定积分的概念与可积条件

把区间[a,b] 分成 n y
个小区间[ xi1, xi ]， 长度为 xi xi xi1;
在每个小区间[ xi1, xi ]
上任取
一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
x
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示，在区间 [a , b]内插入若干
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b,
定理2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上有界， 且只有有限个间断点，则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.
四、定积分的几何意义
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
a f ( x)dx A
曲边梯形的面积
b
a f ( x)dx
A
曲边梯形的面积 的负值
A1 A2
A3 A4
b
a
f
第一节 定积分的概念和可积 条件
● 一、问题的提出 ● 二、定积分的定义 ● 三、存在定理 ● 四、几何意义 ● 五、小结
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲边梯形由连续曲线
y f (x)
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
x b所围成.
A?
oa
bx
而与积分变量的字母无关.
b
a
f
( x)dx
b
a
f
(t )dt
b
a
f
Fra Baidu bibliotek(u)du
（2）定义中区间的分法和i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x)在区间[a,b]上的定积分存在时，
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
三、存在定理
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时， 称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
1 n
,
0 n
1 x2dx
0
n
lim 0 i1
i 2xi
lim 1 1 1 2 1 1 . n 6 n n 3
例2
利用定义计算定积分
2
1
1dx x
.
解 在[1,2]中插入分点 q, q2 , , qn1 ,
典型小区间为[qi1 , qi ]，（i 1,2, , n）
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分，记为
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
本章内容、要求及重点
教学内容：
1、给出了定积分的概念和可积条件。 2、给出了定积分的基本性质。 3、给出了微积分基本定理及求定积分的常用方法。
4、给出了定积分的应用。
教学重点: 变限函数与定积分的概念；求定积分的方法。
要求:
1、理解变限函数与定积分的定义。 2、熟练掌握求定积分的方法，并会应用微积分知识解决 实际问题。 3、了解达布（Darboux）和及可积条件。
1,2,
,n)
小区间[ xi1 , xi ]的长度xi
1 ，(i n
1,2,
,n)
取i xi ，(i 1,2, , n)
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,
i 1
i 1
i 1
n
i 1
i n
2
1 n
1 n3
n
i 1
i2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 6
1
1 n
2
1
lim
x
1
x(2x
1)
lim
x
2x 1
1
ln
2,
1
lim n(2n 1) ln 2,
x
n
2 1dx
1x
lim
0
n i 1
1
i
xi
1
lim n(2n 1) ln 2. n
例 3 设函数 f ( x) 在区间[0,1] 上连续，且取正值.
( x)dx
A1
A2
A3
A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解
将[0,1]n 等分，分点为xi
i ，(i n
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v( i )ti
i 1
当分割无限加细,即小区间的最大长度
max{x1, x2 , xn }
趋近于零 ( 0) 时，
n
曲边梯形面积为
A lim 0 i1
f (i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是 时 间 间 隔[T1 ,T2 ] 上t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
i 1
（3）取极限 max{t1,t2 , ,tn }
n
路程的精确值
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
小区间的长度xi qi qi1 qi1(q 1),
取i qi1，（i 1,2, , n）
n
i 1
f (i )xi
i
n 1
1
i
xi
n i 1
q1i1q
i
1
(q
1)
n
1
(q 1) n(q 1) 取qn 2 即q 2n
i 1
n
1
f (i )xi n(2n 1),
i 1
xi xi xi1，(i 1,2, )，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2, )
n
并作和S f (i )xi ，
i 1
记 max{ x1 , x2 , , xn }，如果不论对[a, b]
怎样的分法， 也不论在小区间[ xi1 , xi ]上