.1 印度数学
1921—1922年间．印度河流域莫亨佐·达罗、哈拉帕等古代城 市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化” 或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗 毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右．
如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更 多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后 改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等， 形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．
其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与 利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括 一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使 用了一些数学符号 :
（1）减号：“12-7”记成“12 7+”．
（2）零号：用点表示0 ，后来逐渐演变为圆圈 。
高等课讲
10
巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码 ：
高等课讲7Fra bibliotek吠陀》手稿 （毛里求斯，1980）
高等课讲
印度雅利安人 的作品，《绳法 经》出现在吠陀 时代，包含毕达 哥拉斯定理等数 学知识
8
这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳 的法规》(Sulva sūtrus)，即《绳法经》，大约为公元前8世纪至公 元前2世纪的作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问 题．如勾股定理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2 的近似值。
人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号. • 后来，印度人又把零作为一个独立的数。 • 摩诃毗罗说：“一个数乘以零得零，加上零、减去零或除以零这个数都
印度与阿拉伯数学
高等课讲
1
印度与阿拉伯数学
4.1 印度数学
1921—1922年间．印度河流域莫亨佐·达罗、哈拉帕等古代城 市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化” 或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗 毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右．
如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更 多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后 改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等， 形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．
其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与 利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括 一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使 用了一些数学符号 :
（1）减号：“12-7”记成“12 7+”．
（2）零号：用点表示0 ，后来逐渐演变为圆圈 。
高等课讲
10
巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码 ：
高等课讲7Fra bibliotek吠陀》手稿 （毛里求斯，1980）
高等课讲
印度雅利安人 的作品，《绳法 经》出现在吠陀 时代，包含毕达 哥拉斯定理等数 学知识
8
这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳 的法规》(Sulva sūtrus)，即《绳法经》，大约为公元前8世纪至公 元前2世纪的作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问 题．如勾股定理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2 的近似值。
人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号. • 后来，印度人又把零作为一个独立的数。 • 摩诃毗罗说：“一个数乘以零得零，加上零、减去零或除以零这个数都
印度、阿拉伯 数学史
阿拉伯数学
卡西 （伊朗，1979）
后期阿拉伯数学: 13－15世纪 卡西(乌兹别克斯坦, 约1380－ 1429) 百科全书: 《算术之鈅》(1427) sin1°的16位精确值 π 的17位精确值(1424)
820年《代数学》 3项2次方程的求解
ห้องสมุดไป่ตู้
阿拉伯数学
9世纪的印度数码 15世纪在欧洲使用 的印度数码
印度－阿拉伯数字
阿拉伯数学
巴塔尼
阿拉伯的三角学
巴塔尼(850－929) 《天文论著》（星的科学）， 发现地球轨道是一个经常变动的 椭圆, 创立了系统的三角学术语
对希腊三角学系统化，对中 世纪欧洲影响最大的天文学家
阿拉伯数学
中期阿拉伯数学: 10－12世纪
奥马 · 海雅姆(1048－1131) 编制了中世纪最精密的历法：哲拉里 历
《还原与对消问题的论证》(1070)
奥马 ·海雅姆 （阿尔巴尼亚，1997）
研究3次方程根的几何作图法，提出 的用圆锥曲线图求根的理论
阿拉伯数学
比鲁尼
（巴基斯坦，1973）
阿拉伯数学(公元8-15世纪)
阿拉伯帝国简况
▪ 先知穆罕默德（570－632）：610年在麦加创立了伊斯兰教，至632年，一
个以伊斯兰教为共同信仰、政教合一，统一的阿拉伯国家出现于阿拉伯半岛。
▪四大哈里发时期（632－661）：以“圣战”为名进行大规模的武力扩张，
为阿拉伯帝国的建立奠定了基础。
▪倭马亚王朝时期（661－750）：定都大马士革，发动大规模的对外战争，
印度(公元5-12世纪)
阿拉伯数学
花拉子米 (苏联, 1983)
早期阿拉伯数学: 8世纪中叶－9世纪
《数学史》印度与阿拉伯的数学(上)
k ●给出了一般性的组合数 C n 公式 ●给出椭圆周长近似公式：
C 24b 2 16a 2 .
