数学物理方法第八章分离变量法、

2u t 2
a2
2u x 2
0
L
2 t 2
a2
2 x 2
u a2u 0 L a2
t
t
u 0 L
L称为算符，偏微分方程可以用算符作用在函数上表示出来
非齐次方程 L[u]=f(x,y,z,t)
齐次方程L[u]=0
2. 性质
1) u1,分u2别是齐次方程的
L[u1 ]=0
L[u2 ]=0
(k 1)2 2
2 l2
(k 0,1,2..)
(k 1)
X ( x) c2 sin
2 x k=0,1,2…… l
T 'a2
(k
1) 2
2
T
(k 1 )2 2a2
0 T（t）=A e
2 l2
t
l
本征解 uk (x,t) Tk (x)Tk (t)
(k 1)
= Ak sin
2 l
x
(k 1 )2 2a2
X"X 0
本征值方程
X
|x0
X
|xl
0
由约束条件和方程本身称为方程的本征值问题
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y py qy 0，其中p, q为常数； 求解步骤： 1、写出特征方程：()r 2 pr q 0，其中r 2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y, y, y的系数； 2、求出()式的两个根r1, r2
X=0, l 时
c2 0
c1l c2 0
c1 c2 0 无意义,则 不能=0
（3）、 0 方程的解为
X ( x) c1 cos x c2 sin x
x=0, l 时
c1 0
c1 cos
l c2 sin
l 0
则有 c2 sin l 0
c2 0 则必有 sin l 0
l
=
n1
nx
fn (t) sin l
(5)、整理方程给出Tn (t) 满足的常微分方程
T "n
(t)
a2 ( n
l
)2Tn (t) =
fn (t)
（6）、将初始条件带入方程中，得到Tn (t) 的初始条件，
构成关于Tn (t) 的本征值问题：
T
"(t)
a
2
(
n
l
) 2 Tn
(t
)
fn (t )
（3）、节点数 n+1 sin n x 0
l
位置 x 0, l , 2l , (n 1)l , l
nn
n
（4）、相邻节点之间距离等于半波长，即波长 2l n
（5）、本征频率n
na , v
l
n 2
na 2l
（6）、基波：谐波
n=1
时， 1
a
l
,
基频
基波
（决定了音调）
n 1时 n
na
l
谐频 谐波（决定了音色）
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解：
r1，r2的形式
(*)式的通解
两个不相等实根 ( p2 4q 0)
y c1er1x c2er2x
两个相等实根 ( p2 4q 0)
y (c1 c2 x)er1x
一对共轭复根 ( p2 4q 0)
r1 i，r2 i
展为同样级数形式
f (x,t)
n1
fn
(t)
sin
n
l
x
(x)
n
n1
sin
nx
l
( x)
n
n1
sin
nx
l
其中
n
2 l
l 0
( x) sin
nxdx
l
n
1 l
l 0
( x) sin
nx
dx l
代入方程
n1
[ T"n
(t) sin
nx
l
a2 ( n
l
)2Tn (t) sin
nx ]
解：杆上温度u(x,t) 满足下列方程，定解条件 ut a 2uxx 0(a 2 k / c )(0 x l)
边界条件： u |x0 0 ux |xl 0
初始条件： u |t0 u0 x / l(0 x l) （1） 设解u(x,t) =x(x)T(t)
(2) 分离变数：
X " X 0
7、 分离变量法概要： （1）、将齐次偏微分方程分为若干常微分方程 （2）、参数常微分方程与齐次边界条件构成本征值问题 （3）、将本征解叠加无穷级数，给出通解 （4）、由初始条件确定通解系数（傅立叶展开 ）
例1、研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一
端温度为u0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不 变，另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。
