高中数学-线性回归方程

i＝1
i＝1 i＝1
b＝
n
n
，
源自文库
nxi2－xi2
i＝1
i＝1
a＝ y －b x
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
上式还可以表示为
n
n
xiyi－n x y xi－ x yi－ y
i＝1
i＝1
b＝
＝
，
n
xi2－n x 2
n
xi－ x 2
i＝1
i＝1
a＝ y －b x .
想一想：1.相关关系是不是都为线性关系？ 提示 不是．有些变量间的相关关系是非线性相关的． 2．散点图只描述具有相关关系的两个变量所对应点的图形吗？ 提示 不是．两个变量统计数据所对应的点的图形都是散点图．
线；也可以让画出的直线上方的点和下方的点数目相等，……
这些办法，能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们
虽然都有一定的道理，但总让人感到可靠性不强．
②最小二乘法：实际上，求回归直线方程的关键是如何用
数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最
贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型三 利用回归直线对总体进行估计
【例3】 (14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲
产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几
组对照数据.
x 3 45 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小平方法求出y关于x的线
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
规律方法 (1)两变量间主要有两种关系：一是确定的函数 关系，另一是不确定的相关关系．同时要注意，两变量间也可 能无相关关系，数学中只有统计部分研究不确定的相关关系．
(2)函数关系与相关关系的区别的关键是“确定性”还是“随机 性”．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
i＝1
i＝1
∴b＝1129.03－－55××442×5＝1.23， a＝5－1.23×4＝0.08. ∴所求线性回归方程为y^＝1.23x＋0.08.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式2】 某商店统计了近6个月某商品的进价x与售价y(单 位：元)，对应数据如下：
x 3 5 2 8 9 12 y 4 6 3 9 12 14 求y对x的回归直线方程．
2.4 线性回归方程
【课标要求】 1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点 图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系； 2．在两个变量具有线性相关关系时，会用线性回归方程进 行预测； 3．知道最小平方法的含义，知道最小平方法的思想，能根 据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 【核心扫描】 1．散点图的画法，回归直线方程的求解方法．(重点) 2．回归直线方程的求解方法，回归直线方程在现实生活与 生产中的应用．(难点)
性回归方程；
(3) 已 知 该 厂 技 改 前 100 吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 为 90 吨 标 准
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引 1．与函数关系不同，相关关系是一种有关系，但不是
确定性 的关系．
2．能用直线方程＝be＋a近似表示的相关关系叫做线性相
关关系，该方程叫线性回归方程
，给出一组数据(x1，
y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，线性回归方程中的系数a，b满足
n
n
n
n xiyi－ xi yi
答案 ④
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型二 线性回归方程的求法 【例2】 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修 费用y(万元)有如下统计资料：
使用年限x(年) 2 3 4 5 6 维修费用y(万元) 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y对x呈线性相关关系，求线性回归方程＝bx＋ a. [思路探索] 本题已知x与y具有线性相关关系，故无需画散 点图进行判断，可直接用公式求解．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛
1．相关关系与函数关系的异同点
关系 异同点
函数关系
相关关系
相同点
两者均是指两个变量之间的关系
是一种确定性关系 是一种非确定的关系
不同点
是两个变量之间的关 系
①一个为变量，另一个为随机 变量； ②两个都是随机变量
是一种因果关系
不一定是因果关系，也可能是 伴随关系
【变式1】 下列两个变量中具有相关关系的是________(填 写相应的序号)．
①正方体的棱长和体积；②角的弧度数和它的正弦值；③ 单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产 量．
解析 正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；角的 弧度数α和它的正弦值y存在着函数关系y＝sin α；单产为常数a公 斤/亩土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝ ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选④.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型一 相关关系的判断 【例1】 下列两个变量之间的关系中，①角度和它的余弦 值；②正方形的边长和面积；③正n边形的边数和其内角度数之 和；④人的年龄和身高．不是函数关系的是________．(填序号) [思路探索] 函数关系是一种变量之间确定性的关系．而相 关关系是非确定性关系． 解析 选项①②③都是函数关系，可以写出它们的函数表 达式：f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π，④不是函数关系， 对于相同年龄的人群中，仍可以有不同身高的人． 答案 ④
是一种理想关系模型 是更为一般的情况
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2.回归直线方程 (1)回归直线方程的思想方法 ①回归直线：观察散点图的特征，发现各点大致分布在一
条直线的附近，就称这两个变量之间具有线性相关的关系，这
条直线叫做回归直线．
可见，根据不同的标准可画出不同的直线来近似表示这种
线性关系．比如，可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解 制表．
i 1 2 3 4 5 合计
xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 xi2 4 9 16 25 36 90
5
5
∴ x ＝4， y ＝5，xi2＝90，xiyi＝112.3.