马哈维拉
• 马哈维拉是印度南部迈索尔人，耆那教教徒，曾在拉 喜特拉库塔王朝(R11strak&ta)的宫廷里生活过很长一 段时间．约公元850年，他撰写了《计算方法纲要》 (Ganitas1rasagraha)一书。该书在印度南部曾被广泛使 用， 11世纪被译成泰卢固语。20世纪初，它被重新发 现．1912年，在马德拉斯译为英文出版．《计算精华》 是印度第一本初具现代形式的数学教科书，现今数学 教材中的一些论题和结构在其中已可见到。
婆罗摩笈多（598－约665年）
在这段时间（中国的隋唐时期），整个世界（无论 东方还是西方）都没有产生一个大数学家。婆罗摩笈多 出生在印度的7大宗教圣城之一的乌贾因，并在这里长大。 婆多摩笈多成年以后，一直在故乡乌贾因天文台工作， 在望远镜出现之前，它可谓是东方最古老的天文台之一。 628年发表天文学著作《婆罗摩修正体系》（宇宙的开 端），这是一部有21章的天文学著作，其中第12、18章 讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零 的运算法则，丢番图方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即 现在所谓的佩尔（英，1611－1685年）方程的一种解法。 他还著有《肯德卡迪亚格》（约665年）
关于0的发明
• 婆什迦罗在《算法本源》指出：“被除数为3、除数为0，得 商 ，这个分母为0的分数，称为无限大量。”
• 婆罗摩笈多在《婆罗摩笈多修正体系》中比较完整地叙述了零 的运算法则：“负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减
去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零.”
用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发 明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概 念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素， 可以与其他数一起运算．
C 24b 2 16a 2 .
马哈维拉
• 马哈维拉是印度南部迈索尔人，耆那教教徒，曾在拉 喜特拉库塔王朝(R11strak&ta)的宫廷里生活过很长一 段时间．约公元850年，他撰写了《计算方法纲要》 (Ganitas1rasagraha)一书。该书在印度南部曾被广泛使 用， 11世纪被译成泰卢固语。20世纪初，它被重新发 现．1912年，在马德拉斯译为英文出版．《计算精华》 是印度第一本初具现代形式的数学教科书，现今数学 教材中的一些论题和结构在其中已可见到。
婆罗摩笈多（598－约665年）
在这段时间（中国的隋唐时期），整个世界（无论 东方还是西方）都没有产生一个大数学家。婆罗摩笈多 出生在印度的7大宗教圣城之一的乌贾因，并在这里长大。 婆多摩笈多成年以后，一直在故乡乌贾因天文台工作， 在望远镜出现之前，它可谓是东方最古老的天文台之一。 628年发表天文学著作《婆罗摩修正体系》（宇宙的开 端），这是一部有21章的天文学著作，其中第12、18章 讲的是数学，分数成就十分可贵，比较完整地叙述了零 的运算法则，丢番图方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即 现在所谓的佩尔（英，1611－1685年）方程的一种解法。 他还著有《肯德卡迪亚格》（约665年）
关于0的发明
• 婆什迦罗在《算法本源》指出：“被除数为3、除数为0，得 商 ，这个分母为0的分数，称为无限大量。”
• 婆罗摩笈多在《婆罗摩笈多修正体系》中比较完整地叙述了零 的运算法则：“负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减
去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零.”
用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发 明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概 念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素， 可以与其他数一起运算．
第四讲印度与阿拉伯的数学-PPT精品文档
2007年9月
印度与阿拉伯的数学
9
一、印度数学 3、“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多 32～33、余数粉碎法（库塔卡） 对应于较大余数 的除数除以对应于较小余数的除数。[不计商数]所 得余数[又与除数]相除。[直至最后余数足够小， 而商是偶数个]。最后一个余数乘以某一选定的 数。……
2007年9月
2007年9月
印度与阿拉伯的数学
2
一、印度数学
印度数学的发展可以划分为3个重要时期： Ⅰ雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期（约公元前 3000－前1400），史称河谷文化； Ⅱ吠陀时期（约公元前10世纪－前3世纪）； Ⅲ悉檀多时期（5世纪－12世纪）。
2007年9月
印度与阿拉伯的数学
3
一、印度数学 1、古代《绳法经》
印度与阿拉伯的数学
10
一、印度数学 3、“悉檀多”时期的印度数学
婆罗摩笈多 婆罗摩笈多著有《婆罗摩修正体系》（628）和 《肯德卡迪亚格》（约665），都含有大量的数 学内容。 《婆罗摩修正体系》全书24章，专论数学的有两章 （第12章，“算术”；第18章，“代数”）。
2007年9月
印度与阿拉伯的数学
2007年9月
印度与阿拉伯的数学
8
一、印度数学 3、“悉檀多”时期的印度数学
阿耶波多 在数学方面，阿耶波多所制正弦表在三角学史上有 重要地位，其中用同一单位度量半径与圆周，孕 有弧度制的观念。 阿耶波多又创造了具有浓郁印度特色的“粉碎法” （梵语称“库塔卡”），开古代印度一次不定方 程研究之先河。
11
一、印度数学 3、“悉檀多”时期的印度数学
婆罗摩笈多 《婆罗摩修正体系》中比较完整地叙述了零的运算 法则；同时，婆罗摩笈多是最早认识负数概念的 数学家之一，并在历史上第一次提出负数的乘除 法则。 婆罗摩笈多最突出的贡献是给出了佩尔方程的一种 特殊解法，名为“瓦格布拉蒂”。