u( x, t) X n ( x)Tn (t) n0
( 2 )、根据边界条件，将X(x)形式写成满足边界条件的函数形式
X (x) sin nx
l
（3）、构成满足边界条件、给出需待定Tn (t) 的级数解：
u(x, t)
n0
X n ( x)Tn (t)
Tn (t) sin
n1
nx
l
（4）、将级数解带入偏微分方程中，且将 f(x,t)、 (x),(x)
l n （n 为正整数）
所以
n2
l2
2
n=1,2,3……
又因为 T"a2T 0
T "n
(t)
( na )2T
l
0
0
n2 2
l2
T (t )
An
cos
na
l
t
Bn
sin
na
l
t
所以有特征解：
n0
un
(
x,
t
)
[
An
c
os
nat
l
nat n
Bn sin
l
] sin l
x
n=1,2,3……
2 l
An l 0
( )sin n
l
d
Bn
2
na
l 0
( )sin
n
l
d
6、物理意义：
（1）、u(x,y)=T(t)X(x)是形式解
un 是驻波
na
na
n
u(x, t)
n1
[ An cos
l
t Bn sin
l
t] sin l
x
波腹——振动总是最大点，波节——振幅总是为零点
（2）、u n(x,t) 特征解称为本征振动模式,它与初始条件无关。 称固有振动模式
2
2
u( x,
y)
2u0l
2
k 0
(-1)
k1 (k 1)2
(k 1)
sin 2 l
(k1 )2 2a2
xe
2 l2
t
2
分离变量法也适用于laplace方程
例2
解
若λ>0，
说明
该方法只适应于齐次偏微分方程，齐次边界条件的 定解问题，对于齐次方程非齐次边界条件不适合。
泛定方程
边界条件 本征值问题 本征值
4、通解：
u(x, t)
n1
na
na
n
[ An cos l t Bn sin l t] sin l x
5 、由广义傅立叶级数展开法确定方程中的系数：
u |t0 ( x) ut |t0 ( x)
则有
n1
n1
An
sin
nx
l
(x)
(0 x l)
Bn
na
l
sin
nx
l
(x)
把等式右端展为傅立叶级数，比较两边系数得：
X
(0)
0,
X
'
(l
)
0
T 'a2T 0
(3)、求解本征值问题：
（1）、 0 解为
X(x)=c1e x c2e x
c1 c2 0
c1e l c2e l 0
c1 c2 0
（2）、 0 解为
X ( x) c1x c2
X=0,l 时
c2 0 c1 0
c1 c2 0
（4）、将级数解u(x,y)代入初始条件
n0
nx
Tn (0) cos l
(x)
n0
n
c
os
nx
l
n0
T 'n
(0) cos nx
l
(x)
n0
作傅立叶展开有：
n
c
os
nx
l
T0 (0)
0
1 l
l 0
(x)dx
T '0
(0)
0
1 l
l
0
( x)dx
Tn (0) n
T 'n (0)
f ( x) ex Pm ( x)型，为常数；
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解归结为求对应的齐 次方程的通解和非齐次方程本身的一个特解
则二阶常系数非齐次线性微分方程具有形如
y* xkQ( x)ex
的特解，其中 是与 同次（m次）的多项式， 而k按 不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程 的重根依次取为0，1或2。
x"x 0
x
'
|x0
x'
|xl
0
k 2 l2
2
k=0,1,2,3…
cos k x
l
k=1,2……
§8、2 非齐次振动方程和输送方程 一、傅立叶级数法
基本思路： 对于定解问题：
uutt|x0a2u0,xxu
f |xl
(x, 0
t
)
u |t0 (x), ut |t0 (x)
（1）、根据方程的线性，将解设为分离变量形式的解：
Tn (0) n ,T 'n (0) n
（7）、解出关于 Tn (t) 的常微分方程，得到Tn (t) 形式
（8）、代入 u(x,y)= X n ( x)Tn (t) 中，得关于 u(x,y)的解 n 1
二、应用举例：
例1 求解定解问题：（以一维弦振动为例）
utt
a 2uxx
A c os x
2 l
n
l
0
2 l
( x) cos nx dx
l
l ( x) cos nx dx
0
l
这就是T0 (t) 和Tn (t) 的常微分方程的初始条件，其解为：
l
sin t
ux |x0 0
ux |xl 0 （注意齐次边界条件）
u |t0 ( x) ut |t0 ( x)(0 x l)
解：
（1）设解为
u( x, t) Tn (t) X n ( x) n0
（2）、考虑齐次方程和齐次边界条件下的级数形式
对 ux |x0 0 ux |xl 0 则级数
则其组合 L[c1u1 c2u2 ] 0
2) u是1 非齐次方程的解
L[u1]=f
u2是齐次方程的解 L[u2]=0 则 u1 是u2非齐次方程的解:
L[u1 u2 ] f
3）若L[u1]=f1,L[u2]=f2 则 L[u1 u2 ] f1 f2 性质（3）对边界条件，初始条件ຫໍສະໝຸດ Baidu常用到。
((2k 1) )2 (k 1)
2l
sin 2
k=0,1,2,3
l
k=0,1,2……
x
ux |x0 0, u |xl 0, ux |x0 0, ux |xl 0,
((2k 1) )2
x"x 0
2l
x
'
|x0
x
|xl
0
k=0,1,2,3
(k 1)
cos 2 x l
k=0,1,2……
nx
xn (x) Acos l
（3）、代入非齐次方程中，有：
n0
[ T "n
n2 2a2
l2
Tn
]cos
nx
l
=
A c os x
l
sin t
得到关于Tn (x) 的常微分方程：
n=1 n1
T "1
n2 2a2
l2
T1
Asin t
T"n
n2 2a 2
l2
Tn
0
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f (x)，p, q为常数
二、分离变数法解齐次偏微分方程的基本思路：
1、两个变数方程的求解方法
utt a2uxx 0 (0 x l, t 0)
u 0, u 0
x0
xl
u t0
( x),ut
t0
(x)
1、设解的形式
解的形式为 u(x,y)=X(x)T(t)
2、分离变量
带入方程中，
X ( x)Ttt a2 X xx ( x)T (t) 0,
e
2 l2
t
（4）、通解中常数确定
u(x, t) uk (x, t) = k0
(k 1)
Ak sin
2 l
x
(k 1 )2 2a2
e
2 l2
t
u |t0
u0 x l
=
k0
(k 1)
Ak sin
2x l
Ak
2 l
l 0
u0 x l
(k 1)
sin 2 l
x
=（
-1）
k
(k
2u0l 1)2
本征函数
utt a 2u xx 0, 或 ut a2uxx 0,
（0<x<l,t>0）
u |x0 0, u |xl 0,
u |x0 0, ux |xl 0,
x"x 0
x |x0 x |xl 0
k 2
l2
2
k=1,2,3…
sin k x
l
k=1,2……
x"x 0
x |x0 x' |xl 0
无意义，则 不能=0
（3）、 0 方程的解为
X ( x) C1 cos x C2 sin x
x=0, l 时
c1 0
c1 sin l c2 cos l 0
则有 c2 cos l 0
c2 0
则必有 cos l 0
L (k 1)
2
（k=0,1,2……）
故有：
p ， 4q p2
2
2
y ex (c1 cos x c2 sin x)
（1）、 0 解为
X (x) c1e x c2e x 当x=0，l 时 c1 c2 0
c1e l c2e l 0
c1 c2 0 无意义,则 0 不能
（2）、 0 解为
X ( x) c1x c2
分离过程：
Ttt (t) a2T (t)
X xx ( x) X ( x)
得出两个常微分方程：
Ttt X"(
a2T x) X
0 (x)
0
带入边界条件： u |x0 0,
u |xl 0,
X (0)T(t) 0 X (l)T (t) 0
X |x0 0
X (x) |xl 0
3、本征值问题：
第八章 分离变数法 （傅立叶级数法）
重点
1、两个变数的齐次微分方程、齐次边界条件的分离 变量的求解方法 2、两个变数的非齐次微分方程、齐次边界条件的傅 立叶级数的求解方法 3、非齐次边界条件的处理方法
4、三维泊松方程的特解求解方法
§8、1 齐次方程的分离变数解法
一、线性定解问题的叠加性质
1. 算符